NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>>  Anniversaire de la copine

>>> Les deux nombres à deviner

>>> Première tentative de résolution

>>> Familiarisation et indices

>>> Les sommes possibles

>>> Les produits possibles

>>> Solution

>>>  Bilan

>>> Les problèmes de collège qui affolent le Net

 

 

 

 

 

Problème de la somme et du produit

Problème de Freudenthal

Précédé du problème de l'anniversaire de Chloé (ou Cheryl)

 

L'énoncé de ce problème est si succinct et sibyllin que sa résolution semble impossible. Publié en 1969 par le néerlandais Hans Freudenthal et baptisé ainsi par Marin Gardner. La solution n'est pas très simple mais abordable. Il existe diverses versions de ce problème. >>>

 

Nous allons commencer par un problème un peu plus simple avant de faire le grand saut: le problème de l'anniversaire de CHERYL >>>.

Ce problème a été posé en 2015 aux enfants (11 ans) des Singapore and Asian School Math Olympiads. Il a suscité une grande polémique liée à sa difficulté pour des enfants de cet âge. Voir les autres problèmes de ce style >>>

 

Anglais: Sum and Product Puzzle or The Impossible Puzzle

Cheryl's Birthday or Albert, Bernard and Cheryl's birthday maths problem

 

 

Hans Freudenthal (1905-1990)

Mathématicien allemand naturalisé néerlandais, spécialiste de topologie algébrique. Il s'intéresse à la communication potentielle avec des extraterrestres (langage Lincos). Président de la Commission Internationale de l'Enseignement Mathématique.

Allemand: Freudenthal = la vallée des amis

Voir Contemporains

 

 

 

Pour commencer – Anniversaire de Chloé (ou Cheryl)

 

Chloé rencontre deux nouveaux amis, Alexis et Benoît,  lesquels souhaitent connaître sa date d'anniversaire.

Elle donne dix dates possibles:

 

Et, facétieuse et sans doute douée en maths, elle donne:

*           le mois à Alexis et

*           le jour   à Benoît.

 

Alexis et Benoît tiennent alors cette conversation:

 

Alexis: Je ne connais pas la date anniversaire de Chloé, mais je sais que Benoît ne la connait pas non plus.

 

Benoît: Au début, je n'en savais rien non plus, mais maintenant, je le sais.

 

Alexis: Alors moi aussi, je le sais.

 

On trouve aussi cette énigme avec les noms de Magali, Pierre et Benoît.

 

 

Indices

 

Seuls les jours 18 et 19 ne sont pas répétés. Et ces deux jours sont en mai et juin.

 

 

Si Alexis sait que le mois est juillet ou août, il en déduit que:

1) Benoît peut avoir les jours de 14 à 17, à l'exclusion de 18 et 19, et

2) Ayant des dates redondantes, Benoît ne peut pas conclure.

 

 

 

Solution

 

 

 

Alexis: Je ne connais pas la date anniversaire, mais je sais que Benoît ne la connait pas non plus.

 

Il est évident qu'en ne connaissant que le mois, je ne peux pas connaitre le jour (il y en a plusieurs pour chaque mois)

 

Si Alexis constate que Benoît ne peut pas conclure, c'est que le mois est juillet ou août.

 

 

 

Benoît: Au début, je n'en savais rien non plus, mais maintenant, je le sais.

 

Il a tenu le même  raisonnement qu'Alexis et sait désormais que le mois est juillet ou août.

 

S'il sait conclure, c'et que ce n'est pas le 14 qui figure sur les deux mois.

 

Comme Benoît connait le jour (15, 16 ou 17), il sait dire le mois. Il sait conclure

 

 

Alexis: Alors moi aussi, je le sais.

 

Il a tenu le même raisonnement que Benoît et déduit qu'il s'agit des 15, 16 ou 17.

 

Or, seul le 16 est sans ambiguïté. Les 15 et 17 sont dans le même mois.

 

 

Réponse:

16 Juillet

 

Remarque:

Nous sommes placés en observateurs sans connaitre les indications communiquées à Alexis et Benoît. Par contre, eux les connaissent.

Par exemple, à la fin, Alexis sait qu'il s'agit de juillet et sait qu'il s'agit du 16 sans invoquer la clause de double date en août.

 

 

 

Problème de Freudenthal - Les deux nombres à deviner

Problème

*      Deux nombres (m et n) supérieurs à 1 dont la somme est inférieure à 100.

*      Paul  en connait le produit (p) et Sandrine la somme (s). Ce sont deux mathématiciens!

*      La conversation reportée ci-contre se tient. 

*      Quels sont ces deux nombres?

 

Conversation

Paul: je ne connais pas ces nombres.

Sandrine: je m'en doutais bien; mais c'est mon cas également.

Paul: dans ce cas, je sais quels sont les deux nombres.

Sandrine: bravo, mais alors moi aussi.

 

Version originale néerlandaise

 

 

*    La réponse est la suivante:

 

*    L'approche de la solution

 

Idée n°1: si Paul ou Sandrine ne peuvent pas répondre, c'est qu'ils font face à plusieurs solutions. Il y a ambiguïté.

Idée n°2: si Paul ou Sandrine peuvent répondre, c'est que chacun a fait le chemin mental de l'autre. Chacun s'est mis dans le cerveau de l'autre et a effectué une simulation.

*    Il existe plusieurs manières de résoudre cette énigme

 

Version A) Limiter la somme à une petite valeur; Nous n'abordons pas ce cas;

Version B) Nous connaissons les valeurs données à chacun (17 et 52) et tentons de faire le raisonnement de chacun. >>>

Version C) La solution complète sans connaissance préalable qui impose l'exploration de toutes les possibilités  pour les sommes jusqu'à 100. >>>

Version D) Sans connaissances préalable, procéder à une démonstration basée sur la théorie des nombres. La théorie limite sensiblement l'exploration sans l'annuler.

 

 

 

Première tentative de résolution (Version B)

Commentaires

 

*      Cette première approche permet de se familiariser avec cette énigme.

*      Nous connaissons les nombres donnés à Paul et à Sandrine.

*      La solution doit être plus simple, alors!

*      Eh bien non. Nous ne pouvons pas faire l'économie d'un examen de toutes les possibilités.

 

 

Principe du raisonnement

 

 

Familiarisation – Indices

 

*      Paul connait la valeur du produit p.

*      Il indique ne pas connaitre les facteurs m et n. C'est que le produit peut être atteint par plusieurs multiplications. C'est un produit ambigu.

 

p = m . n = m' . n'

 

Exemple: p = 15

Alors p = 3 x 5 de façon unique.

Et Paul connait les facteurs m = 3 et n = 5
On note la paire: (3, 5)

 

Exemple: p = 12

Alors p = 2 x 6 = 3 x 4, un produit double.

Et Paul et incapable de préciser: (2, 6) ou (3, 4).

 

*      Quels sont les cas de multiplication unique ?

 

La multiplication est unique si les deux facteurs sont des nombres premiers.

 

Paul sera indécis dans tous les autres cas: soit l'un des facteurs au moins est composé.

 

Loi Paul: Les nombres m et n ne sont pas tous les deux premiers ensembles.

 

*    Sandrine, sachant que Paul est indécis, fait la même déduction.

 

Loi Sandrine: je dois éliminer toutes les additions de deux nombres premiers.

 

Exemple: s = 12 = 2 + 10 = 3 + 9 = 4 + 8 = 5 + 7

La paire (5, 7) est à éliminer.

 

*    Sandrine connait la valeur de s. Avec cette connaissance, elle se met dans le cerveau de Paul. Elle imagine les déductions que ferait Paul. Elle simule les cas possibles.

 

*    Sandrine se trouve face à sept sommes. Comment savoir laquelle est la bonne?

D'autant que dans cet exemple, la loi Sandrine ne permet pas d'éliminer la moindre  paire de nombres.

 

 

Exemple: Sandrine sait que la somme est 17.

Il y a sept partitions à deux termes de 17.

 

 

*    Alors Sandrine continue sa simulation. Elle se dit et si maintenant Paul poursuivait le raisonnement …

*    On peut atteindre la solution par cette voie.

*    Longue pour longue autant s'attacher à la solution générale sans connaissance préalable des somme et produit. Avec l'avantage de montrer qu'elle est unique.
 

 

Avec le premier produit p = 30, Paul aurait imaginé les paires (2, 15), (3, 10) et (5, 6) et avec ce choix parmi trois couples, il aurait effectivement répondu, je ne sais pas conclure facilement.

Il faut analyser les sept cas comme P = 30 = 2x15 = 3x 10= 5x6; avec (2, 15) la somme est 17 qui se patronne en (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10), et (8,9).

Etc.

Suite en Impossible PuzzleWikipedia (anglais)

 

 

 

Les sommes possibles

 

*    Revenons au cas où l'un ne peut pas savoir le nombre en possession de l'autre. Ce qui exige de faire un balayage de toutes les possibilités.
 

 

Cette exploration nécessite l'examen de tous les nombres m et n.

 

Table de Paul

*    Nous savons que P est face à une valeur de produit ambigu.

 

Nous consulterons la table des produits ambigus notés mm. Elle commence par : {12, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52 …}.

 

Sandrine se limite

*    Avant de se lancer limitons le champ d'exploration.

*    La somme es inférieure à 100; alors le plus grand nombre (m ou n) inférieur ou égal à 55 (= 53 + 2).

 

La solution minimale est bien sûr: m = 2 et n = 3  avec s = 5

Si s  55, alors s et p peuvent s'écrire:

s = 53 + (s – 53) et p = 53 x (s – 53) 

Or  53 est un nombre premier. L'autre facteur, s – 53 qui est positif, est supérieur à 53.

Dans ce cas s est plus grand que 100. Impossible selon l'hypothèse. p aurait donc une factorisation unique.

 

 

Sandrine établit sa propre liste déduite de celle de Paul

*      Sandrine va donc rechercher toutes les sommes s = m + n inférieure à 56 et telles que le produit p = m.n est dans la liste de Paul.

*      Notons que Paul peut faire la même chose.

Exemple

Sandrine examine m + n = 17

Parmi les possibilités: m = 2 et  n = 15

Le produit est 30 et ce nombre est dans la liste de Paul.

 

Sommes possibles

{11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}.

 

Comment arrive-t-on à cette liste réduite?

 

*      Toutes les sommes de 5 à 55 sont analysées.

*      Les tableaux ci-contre montrent le principe de l'analyse pour 10 et 11.

*      Pour chacune des partitions de 10 en sommes, on indique les produits possibles: uniques ou multiples.

*      Cas du 10: un seul produit unique lève l'ambigüité et ce nombre est à éliminer de la liste.

*      Cas du 11: tous les produits sont multiples. Il y a ambigüité sur chacun. Il y a pleine ambigüité. Ce nombre est à conserver.

*      Évidemment ce test d'ambigüité se prête bien à une programmation.

 

 

 

 

Les produits possibles

 

*    Nous savons que Paul comme Sandrine savent aboutir à la liste des sommes possibles.
 

 

S = {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}.

 

 

*    Nous pouvons calculer la liste des produits possibles à partir de ces sommes.
Voir le tableau ci-dessous.

Là aussi un bon programme aide bien!

 

 

L'ensemble des produit pour S = 11 est noté: S11 = {18, 24, 28, 30}.

Nous remarquons que certains produits se retrouvent plusieurs fois (en rouge) et seul le produit 52 (jaune) est unique dans l'ensemble S17.

 

 

 

 

Solution

 

*    Or Paul, fort de ces cogitations, déclare connaitre les nombres. C'est le 52 esseulé.

*    Pour être capable d'émettre cette affirmation, il faut que le produit P se trouve une fois et une seule dans la liste que nous venons de dresser.

 

Les produits qui apparaissent plusieurs fois dans la liste sont à éliminer. C'est le cas pour 30, 42, 60, 66 …

 

*    Lorsque Sandrine annonce qu'elle aussi connait les nombres, c'est qu'il ne reste qu'un seul produit correspondant aux sommes qu'elle a retenues.

 

Si le produit appartenait à deux ensembles Si et Sj, Paul qui connait P et qui sait que S est dans ce tableau ne pourrait pas savoir quel est le bon nombre.

 

 

*    Ce produit (jaune) donne donc la solution.

 

p = 52 , m = 4; n = 13 et S = 52. 

 

 

Bilan

La limite fixée pour la somme est importante. Elle change la solution!

La même solution est atteinte pour une limite de 65 à 1684.

Plus petite, et le raisonnement n'aboutit pas.

La valeur de 100 est ronde et conduit à un nombre limité de cas à analyser.

D'autres considérations sur la page de JP. Delahaye

 

 

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Sites

*    L’incroyable problème de Freudenthal – Jean-Paul Delahaye  (2008)

*    Guess the numbers

*    Hans Freudenthal – Wikipédia

*    Hans Freudenthal – Biography by Mac Tutor

*    Sum and Product in Dynamic Epistemic LogicH.P. van Ditmarsch, J. Ruan and R. Verbrugge – Pour référence historique et mathématique.

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