NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/02/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Maths

 

Débutants

Nombres

Cours

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Débutants

Opérations

Sixième

Cinquième – Calculs

 Bases de l'algèbre

Cinquième

 

Sommaire de cette page

>>> Calculs avec parenthèses

>>> Lecture des opérations

>>> Distribution, distributivité

>>> Produits composés

>>> Équations

>>> Divisibilité

>>> Fractions

>>> Fractions: additions et soustractions

>>> Fractions: multiplications

>>> Nombres relatifs

>>> Mots à retenir

 

 

 

 

Maths en 5e

 

Revue des notions apprises en 5e

*    Calculs de base avec parenthèses;

*    Un début d'algèbre, les équations;

*      Divisibilité et fractions; et

*      Les nombres relatifs

 

 

Calculs avec parenthèses

 

Priorité des opérations: 

*    d'abord multiplications et divisions;

*    ensuite additions et soustractions.

 

On aurait pu mettre des parenthèses:

(2x3) + 2 = 6 + 2 = 8.

On convient que, sans parenthèse, on effectue la multiplication en premier:

2x3 + 2 = 6 + 2 = 8

et non pas 2x3 + 2 qui donnerait 2 x 5 = 10.

 

Exemples

2x3 + 10/2 + 7 + 8 – 9

=  6 +    5   + 7 + 8 – 9 = 17

 

7,2 x 4 – 2,5 x 1,3 + 10,2

=   28,8 –      3,25   + 10,2 = 35, 75

 

Priorités aux parenthèses s'il y en a.
Tout en respectant la priorité des opérations.

 

 

Priorité aux parenthèses les plus profondes.

 

(2+3) x 4 +  (10+2) / 6 + 17

= (5)  x 4 +    (12)  / 6 + 17

=       20   +       2        + 17 = 39

 

  ((2x3 + 4) x 5 + 6) x (18/2-4)

= ((  6  + 4) x 5 + 6) x (   9   -4)

= (      10     x 5 + 6) x (   9   -4)

= (                50 + 6) x (   9   -4)

= (                      56) x (   5) = 280

 

En résumé  

(Op veut dire opérations)

 

Bilan

L'usage des parenthèses n'est qu'une convention de notation. Elles représentent un "paquet" de calculs à effectuer en premier avant de libérer le résultat pour des calculs ultérieurs.

Il faut prendre le temps de bien comprendre cet usage.  Il n'est pas rare de retrouver des élèves en seconde qui ont encore des difficultés avec les parenthèses (sans trop s'en rendre compte).

 

 

Lecture des opérations

 

16 est la somme    de 12 plus 2.

10 est la différence entre 12 et 2.

24 est le produit      de 12 par 2.

  2 est le quotient     de 12 divisé par 2

 

12 + 2 = 16

12 – 2 = 10

12 x 2 = 24

12 / 2 =   6  (ou )

 

 

A est égal au produit de 2 par la somme de 3 et 4.

B est égal au quotient de 20 par la différence entre 7 et 2.

C est le quotient par 7 d'un produit de deux sommes, l'une égale à 2 plus 3 et l'autre égale à 4 plus 5.

 

 

 

A = 2 x (3 + 4) = 2 x 7 = 14

 

B = 20 / (7 – 2)  = 20 / 5 = 4

 

C = (2 + 3 ) x (4 + 5) / 7

 

 

Distribution de bonbons

 

Méthode classique (vue ci-dessus):

Méthode distributive:

 

 

2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16

2 x (3 + 5) = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16

a x (c + d) = a x c + a x d

 

 

Illustration: 2 paquets de bonbons identiques, chacun contenant 3 bonbons verts et 5 rouges.

 

 

Résumé avec des lettres remplaçant les nombres

 

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

 

 

 

a x (c + d)   =   a x c  +  a x d

 

À l'envers et de diverses manières …

 

Inverser les nombres dans un produit (simple ou avec parenthèses) ne change pas la valeur du produit.

 

Faire des paquets (mettre entre parenthèses) s'appelle factoriser ou mettre en facteurs commun.

 

Utiliser des lettres à la place des nombres s'appelle faire de l'algèbre.

 

 

Exemples numériques

4 x 5 + 4 x 7 = 4 x (5 + 7)

5 x 4 + 7 x 4 = (5 + 7) x 4 = 4 x (5 + 7)

 

Dans le produit 4 x 5, les facteurs sont 4 et 5.

Dans le produit 4 x 7, les facteurs sont 4 et 7.

Le nombre 4  est un facteur commun à ces deux produits; on peut factoriser, c'est-à-dire, faire un paquet avec (5 + 7) et le compter 4 fois.

 

Algèbre: on peut écrire de diverses façons

   a x c + a x d = a x (c + d)

= c x a + d x a = (c + d) x a

= a x d + c x a = a (d + c) = (c + d) x a

 

 

Problème

Le chariot-élévateur dépose 10 cageots de 25 poires, puis 10 cageots de 32 pommes dans la chambre-froide.

En utilisant la factorisation, calculez la quantité de fruits. Autrement-dit, le conducteur aurait pu rassembler pommes et poires dans des cageots plus grands.

 

 

J'explique

   10 cageots de 25 poires

+ 10 cageots de 32 pommes

= 10 cageots de (25 + 32) fruits

= 10 cageots de 57 fruits = 570 fruits

 

Je calcule

   10 x (25 + 32) = 10 x 57 = 570

 

 

 

Produits composés Pour ceux qui veulent en savoir un peu plus

 

Méthode classique (vue ci-dessus):

 

 

(2 + 4) x (3 + 5) = 6 x 8 = 48

 

Voici, avec ce que nous savons, nous pourrions calculer:

 

Avoir (2 + 4) paquets de bonbons, reviens au même qu'avoir 2 paquets plus 4 paquets.

En déballant chaque paquet, on trouve 3 bonbons vertes te 5 rouges.

 

 

(2 + 4) x (3 + 5)

= (2 + 4 ) x P   (P  est un paquet contenant 3 + 5)

=  2 x P + 4 x P

= 2 x (3 + 5) + 4 x (3 + 5)

= 2x3 + 2x5 + 4x3 + 4x5

=   6   + 10  +  12  + 20 = 48

 

Illustration: 2 paquets et 6 autres paquets de bonbons identiques,

chacun contenant 3 bonbons verts et 5 rouges.

 

Pour trouver la quantité totale de bonbons, on peut compter les paquets ou tout aussi bien la quantité de bonbons verts puis celle des bonbons rouge.

 

 

 

Des calculs avec des lettres: équations

 

Parfois, on souhaite donner une relation sans mentionner les nombres.

 

Une voiture qui va à une vitesse de 100 km/h parcourra 200 km  en 2 heures ou 500 km en 5 heures ou, d'une manière générale:

L = V x T

L: longueur parcourue à la vitesse V en une durée égale à T.

 

 

En remplaçant des nombres par des lettres, nous passons de l'arithmétique à l'algèbre.

 

Un des problèmes que se pose l'algèbre consiste à calculer la valeur de certaines lettres qui sont alors baptisée x ou y ou z.

 

Exemple d'une expression typique:

a x b + c + 3 x a + 5 x c

 

Pour éviter le x qui est aussi une lettre, on le sous-entend:

ab + c + 3a + 5c

 

Si une confusion est possible, on met un point entre les lettres:

a.b + c + 3a + 5c

 

Pour plus de clarté, on utilise l'ordre alphabétique

3a + ab + c + 5c

 

S'il y a lieu, on regroupe les termes identiques

3a + ab + 6c

 

Nous connaissons la factorisation; Appliquons!

a (3 + b) + 6c

 

 

Une équation est une égalité. Le but est de trouver un nombre remplaçant une lettre (x) qui satisfait l'égalité, la solution.

 

3x = 6           solution x = 2

3x + 2x = 10  solution 5x = 10 et x = 2

 

3x = 10 – 2x  solution x = 2 car 6 = 10 – 4 

 

 

Je vérifie la valeur si je la connais! Mais comment la trouver? Par curiosité voici un exemple, mais cela sera étudié plus tard.

 

 

3x = 10 – 2x

J'ajoute la même quantité de chaque côté sans changer l'égalité (pensons aux plateaux d'une balance).

3x + 2x = 10 – 2x + 2x

Je calcule:

5x = 10  solution x = 2

 

Voir  Équations – Débutants

 

 

Se mettre en rangs: divisibilité

 

Pour se mettre en rang par 2 parfaitement, il faut que la quantité d'élèves soit un nombre qui se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

 

La somme de deux nombres consécutifs, comme 2 + 3 = 5, n'est jamais divisible par 2; cette somme est toujours impaire.

Le produit de deux nombres consécutifs, comme 2 x 3 = 6, est toujours divisible par 2: ce produit est pair.

 

 

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … élèves

 

Ces nombres sont des multiples de 2, ce sont des nombres pairs.

 

 

Pour se mettre en rang par 5 parfaitement, il faut que la quantité d'élèves soit un nombre qui se termine par 0 ou 5.

 

5, 10, 15, 20, 25, … élèves

 

Ces nombres sont des multiples de 5.

5 est un diviseur de ces nombres

 

 

Pour se mettre en rang par 10 parfaitement, il faut que la quantité d'élèves soit un nombre qui se termine par 0.

 

Un nombre divisible par 10 est aussi divisible par 2 et par 5 car 10 = 2 x 5.

 

 

10, 20, 30, 40, 50, … élèves

 

Ces nombres sont des multiples de 10.

5 est un diviseur de ces nombres

 

 

Pour se mettre en rang par 4 parfaitement, il faut que la moitié de la quantité d'élèves soit un nombre pair.

 

Attention, un nombre qui se termine par 4 n'est pas toujours divisible par 4.

 

 

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … élèves

la moitié:

2, 4,   6,   8, 10, 12, 14 …

 

 

Pour se mettre en rang par 3 parfaitement, il faut que la somme des chiffres du nombre soit divisible par 3.

 

 

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 … élèves

Exemple: 24  2 + 4 = 6 divisible par 3.

 

Pour se mettre en rang par 9 parfaitement, il faut que la somme des chiffres du nombre soit divisible par 9.

 

Un nombre divisible par 9 est aussi divisible par 3.

 

 

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63 … élèves

Exemple: 63  6 + 3 = 9 divisible par 9.

Voir Divisibilité – Débutants  / Accès à tous ces nombres: DicoNombre

 

 

Diviser, fractionner

 

Diviser une tarte en 8, c'est la fractionner en 8 parts. En prendre une part, c'est prendre un huitième de tarte.

 

Dénominateur pour dénommer la quantité de parts;

Numérateur pour indiquer le nombre da parts que l'on prend.

 

 

Une fraction est le quotient de deux nombres entiers; numérateur en haut et dénominateur en bas.

 

 

 

Couper la tarte en part deux fois plus petites (en 16) et en prendre deux fois plus (2parts) ne change pas la portion.

 

 

 

 

La valeur de la fraction ne change pas si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre (sauf par 0).

 

 

Cette règle, appliquée à la multiplication comme à la division, permet de retrouver des parts entières.

 

 

 

 

Elle permet également de calculer des pourcentages en trouvant un nombre qui multiplié par le dénominateur donne 100.

 

 

 

 

 

Problème

 

Cette société exige 2 représentants pour 50 personnes.

Quel est le pourcentage?

Cette société compte 450 personnes. Combien faut-il de représentants?

 

Pourcentage

 

Représentants

 

La réponse est: 18 représentants.

 

Voir Fractions – Débutants

 

Addition et soustraction de fractions

 

Pour ajouter des fractions, il faut ajouter des parts de même taille: des quarts, des huitièmes ou autres.

 

Si les parts ne sont pas égales, on découpe en parts plus fines, telles que les parts soient égales pour chacune des fractions.

 

 

Même dénominateur

 

Dénominateurs différents

 

Dans tous les cas, on simplifie les fractions.

 

 

 

 

Un nombre entier est une fraction dont le dénominateur est égal à 1.

 

 

 

Problème

Le quart des élèves étudient l'anglais. Un huitième l'allemand. Tous les autres étudient l'espagnol. Ils sont combien en pourcentage?

 

 

 

 

En résumé

Idem pour la soustraction en remplaçant somme par différence.

 

 

 

Multiplication de fractions

 

La tarte est découpée en quarts

Gourmand, je prends une part trois fois de suite. J'ai englouti trois quarts de tarte.

 

Mon copain prend la moitié d'un part. Le pauvre ça ne lui fait qu'un huitième de tarte.

 

 

 

 

 

 

D'une manière générale:

 

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

 

 

 

 

 

On simplifie dès que possible:

 

 

 

 

En résumé

La division sera étudiée plus tard (Pour les impatients: diviser par ½ reviens à multiplier par 2).

 

 

 

Nombres en plus et en moins: les relatifs

 

Je dispose de 10 euros, c'est  10€ dans ma bourse.

 

J'ai emprunté 10 euros, alors non seulement j'ai 0€ dans ma bourse, mais dès que j'en aurai gagné 10, il faudra que je les donne. C'est comme si j'avais actuellement j'avais: -10€.

 

Je remarque déjà que 10€ gagnés efface ma dette de 10€.

–10€ + 10€ = 0€

 

Si j'avais gagné 12€, il me resterait même 2€.

–10€ + 12€ = 2€

 

 

 

La température peut être positive ou négative s'il gèle.

 

Une entreprise peut avoir des bénéfices (+) ou des pertes (-).

 

L'altitude des montagnes est positive, celle des océans est négative.

 

 

La droite des nombres entiers relatifs

 

La position de M est appelée son abscisse, elle vaut +4 (sans confusion on note 4).

L'abscisse de N est –4. Les deux points M et N sont à égale distance du 0; ils sont symétriques. On dit que les deux nombres 4 et –4 sont des nombres opposés.

 

 

 

Un nombre plus à droite qu'un autre est plus grand.

 

Un nombre plus à gauche qu'un autre est plus petit.

 

 

Exemples

 

 

Additions et soustractions des nombres relatifs.

 

Pour faire ces opérations, je visualise l'opération sur la droite des nombres.

 

La seule difficulté: soustraire un nombre négatif, notion qui sera vue plus tard.

 

 

 

 

En résumé

Voir Nombres relatifs / Soustraction /  Plus par plus

 

 

Mots rencontrés

Somme, différence, produit et quotient;

Diviseur, divisibilité, multiple;

Algèbre, équation et sa solution;

Facteur, factoriser:

Distributivité;

Numérateur, dénominateur;

Droite des nombres, abscisse; et

Nombre négatif, relatif, opposé, symétrique.

 

 

 

Suite

*         Fractions à étages

*         Bases de l'algèbre

Voir

*         CalculsIndex 

*         EnseignementIndex

*         Magie avec les nombres Index 

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/Maths5.htm