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ALGÈBRE

 

Débutants

Général

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

 

Théorie des ensembles

Index

Vocabulaire

Débutant

 

Sommaire de cette page

--A--     --B--     --E--     --G--     --I--

--M--     --N--     --P--

--R--     --S--     --T--

 

 

 

STRUCTURES Algébriques

Vocabulaire

 

Le vocabulaire de base de l'algèbre moderne et liens vers les développements.

 

Principales structures des ensembles (il en existe d'autres peu usitées).

Pour un parcours plus explicatifs voir l'index >>>

 

 

Vocabulaire

Notations

Ensembles {E, F, G}, distincts

*    Abélien ou commutatif

Un groupe est abélien s'il est commutatif. Les termes de l'opération peuvent être permutés.

*    Anneau (A, +, x)

Ensemble et deux lois tels que:

*    (A, +) est un groupe abélien: élément neutre 0;

*    la loi x est associative avec élément neutre;

*    la loi x est distributive par rapport à la loi +.

Si la loi x est commutative, l'anneau est commutatif.

Celui-ci permet les factorisations et les identités remarquables.

*    Antécédent d'un élément

Valeur de x dans y = f(x); Voir Injective 

*    Antisymétrique

Relation telle que la conclusion est: x = y

*    Application

Fonction

Relation binaire qui associe tout élément d’un ensemble de départ (antécédent) à un seul élément d’un ensemble d’arrivée (image).

Cas d'une relation numérique: l'application s'appelle fonction à une variable.

Plus généralement: une fonction f (ou application) d'un ensemble E dans un ensemble F établit une relation entre les éléments de E et ceux de F. Tout élément x de E est associé à un unique élément de F, noté f(x). f(x) est l'image de x par f. Si y est dans F et s'il existe x dans E tel que y = f(x), x est un antécédent de y par f.

Graphiquement les antécédents sont en abscisse (x) et les images en ordonnées (y).

*    Associatif
Associativité

Loi de composition interne telle que les parenthèses sont inutiles.

Additions, soustractions et multiplications sont associatives. Pas la division.

 

*    Bijectif, bijection

Les bijections d'un ensemble fini s'appellent aussi permutations de cet ensemble.

*    Bijective
(application ou fonction)

Chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un correspondant dans l'ensemble de départ et inversement. il y a correspondance un à un dans les deux sens.

bijective = injective et surjective.

 

Image: si tous les outils sont distribués et que chacun a un outil, il ya bijection entre ouvriers et outils

 

Si une fonction f est bijective, l'équation f(x) = y a exactement une solution x, quel que soit y.

Il existe une fonction réciproque f-1. Alors:

*    Commutatif
Commutativité

Loi de composition interne telle que l'ordre importe peu. Les éléments peuvent être permutés.

Additions comme multiplications sont commutatives. Pas soustraction, ni division.                  Voir Abélien

*    Composée

Composition

Enchaînement d'applications, notée f  g.     Voir Multiplication

*    Corps

Un anneau dont la loi x admet les inverses (hors élément neutre).

Exemple: l'anneau des entiers: (Z, +, x), ensemble des entiers relatifs avec addition et multiplication est un groupe, un anneau, mais pas un corps car n'a pas d'inverses.

Le corps des réels: (R*, +, x) est un anneau >>>

*    Distributif

*    Distributivité

Rapport entre deux lois de composition internes (+ et ) tel que le produit de la somme est égal à la somme des produits.

Propriété essentielles qui autorise les développements et les factorisations.

 

*    Élément absorbant

Élément qui résiste à l'application.

*    Élément neutre

Élément qui ne modifie pas l'opération.

S'il existe, il est unique.

Le nombre 0 est l'élément neutre de l'addition; et 1, celui de la multiplication.

*    Ensemble fini

E est un ensemble fini s'il comporte une quantité déterminée d'éléments. On sait compter les éléments de 1 à n: il existe une bijection entre les éléments de E est les nombres de 1 à n. Et, n est le cardinal de E.

*    Ensemble produit

Ensemble des couples dont le premier élément appartient au premier ensemble, et le deuxième élément appartient au deuxième ensemble. Voir Produit cartésien

Le produit des ensembles A et B consiste en tous les couple a, b tels que a appartient à A et b à B.

*    Espace vectoriel (ev)

Généralisation de la notion de vecteurs à la nième dimension (Rn) accompagnée de deux lois de composition

*    l'une interne, addition des vecteurs; et

*    l'autre externe, multiplication d'un vecteur par un scalaire (homothétie).

Deux vecteurs non colinéaires définissent un espace à deux dimensions. Tous les vecteurs peuvent s'exprimer en fonction de ces deux là.

Les fonctions dans R² font parties de l'espace vectoriel, notée Fonct (R, R).

*    Extension de corps

Si k désigne un corps commutatif, k' est une extension de corps de k si k' est lui-même un corps, et si k est inclus dans k', l'inclusion respectant les lois.

*    Fonction

Voir Application

On note, par exemple, la définition de la fonction sinus de x:

La fonction f envoie un réel x vers un autre réel égal à sinus x.

*    Graphe d'une fonction

C'est la courbe représentant la fonction. Par exemple, une droite pour y = ax + b.

 

Le graphe d'une fonction f dont l'ensemble de départ s'appelle E et l'ensemble d'arrivée F, est le sous-ensemble G de E x F formé par les couples d'éléments liés par la correspondance :

Le graphe g est formé des couples x et y, avec x appartenant à E et y à Y à F, tels que y = f(x); E x F est le produit cartésien

*    Groupe (G, *)

Ensemble (G), non vide, associé à une loi de composition interne(*), noté (G,*) tel que:

*    la loi * est associative,

*    il existe un élément neutre, et

*    tout élément admet un symétrique.

Si la loi est commutative, le groupe est abélien.

Le groupe est un monoïde avec éléments symétriques (on dit parfois: inversibles).

Ex: (R, x) n'est pas un groupe, car 0 n'a pas d'inverse.

      (R*, x), les réels sans le zéro, lui est un groupe.

Voir Types de groupe

*    Groupe cyclique ou

Groupe monogène

Groupe engendré par un élément (singleton) décliné avec ses multiples.

*    Groupe de permutations

Un groupe fini (X). L'ensemble des bijections de X dans lui-même muni de la loi de composition est appelé S(X) et les éléments des S(X) sont les permutations des éléments de X.

*    Groupes isomorphes

Groupes de même structure, sorte de cas d'égalité dans le monde des ensembles. L'un se déduit de l'autre par un isomorphisme.

*    Groupe monogène

Synonyme de groupe cyclique.

 

*    Idempotent

Élément d'un ensemble tel que x * x = x.

*    Image d'un élément

Valeur de y dans y = f(x); Voir Injective.

*    Injective
fonction ou application

Chaque élément de l'ensemble de départ possède un correspondant dans l'ensemble d'arrivée. Il peut exister

*    des éléments en plus dans l'ensemble d'arrivée et

*    plusieurs éléments de départ qui atterrissent sur le même élément d'arrivée.

 

Tout élément x de E est associé à un unique élément de F, noté f(x). y = f(x) est l'image de x par f et x est l'antécédent de y.

*    Inverse

Inversion

Symétrique pour une multiplication. Ex: 3 et 1/3.

Utilisé aussi pour les matrices.

*    Involutif

Involution

Application qui est son propre inverse.

Élément qui est son propre symétrique (inverse).

Un monoïde (M, *) avec son élément neutre e. Un élément x est involutif pour la loi *, si x * x = e.

La symétrie par rapport à un point, à une droite, ou à un plan sont des involutions.

*    Involutive (loi)

Une loi de composition d'un magma est involutive si elle est unifère et tous ses éléments sont involutifs

*    Isomorphisme entre deux ensembles

En gros: isomorphisme et bijection représente la même notion: correspondance un à un. Notion qui généralise la bijection aux ensembles.

La fonction bijective forme des couples entre éléments, et l'isomorphisme forme des coupes d'ensembles. Un cran au-dessus, donc.

 

C'est donc une bijection pour laquelle les relations algébriques entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs: la structure algébrique est préservée.

 

Morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme.

 

*    Loi (de composition) externe

Application E x F dans E

Ex: multiplication des vecteurs par des scalaires.

*    Loi (de composition) interne
ou opération

Application E x E dans E.

Ex: addition ou multiplication dans .
     calcul d'une moyenne.

*    Loi de composition

Application E x F dans G (dans G ou à valeur dans G).

À un couple d'éléments a et b, elle associe un troisième notée a*b ou ab ou aTb ou autre.

 

*    Magma (E, *)

Structure d'ensemble la plus basique: ensemble muni d'une opération la plus générale, noté (E, *)

*    Monoïde (M, *)

Ensemble M avec loi de composition interne * associative et possédant un élément neutre. Un cran au dessus du magma, un cran en dessous du semi-groupe.

*    Morphisme

ou homomorphisme

Une action sur des ensembles qui préserve leur terrain de jeu respectif. Deux ensembles ont une structure (groupe, par exemple). Un morphisme est une application entre les deux qui préserve ces structures.

 

S'il s'agit de la même structure sur les deux ensembles, c'est un isomorphisme. L'application est bijective. Voir Autres types de morphismes.

*    Morphisme de groupe (MdeG)
ou homomorphisme de groupe

Application entre deux groupes qui respecte leur structure.

 

Deux groupes (G,*) et (G', ). Une application f : G G' est un morphisme de groupe si:

 

L'élément neutre de G' est f(e).

*    Multiplication

Mot souvent utilisé pour signifier composition, y compris avec sa notation:   devient   et même  .

*    Noyau d'un MdeG

Le noyau est le sous-ensemble de tous les éléments du groupe de départ qui sont envoyés sur l'élément neutre du groupe d'arrivée. Il est noté Ker (comme kernel, noyau e anglais et en allemand).

 

*    Opération

Synonyme de loi de composition interne

L'addition (notée +) et  la multiplication (notée x) des entiers naturels sont des opérations dans N.

*    Opposé

Symétrique pour une addition. Ex: 3 et –3.

*    Ordre d'un élément
Période

L'ordre de l'élément a d'un groupe est le plus petit nombre entier positif k tel que ak = e. Si k n'existe pas, l'ordre est infini.

*    Ordre d'un groupe

C'est le nombre d'élément dans le groupe s'il est fini; sinon c'est l'infini.

*    Produit cartésien

Nom donné en l'honneur de Descartes à qui on accorde généralement la paternité des systèmes de coordonnées.

 

Produit cartésien de E par F: tout les couples (x, y) où x est élément de E et y élément de F. Analogie avec le développement d'un produit avec parenthèses: (a+b+c)(u+v) = au + bu + cu + av + bv + cv. Avec les ensembles: E = {a, b, c)} et F = {u, v}

 

L'ensemble produit
E x F = {(a,u) , (b,u) , (c,u) , (a,v) , (b,v) , (c,v)}.


Le produit cartésien E
x F de deux ensembles est une notion première et il convient de distinguer E x F et F x E.

 

*    Réflexive

Irréflexive

Relation telle que x est en relation avec lui-même.

Ex: un nombre est inférieur ou égal à lui-même (réflexive).

        un nombre n'est pas égal à lui-même (irréflexive).

*    Régulier ou simplifiable

Un élément est régulier si on peut simplifier.
Avec x appartenant à E, un élément est régulier si:

*    à droite:  

*    à gauche:

 

Tout élément inversible d'un monoïde (M,*) est régulier.

*    Relation binaire

Propriété liant deux éléments d'un ensemble.

*    Relation d'ordre

Relation établissant une comparaison, une hiérarchie, comme: supérieur, divisible, inclus dans, ordre alphabétique 

Elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

 

*    Semi-groupe
Demi-groupe

Ensemble muni d'une loi de composition interne associative.

C'est un magma associatif qui peut être communicatif ou non.

Un monoïde est un demi-groupe unifère (avec élément neutre).

*    Singleton

Ensemble qui ne contient qu'un seul élément. E = {a}.

*    Sous groupe

Une partie H d'un groupe G qui reste lui-même un groupe.

Ex: le groupe des réels est un sous groupe des complexes.

*    Structure algébrique

Pour la définir, il faut au moins deux ingrédients : un ensemble et une loi de composition. Voir principaux types dans l'en-tête.

*    Surjective

Chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un correspondant dans l'ensemble de départ. Il peut exister

*    des éléments en plus dans l'ensemble de départ et

*    plusieurs éléments d'arrivée qui proviennent du même élément de départ.

*    Symétrique (élément)

Symétrisable

Un élément symétrique est soit l'opposé pour l'addition ou l'inverse pour la multiplication.

 

Éléments symétrisable:

*    à droite:   

*    à gauche:

 

Si les deux existent x et x' sont symétriques.

 

L'élément neutre est son propre symétrique.

Fonction: la fonction symétrique est notée f-1.

Si la table de Cayley est symétrique, la loi est commutative.

*    Symétrique (relation)

Les éléments sont permutables.

 

*    Table de Cayley

Tableau donnant les résultats d'une application à la manière de nos tables d'additions ou de multiplications.

*    Transitive

Relation telle que la propriété se transmet:

*    Unifère
Unitaire

Un magma (E,*). La loi * est dite unifère s'il existe un élément neutre e. Il est unique.

 

 

 

 

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