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STRUCTURES Algébriques Vocabulaire Le vocabulaire de base de l'algèbre moderne et liens vers
les développements. Principales structures des
ensembles (il en existe d'autres peu usitées).
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Pour un
parcours plus explicatifs voir l'index >>>
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Notations |
Ensembles {E, F, G}, distincts |
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Un groupe est abélien s'il est commutatif.
Les termes de l'opération peuvent être permutés.
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Ensemble et deux lois tels que:
Si la loi x est commutative,
l'anneau est commutatif. Celui-ci permet les factorisations et les identités remarquables. |
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Valeur de x dans y = f(x); Voir Injective |
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Relation telle que la
conclusion est: x = y
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Relation binaire qui associe tout élément d’un ensemble de départ (antécédent) à un seul élément d’un ensemble
d’arrivée (image). Cas d'une
relation numérique: l'application s'appelle fonction à une variable. Plus
généralement: une fonction f (ou application)
d'un ensemble E dans un ensemble F établit une relation entre les éléments de
E et ceux de F. Tout élément x de E est associé à un unique élément de F,
noté f(x). f(x) est l'image de x par f. Si y est dans F et s'il existe x dans
E tel que y = f(x), x est un antécédent de y par f. Graphiquement
les antécédents sont en abscisse (x) et les images en ordonnées (y). |
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Loi de composition interne
telle que les parenthèses sont inutiles.
Additions,
soustractions et multiplications sont associatives. Pas la division.
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Les bijections d'un ensemble fini s'appellent aussi permutations de cet
ensemble. |
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Chaque
élément de l'ensemble d'arrivée possède un correspondant dans l'ensemble de
départ et inversement. il y a correspondance un à un dans les deux sens. bijective
= injective et surjective. Image: si tous les outils sont distribués et que
chacun a un outil, il ya bijection entre ouvriers et outils Si une fonction f est bijective, l'équation f(x) = y a exactement
une solution x, quel que soit y. Il existe
une fonction réciproque f-1. Alors:
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Loi de composition interne telle que l'ordre importe peu. Les éléments peuvent être
permutés.
Additions comme multiplications sont commutatives.
Pas soustraction, ni division. Voir Abélien |
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Composition |
Enchaînement
d'applications, notée f |
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Un anneau dont
la loi x admet les inverses (hors élément neutre). Exemple: l'anneau des entiers: (Z, +, x), ensemble des entiers relatifs avec
addition et multiplication est un groupe, un anneau, mais pas un corps car
n'a pas d'inverses. Le corps des réels: (R*, +, x) est un anneau >>> |
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Corps constitué d'un nombre fini de nombres. Notion de congruence
(comme les nombres sur l'horloge) |
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Rapport
entre deux lois de composition internes (+
et
Propriété
essentielles qui autorise les développements et les
factorisations. |
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Élément
qui résiste à l'application.
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Élément qui ne modifie pas l'opération.
S'il existe, il est unique. Le nombre 0 est l'élément neutre de l'addition; et 1, celui de la
multiplication. |
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E est un ensemble fini s'il comporte
une quantité déterminée d'éléments. On sait compter les éléments de 1 à n: il
existe une bijection entre les éléments de
E est les nombres de 1 à n. Et, n est le cardinal
de E. |
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Ensemble des couples dont le premier élément
appartient au premier ensemble, et le deuxième élément appartient au deuxième
ensemble. Voir Produit
cartésien
Le
produit des ensembles A et B consiste en tous les couple a, b tels que a
appartient à A et b à B. |
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Généralisation de la notion de vecteurs à la nième dimension
(Rn) accompagnée de deux lois de
composition
Deux vecteurs non colinéaires
définissent un espace à deux dimensions. Tous les vecteurs peuvent s'exprimer
en fonction de ces deux là. Les fonctions dans R² font parties
de l'espace vectoriel, notée Fonct (R, R). |
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Si k désigne un corps commutatif, k' est une
extension de corps de k si k' est lui-même un corps, et si k est inclus dans
k', l'inclusion respectant les lois. |
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Voir
Application On
note, par exemple, la définition de la fonction sinus de
x:
La fonction f envoie un réel
x vers un autre réel égal à sinus x. |
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C'est la courbe
représentant la fonction. Par exemple, une
droite pour y = ax + b. Le graphe d'une fonction f dont l'ensemble de
départ s'appelle E et l'ensemble d'arrivée F, est le sous-ensemble G de E x F
formé par les couples d'éléments liés par la correspondance :
Le graphe g est formé des
couples x et y, avec x appartenant à E et y à Y à F, tels que y = f(x); E x F
est le produit cartésien |
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Ensemble (G), non vide, associé à
une loi de composition interne(*), noté
(G,*) tel que:
Si la loi est commutative, le groupe
est abélien. Le groupe est un monoïde
avec éléments symétriques (on dit parfois: inversibles). Ex: (R,
x) n'est pas un groupe, car 0 n'a pas d'inverse.
(R*, x), les réels sans le zéro, lui est un groupe. Voir Types de groupe |
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Groupe monogène |
Groupe engendré par un élément (singleton) décliné avec ses multiples. |
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Un groupe fini (X). L'ensemble des bijections de
X dans lui-même muni de la loi de composition est appelé S(X) et les éléments
des S(X) sont les permutations des éléments de X. |
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Groupes de même structure, sorte de cas d'égalité
dans le monde des ensembles. L'un se déduit de l'autre par un isomorphisme. |
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Synonyme de groupe cyclique. |
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Élément d'un ensemble tel que x * x = x. |
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Valeur de y dans y = f(x); Voir Injective. |
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Chaque élément
de l'ensemble de départ possède un correspondant dans l'ensemble d'arrivée.
Il peut exister
Tout élément x de E est associé à un unique
élément de F, noté f(x). y = f(x) est l'image
de x par f et x est l'antécédent de y.
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Inversion |
Symétrique pour une multiplication. Ex: 3 et 1/3. Utilisé aussi pour les matrices. |
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Involution |
Application qui est son propre inverse. Élément qui est son propre symétrique (inverse). Un monoïde (M, *) avec son
élément neutre e. Un élément x est involutif pour la loi *, si x * x = e. La symétrie
par rapport à un point, à une droite, ou à un plan sont des involutions. |
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Une loi de composition d'un magma
est involutive si elle est unifère et tous ses éléments sont
involutifs |
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En gros: isomorphisme et bijection
représente la même notion: correspondance un à un. Notion qui généralise la
bijection aux ensembles. La fonction bijective forme des couples entre éléments, et l'isomorphisme forme des coupes d'ensembles. Un cran au-dessus, donc. C'est donc une bijection pour laquelle les
relations algébriques entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les
mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs: la structure algébrique
est préservée. Morphisme admettant un inverse
qui est lui-même un morphisme. |
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Application E x F dans E |
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Application E x E dans E. Ex: addition ou multiplication
dans |
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Application E x F dans G (dans G ou à valeur dans G). À un couple d'éléments a et b, elle associe un
troisième notée a*b ou a |
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Structure d'ensemble la plus basique: ensemble muni
d'une opération la plus générale, noté (E, *) |
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Ensemble M avec loi de composition interne * associative et possédant un élément neutre. Un cran au dessus du magma, un
cran en dessous du semi-groupe. |
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ou homomorphisme |
Une action sur des ensembles qui préserve leur
terrain de jeu respectif. Deux ensembles ont une structure (groupe, par
exemple). Un morphisme est une application entre les deux qui préserve ces
structures. S'il s'agit de la même structure sur les deux
ensembles, c'est un isomorphisme. L'application est
bijective. Voir Autres types de morphismes. |
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Application entre deux groupes qui respecte leur
structure. Deux groupes (G,*) et (G',
L'élément neutre de G' est f(e). |
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Mot souvent utilisé pour signifier composition,
y compris avec sa notation: |
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Le noyau est le sous-ensemble
de tous les éléments du groupe de départ qui sont envoyés sur l'élément neutre du groupe d'arrivée. Il est
noté Ker (comme kernel, noyau e anglais et en allemand).
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Synonyme
de loi de composition interne L'addition
(notée +) et la multiplication (notée x) des entiers naturels sont des
opérations dans N. |
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Symétrique pour une addition. Ex: 3 et –3. |
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L'ordre
de l'élément a d'un groupe est le plus petit nombre entier positif k tel que
ak = e. Si k n'existe pas, l'ordre est infini. |
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C'est le
nombre d'élément dans le groupe s'il est fini; sinon c'est l'infini. |
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Nom donné
en l'honneur de Descartes
à qui on accorde généralement la paternité des systèmes de coordonnées. Produit cartésien de E par F: tout les couples (x, y) où x est élément de E et y
élément de F. Analogie avec le développement d'un produit avec parenthèses:
(a+b+c)(u+v) = au + bu + cu + av + bv + cv. Avec les ensembles: E = {a, b,
c)} et F = {u, v} L'ensemble produit
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Irréflexive |
Relation
telle que x est en relation avec lui-même.
Ex: un nombre est
inférieur ou égal à lui-même (réflexive). un nombre n'est pas égal à lui-même
(irréflexive). |
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Un
élément est régulier si on peut simplifier.
Tout
élément inversible d'un monoïde (M,*) est régulier. |
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Propriété
liant deux éléments d'un ensemble.
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Relation établissant une comparaison, une
hiérarchie, comme: supérieur, divisible, inclus dans, ordre alphabétique … Elle est réflexive, antisymétrique
et transitive. |
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Ensemble muni d'une loi
de composition interne associative. C'est un magma associatif qui
peut être communicatif ou non. Un monoïde est un demi-groupe unifère (avec élément neutre). |
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Ensemble qui ne contient qu'un seul élément. E =
{a}. |
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Une partie H d'un groupe G qui reste lui-même un groupe.
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Pour la définir, il faut au moins deux ingrédients : un ensemble et
une loi de composition. Voir principaux
types dans l'en-tête. |
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Chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un
correspondant dans l'ensemble de départ. Il peut exister
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Symétrisable |
Un élément
symétrique est soit l'opposé pour l'addition ou l'inverse pour la
multiplication. Éléments
symétrisable:
Si les
deux existent x et x' sont symétriques.
L'élément neutre est son propre symétrique. Fonction: la fonction symétrique est notée f-1. Si la table de Cayley est symétrique, la loi est commutative. |
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Les éléments sont permutables.
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Tableau donnant les résultats d'une application à la manière de nos
tables d'additions ou de multiplications. |
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Relation
telle que la propriété se transmet:
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Un magma (E,*). La loi * est dite unifère s'il existe un élément
neutre e. Il est unique. |
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Suite |
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Voir |
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