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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

Débutants

Nombres

OPÉRATIONS

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

CALCUL 

Additions / Soustractions

Multiplications / Divisions

Puissances / Racines

Parenthèses

Priorités des opérations

Techniques de base de l'algèbre

Cinquième

 

Sommaire de cette page

>>> Les règles de priorités classiques

>>> Exemples de cas ordinaires (niveau classe de cinquième)

>>> Le lancer de balle

>>> Cas pathologiques

>>> Exemples de cas pathologiques

 

 

 

PRIORITÉ

des OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES

PEMDAS, BODMAS, PODMAS, BEDMAS, BIDMAS

 

La priorité des opérations est rigoureuse comme nous allons le voir.

Les règles sont connues dès la classe de cinquième.

Les cas potentiellement ambigus sont résolus par l'emploi de parenthèses.

Cependant, Internet s'amuse à affoler les internautes en demandant de résoudre certains de ces cas pathologiques avec phénomène de propagation virale sur tout le Net … Autant d'exemples qu'il est navrant d'offrir en pâture aux internautes, au risque de leur brouiller l'esprit.

Anglais: Order of operations or operator precedence  / Viral math problem baffles mathematicians, physicists

 

À retenir

Suite en Étude de cas pathologiques

 

Les règles de priorités

Les règles de priorités sont des conventions qui simplifient l'écriture des expressions arithmétiques ou algébriques.

 

Encore faut-il qu'elles soient rigoureuses et sans risque d'ambiguïté.

 

Note: la règle de lecture gauche-droite semble s'imposer sur une autre convention donnant la division prioritaire sur la multiplication et la soustraction sur l'addition.

Avec cette règle gauche-droite la séquence logique d'introduction des opérations sur la calculette est respectée.

 

SANS PARENTHÈSES

 

Règle (convention) n°1

Si dans un calcul, il n’y a que des additions et des soustractions, alors on effectue les opérations de gauche à droite.

 

Règle (convention) n°2

Si dans un calcul, il n’y a que des multiplications et des divisions, alors on effectue les opérations de gauche à droite.

 

Règle (convention) n°3

La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

Les exposants (puissances et racines) sont prioritaires sur tout cela.

 

AVEC PARENTHÈSES

Les mêmes règles s'appliquent en priorité à l'intérieur des parenthèses, en commençant par les plus profondes.

 

Mnémotechnique des priorités

 

PEMDAS

Parenthèses et Exposants,

puis Multiplications, Divisions, Additions et Soustractions.

En anglais, on trouve aussi BEMDAS avec le B pour Bracket;

Ou POMDAS, avec le O pour Order;

Ou PIMDAS, avec le I pour Indices.

 

BILAN

 

Source Wikipédia

1.    Les calculs contenus entre parenthèses (ou crochets) sont prioritaires sur les calculs situés en dehors de ces parenthèses. La barre d'une fraction ou d'une racine carrée joue le rôle d'une parenthèse ;

2.    Les exposants sont prioritaires sur les multiplications, divisions, additions et soustractions ;

3.    Les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions; et

4.    Lorsque les parenthèses sont effectuées, lire les multiplications et divisions de gauche à droite. Ensuite, même chose pour les additions et soustractions.

 

Notation du produit

 

Conséquence sur les puissances

 

S'il pas de confusion possible, le produit est noté ab

 

L'exposant s'applique à la variable (lettre) immédiatement à gauche.

 

Notation de la division

Parenthèses invisibles avec les fractions et les racines (convention évidente: les barres horizontales font office de parenthèses)

 

UNICODES des symboles

Multiplier  est en 00D7

Multiplier   est en 2219

Diviser     est en 00F7

 

 

Exemples de cas ordinaires (niveau classe de cinquième)

 

Additions et soustractions seules

Calculez progressivement de la gauche vers la droite.

 

Note: cette règle s'applique pour un calcul avec calculette. Elle est souvent transgressée en calcul mental. Les calculs peuvent être exécutés dans un ordre quelconque, à condition de respecter l'ordre des soustractions.

 

 

Calcul recommandé

10 + 2 – 5 + 3 – 6 + 2

= 12 – 5 + 3 – 6 + 2

= 7 + 3 – 6 + 2

= 10 – 6 + 2

= 4 + 2

= 6

 

Calcul rapide

10 + 2 – 5 + 3 – 6 + 2

= 10 + 0 – 6 + 2

= 4 + 2

= 6

 

Ne pas faire !

10 + 2 – 5 + 36 + 2

10 + 2 – 8         – 8

 

 

Multiplications et divisions seules

Calculez progressivement de la gauche vers la droite.

 

Note: des  opérations locales simplifient le calcul.

 

Calcul recommandé

Calcul rapide

Opérations mixtes

Commencez par calculer les multiplications et les divisions puis les additions et les soustractions, toujours de la gauche vers la droite dans chaque cas.

 

Note: avec une grande habitude, certains calculs intermédiaires peuvent être réalisés simultanément.

 

Calcul recommandé

Calcul rapide

 

Calcul recommandé

Calcul rapide

Avec des parenthèses

Même règles, mais calculez ce qui est dans les parenthèses en premier. En cas de parenthèses emboitées, calculez les plus profondes en premier.

 

 

 

Avec des puissances et des racines

Calculez en priorité les puissances et les racines

Tout en respectant la règle des parenthèses.

 

Notes: Les parenthèses isolent un groupe d'opérations autonome, considérées comme formant un tout.

 

Une fraction n'est rien d'autres qu'une division, à traiter comme telle.

 

 

Le lancer de balle

Quelle est la hauteur atteinte en 2 secondes par une balle lancée à la verticale à 20 km/s ?

D'après Math is Fun

Voir Mouvement du projectile

 

 

À propos de ces énigmes qui affolent le Net

comme 8/2(2+2) = 1 ou 16 ou "rien car ambigu"

On trouve des énigmes mathématiques sur Internet sous ce vocable: Cette équation va vous rendre complètement fou ! Les Anglo-Saxons parlent aussi de problèmes viraux sur le Net ou de problèmes qui affolent le Net.

 

Disons tout de suite que vous ne trouverez jamais une écriture aussi ambigüe dans un problème de mathématiques au collège, ni ailleurs, sauf pour troubler les Internautes! Ces écritures sont tout simplement incorrectes (ambigües)

Anglais: What is the correct answer? / Viral math problem

 

 

Mise en bouche

Voir explications en Diviser par une fraction

 

 

Cas pathologiques: expressions ambigües

 

Internet propose régulièrement des exemples de calculs à réaliser suscitant la controverse (Exemples ci-dessous).

 

Pour les mathématiciens ces exemples sont ambigus et donc à proscrire.

Mais quitte à leur donner une valeur, on appliquera la règle PEMDAS qui conduit à une valeur unique.

 

Commentaires

 

La règle de priorité PEMDAS est de bon secours dans la pratique et elle est d'ailleurs implémentée dans les outils usuels de calcul (calculettes, tableurs, logiciels de calcul).

Cependant, les mathématiciens la réfutent et considèrent les cas pathologiques comme ambigus et donc à bannir. On les rend explicites en  introduisant des barres de fraction et des parenthèses.

 

Un professeur de Berkeley (George M. Bergman) précise:

"For example, 48/2(9+3) = 24x12 = 288 or = 48/24 = 2 is ambiguous.

There is no standard convention as to which of these two ways the expression should be interpreted" (Il n'y aucune règle admise précisant lequel de ces deux résultats est le bon).

 

Christian Aebi (CNRS) prétend que les manuels introduisant la règle PEMDAS ne sont pas l'œuvre de vrais mathématiciens et que malheureusement Internet contribue à propager cette règle qui ne contient pas "une once de vérité".

Il est clair que ces cas délicats ne doivent en aucun cas être proposés aux élèves. Il est même navrant de les voir fleurir sur le Net.

Pour l'exhaustivité de ce site, ci-dessous quelques exemples de ces cas pathologiques proposés comme énigmes sur Internet.

 

 

CONCLUSION

 

Cette expression "a / bc" est ambigu: aucune règle admise ne permet de lever cette ambigüité

La règle de calcul gauche-droite imposerait de faire la division en priorité; alors que le bloc multiplicatif ab suggère de conserver cette homogénéité en calculant le produit en priorité.

Cette expression doit impérativement être remplacée par (a / b) c ou par a / (bc) selon l'intention. Encore mieux: utilisez les barres de fraction.

 

Le mot de la fin par Cédric Villani

 

À propos de cette interrogation sur Internet (réponse: 16 ou  1):

aussi écrite: 8/2(2+2) = ?

 

A franceinfo, on s'est permis de soumettre le problème directement à Cédric Villani, député de l'Essonne et mathématicien de renom.

"Une expression mathématique n'est bien écrite que s'il n'y a pas d'ambiguïté, explique-t-il. Et ici, l'expression est ambigüe". 

Il prend un exemple pour étayer son propos: C'est un peu comme si vous écriviez:

 "Je suis le professeur" et que vous faisiez voter pour savoir si "suis" est le verbe "être" ou le verbe "suivre".

La bonne réaction n'est pas de donner le résultat, dit Cédric Villani. Il faut plutôt dire que l'expression est mal écrite et qu'il faut lever l'ambiguïté en ajoutant des parenthèses, par exemple.

 

Néanmoins, la majorité des calculettes vous donneront:

 

 

 

EXEMPLES de cas pathologiques

Mathématiquement ambigus, mais réponse unique possible avec la règle PEMDAS

 

Calculez

Mise en œuvre de la règle de la priorité des opérations

Parenthèses:

(1 + 2) = 3

6 2 x 3

Exposants:

aucun

 

Division:

6  2 = 3

Priorité de la gauche vers la droite

3 x 3

Multiplication:

3 x 3 = 9

9

Soustraction:

aucune

 

Addition:

aucune

 

Réponse:

 

Commentaires

On évite toute ambiguïté en écrivant, selon les opérations désirées:

Écriture

fractionnaire

Écriture

linéaire

Avec Word, l'écriture linéaire est donnée automatiquement à partir de l'écriture fractionnaire à l'aide d'un clic droit de la souris.

 

Vos instruments de calcul vous diront:

Parfois, le signe de la multiplication est spécifié par l'astérisque . Le but est de ne pas confondre le x de la multiplication et le x utilisé comme symbole de l'inconnue dans les équations.

Calculette

Tableur

Logiciel de calcul

 

 

 

Calculez

Cet exemple, voisin du précédent, inonde le Net en août 2019.

"Ce problème mathématique donne le tournis aux internautes, saurez-vous résoudre cette équation ?"

Parenthèses:

(2 + 2) = 4

8 2 x 4

Exposants:

aucun

 

Division:

8  2 = 4

Priorité de la gauche vers la droite

4 x 4

Multiplication:

4 x 4 = 6

16

Soustraction:

aucune

 

Addition:

aucune

 

Réponse:

Plus mathématique:

 

 

Calculez:

8 / 2 (3 + 1) = 16

Le résultat est 16, mais est-ce la seule possibilité? Oui!  Pourquoi?

Classiquement la multiplication est indiquée par "x" ou le point ou rien. Ici, le signe multiplié est sous-entendu:

8 / 2 x (3 + 1)

Le calcul entre parenthèse est prioritaire:

8 / 2 x 4

Ensuite vient la division:

4 x 4

Enfin la multiplication:

16

Pour éviter toute ambiguïté, on écrirait plutôt:

(8 / 2) (3 + 1)

Qui, en calculant les parenthèses, donne bien:

4 x 4

Ou meilleure écriture:

 Selon l'intention, on aurait pu écrire:

    8 / (2(3 + 1))

= 8 / (2 x 4)

= 8 / 8 = 1

Toujours meilleure écriture:

 

Que disent nos instruments de calcul:

Calculette

Tableur

Logiciel de calcul

 

=

 

 

Calculez:

Le résultat est 58, mais est-ce la seule possibilité? Oui!  Pourquoi?

 

Remarque: la parenthèse ne joue pas son rôle habituel (indiquer une opération à effectuer DANS les parenthèses). Ici, elle a un usage inhabituel, et non recommandé, signifiant multiplication.

 

Calcul avec mise en œuvre de la règle de la priorité des opérations:

Priorité aux calculs dans les parenthèses:

Néant

Mais, interprétation de la parenthèse:

62 / 2 x 3 + 4

Puis calcul des puissances:

36 / 2 x 3 + 4

La division (car la première de gauche à droite)

18       x 3 + 4

La multiplication:

54             + 4

En enfin, l'addition:

58

Ce que dit un logiciel de calcul (Maple):

Un calcul incorrect consisterait à croire que la parenthèse, telle que mentionnée, implique un calcul prioritaire:

6² / 6 + 4

Puis division prioritaire

6 + 4 = 10

 

Bilan

Même si les écritures proposées dans ces énigmes calculables d'une certaine manière, mieux vaut éviter les pièges et faciliter la compréhension en utilisant des symboles plus explicites.

Je vous laisse faire le parallèle avec cette phrase en français:

 

Il a vu un homme avec des jumelles.

      Qu'a-t-il vu?

*      à l'aide de ses jumelles: un homme, 

*      de ses yeux nus: un homme qui  portait des jumelles.

*      Ou même: il a vu un homme accompagné de deux filles, des jumelles.

 

Anglais: "This is like a maths version of the sentence "He fed her cat food". Does it mean the man gave some food to a cat? Or he fed some cat food to a woman.

Hannah Fry, an associate professor in the Mathematics of Cities

at the Centre for Advanced Spatial Analysis at University College London

Voir Les problèmes qui affolent le Net  / Puzzles et énigmes

 

 

 

 

Suite

*    Énigmes qui affolent le Net

*    Somme des nombres de 1 à n

*    Somme 1 + 2 + 3 + … = 1/12 (?)

*    Sommes algébriques

*    Calcul avec des parenthèses

*    Notion de somme

*    Méthode Singapour

Junior

*    Arithmétique pour junior

Voir

*    Additions binaires

*    Additions fallacieuses

*    Additions des matrices

*    Additionneur

*    Calcul mental

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*    Débutants

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*    Exercices d'entrainement et d'évaluation

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*    Partition des nombres de 1 à 10

*    Pascaline

*    Preuve par neuf

*    Somme des chiffres

*    Somme serpentin

*    Sommes particulières de consécutifs

*    Table d'addition des volumes circulaires

*    Techniques de base de l'algèbre

*    Théorie des nombres

Sites

*      Ordre des opérations – Wikipédia

*      Order of operations – BODMAS – Maths is Fun 

*    Une nouvelle convention de calcul ? – Christian Aebi – CNRS Images des mathématiques

*    Order of arithmetic operations; in particular, the  48/2(9+3)  question.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Operatio/Priorite.htm