NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Nombres et

Puissances de 10

PUISSANCES

 

Glossaire

Puissances

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

Calculs

Multi-puissances

Exposants

Consécutives

Nombres puissants (2-P, 3-P)

Nombre ABA (ABA)

 

Sommaire de cette page

>>> Types de nombres "puissants"

>>> Cas des nombres de 1 à 100

>>> Listes

>>> Quantités

>>> Nombres puissants qui différent de 2

>>> Nombres en n² + 2

 

 

 

 

NOMBRES PUISSANTS

Powerful numbers

 

Nombres qui comportent certaines puissances dans les exposants de leur factorisation.

Voir Nombres puissants,  plénipotents … comme introduction à cette page.

 

 

 

Types de nombres "puissants"

Explications

*       Un nombre composé est le produit unique de facteurs.

*       Chacun des facteurs est utilisé une seule fois ou plusieurs fois:

*    S'ils ne sont jamais utilisés deux fois, le nombre est dit sans carré.

*    Avec un facteur au carré, ou plus, c'est un nombre avec carré.

*    Avec tous ses facteurs au carré, ou plus, c'est un nombre puissant.

*     Il est 2-puissant s'il existe un exposant au moins égal à 2;

*     Il est 3-puissant s'il existe un exposant au moins égal à 3;

*     Il est k-puissant s'il existe un exposant au moins égal à k;

 

Illustration

 

Définition

Un nombre est k-puissant si, étant divisible par p, il l'est aussi par pk.

 

k est l'exposant le plus petit supérieur à 1.

Ainsi 200 est 2-puissant.

Et, 100 est un carré; il est aussi 2-puissant.

 

 

 

Cas des nombres de 1 à 100

Légende

N de 1 à 100

Avec leurs facteurs

En rouge les puissances pures

 

SF = sans carré

2-pw = 2-puissant; autres 2-p avec un carré;

3-pw = 3-puissant; autres 3-p avec un cube;

 

 

Listes

Nombres simples

ou sans carré

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, …  >>>

Nombres puissances

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961,…

Nombres avec carré et non 2-puissant

12, 18, 20, 24, 28, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 68, 75, 76, 80, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 104, 112, 116, 117, 120, 124, 126, 132, 135, 136, 140, 147, 148, 150

Nombres puissants ou

Nombres 2-puissants

2-powerful number

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, …

Nombres avec cube et non 3-puissant

24, 40, 48, 54, 56, 72, 80, 88, 96, 104, 108, 112, 120, 135, 136, 144, 152, 160, 162, 168, 176, 184, 189, 192, 200, 208, 224, 232, 240, 248, 250, 264, 270, 272, 280, 288, 296, 297, 304, …

Nombres 3-puissants

3-powerful number

1, 8, 16, 27, 32, 64, 81, 125, 128, 216, 243, 256, 343, 432, 512, 625, 648, 729, 864, 1000, 1024, 1296, 1331, 1728, 1944, 2000, …

 

 

Quantités de nombres k-puissant par plage en 10k

Plage

2-p

3-p

4-p

5-p

10

49

216

625

2 048

100

3 136

52 488

583 443

5 038 848

1 000

253 472

25 153 757

 

 

10 000

23 002 083

16 720 797 973

 

 

Exemple:  216 est le dixième nombre 3-puissant

 

Somme cumulative des nombres puissances

Voir Somme des puissances

 

Nombres puissants qui différent de k

 

Il existe une infinité de couples de nombres puissants consécutifs.

 

Les couples qui différent de deux unités sont rares.

 

Il n'existe pas trois nombres puissants consécutifs – Conjecture d'Erdös

 

 

Nombres puissants ave écart de 1 jusqu'à 100 000

8 / 9, 288 / 289, 675 / 675, 9 800 / 9 801,

12 167 / 12 168

 

Nombres puissants ave écart de 2

25, 70 225, 130 576 327, 189 750 625,

512 706 121 225, 13 837 575 261 123,

99612 037 019 889, …

 

Nombres puissants ave écart de 3

1, 125, 1 369 (seuls jusqu'à 10 millions).

Voir OEIS A076445 – The smaller of a pair of powerful numbers that differ by 2.

 

 

 

Nombres en n² + 2

Liste des nombres puissants en n² + 2

 

Ils sont en quantité infinie (F. Lucas).

5

265

13 775

716 035

9 980 583

37 220 045

27

70 227

1897 50 627

512 706 121 227

99 612 037 019 891

1 385 331 749 802 027

33

35 . 172

33 . 112 . 2412

33 . 412 . 33612

113 . 273 5692

37 . 172 . 46 8172

Voir OEIS A175180 – Numbers n such that n^2 + 2 is powerful

 

 

 

Suite

*         Nombres puissants jumeaux (question au Bac)

*         Nombres sans et avec facteurs carrés

*         Nombres puissants ou plénipotents

*         Nombres puissants au bac

*         Exposants à étages

*         Nombres idéonaux

*         Nombres multi-puissants

*         Puissances et chiffres permutés

*         Puissances et racines

*         Puissances – Table de valeurs

Voir

*         PuissanceIndex

*         Puissances de 2

*         Puissances de 2 à 5

Site

*         OEIS A001694 - Powerful numbers, definition: if a prime p divides n then p^2 must also divide n (also called squareful, square full, square-full or 2-powerful numbers).

*         Powerful Numbers – Wolram MathWorl

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