NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 01/02/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

ADDITION

 

Débutants

Addition

PARTITION

 

Glossaire

Addition

 

 

Index

 

Carrés

 

Partition

 

 

Entiers & Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Comprendre les sommes de carrés

Tables de partition en carrés

Tables de partition en cubes

 

Sommaire de cette page

SOMME des

>>> CARRÉS

>>> CARRÉS - Courbes

>>> CARRÉS - Empreinte

 


 

 

 Comprendre les sommes de carrés

*    Ici, on analyse les nombres selon des sommes de carrés.

 

*    Cette page est consacrée au comportement du "poids" des carrés.

*    Comment un carré contribue à augmenter une somme de carrés

*    À la manière d'un nouveau poids sur un plateau d'une balance.

 

5 = 1² + 1² + 1² +1² + 1²

5 = 2² + 1²

image001

 

 

 

SOMME des CARRÉS

 

*      Cherchons à voir comment se comportent les nombres successifs face à la somme de carrés.

 

Rappel de la liste des carrés

N      1      2      3       4       5       6       7       8       9         10        

    1      4      9       16     25     36     49     64     81       100      

 

 

*      Chacun de ces nombres ( 1, 4, 9, …) est évidemment somme de un seul carré.

 

*      À ces nombres, on peut toujours ajouter des carrés.

*      2 = 1² + 1²                       il faut deux carrés.

*      3 = 1² + 1² + 1²               il en faut trois.

*      4 = 2²                              on revient à un seul carré.

*      5 = 2² + 1²                       de nouveau, il en faut deux.

*      Etc.

                                       

*      Visualisons la chose:

 

*      Il faut un minimum de 4 carrés pour obtenir une partition de 7.

 

Question que l'on se pose:  4 carrés sont-ils suffisants lorsqu'on passe à des valeurs plus grandes de N ?

Réponse:   OUI.

 

Voir  Nombres carrés

 

 

 

SOMME des CARRÉS – Courbes

 

*      On va prendre chaque nombre et le "peser" avec les carrés.

*      La courbe S4 donne le nombre N comme une somme de 4 = 2² et de 1 =1². La courbe S9 donne le nombre N comme une somme de 9 = 3², 4 = 2² et de 1 =1². Etc.

*      Pour chaque courbe, on met le plus possible de gros poids.

 

Exemple pour 10

*      avec S4 : 10 = 8 + 2 = 2.2² + 2.1² => quatre carrés.

*      avec S9 : 10 = 9 + 1 = 1.3² + 1.1² => deux carrés.

*      On trouve bien ces deux valeurs 4 et 2 sur la verticale passant en 10.

Quantité de carrés en fonction de N

image007

 

*      Oui! Les courbes tricotent. Et, ce n'est pas la plus nouvelle qui donne forcément le moins de carrés.

 

Exemple

18 = 2.3²             Deux carrés seulement avec S9.

18 = 1.4² + 2.1²  Trois carrés avec la nouvelle courbe (plus pesante) en S16.

 

 

 

 

 

SOMME des CARRÉS – Empreinte

 

*      Quelles sont toutes les possibilités de décomposer un nombre en somme de carrés?

*      On va partir de celle qui comporte les plus gros "poids" possibles. La méthode est assez simple.

 

Poids des carrés

Combien de fois ce carré

Avec l'exemple: N = 39

36

x 1

Il reste (39 – 36) = 3

25

 

 

16

 

 

9

 

 

4

 

 

1

x 3

Il reste 0

Quantité totale de carrés

4

Minimum 4 carrés

pour 39

39 = 6² + 1² + 1² + 1²

 

*      On peut évidemment ne pas prendre le "poids" le plus fort.

 

Poids des carrés

Combien de fois ce carré

Avec l'exemple: N = 39

36

x 0

Il reste 39

25

x 1

14

16

x 0

14

9

x 1

5

4

x 1

1

1

x 1

0

Quantité totale de carrés

4

Encore 4 carrés

pour 39

39 = 5² + 3² + 2² + 1²

*      Notez qu'il s'agit ici d'une somme de carrés distincts.

*      Autre possibilité:

 

Poids des carrés

Combien de fois ce carré

Avec l'exemple: N = 39

36

x 0

Il reste 39

25

x 0

39

16

x 2

7

9

x 0

7

4

x 1

3

1

x 3

0

Quantité totale de carrés

6

Ici, il faut 6 carrés

pour 39

39 = 4² + 4² + 2² + 1² + 1² + 1²

 

 

 

 

*      Ne pas mettre un poids, c'est mettre son équivalent en poids inférieurs

*       Ne pas mettre 16, c'est mettre l'équivalent 9 + 4 + 3

*       Ne pas mettre 25, c'est mettre l'équivalent 16 + 9

*       Ne pas mettre 36, c'est mettre l'équivalent 25 + 9 + 2

*      Et d'une manière générale, cela correspond au tableau suivant

 

Que nous appellerons l'empreinte des carrés (ou la matrice).

 

 

 

Empreinte des carrés

 

 

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

81

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

64

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

49

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

36

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

25

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

16

 

 

 

 

1

 

 

 

1

1

9

 

 

 

1

1

1

1

1

 

 

4

 

 

2

1

 

 

1

1

 

 

1

 

4

1

3

 

2

 

2

1

3

 

 

 

Utilisation de l'empreinte pour trouver de nouvelles sommes de carrés

 

*      Voyons ce que nous pouvons faire avec N = 39, par exemple:

 

Poids

Présentations (lire la somme par colonne)

36

 

 

 

 

25

 

1.5²

1.5²

 

 

16

1.4²

 

 

1.4²

2.4²

9

 

1.3²

1.3²

2.3²

 

4

 

 

1.2²

1.2²

1.2²

1

3.1²

5.1²

1.1²

1.1²

3.1²

Total

39

39

39

39

39

Qté

4

7

4

5

6

 

*      Le nombre 39 peut être décomposé en somme de carrés de toutes ces façons et bien d'autres (50 au total) en poursuivant le tableau jusqu'à 39 fois la somme de 1².

*      Le tableau montre deux présentations avec 4 carrés.

 

 

Voir Table de partitions de quelques nombres en sommes de carrés

 

 

 


 

Retour

*    Entiers & Carrés

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombres carrés

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*   Somme multi puissantes

*    TablesIndex

*    Unité des puissances