NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITIONS

 

Débutants

Général

SOMMES MULTIPUISSANTES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

PARTITION

 

Introduction

Records

Cas p = n

Cas p = n + 1

Thue-Morse

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Présentation en tableau

>>> Autres exemples

>>> Florilège

>>> Équation

>>> Notations et cas

>>> Table pour les entiers et les carrés

>>> Table pour les entiers, les carrés et les cubes

 

 

 

  

 

SOMMES MULTI PUISSANTES

 

Il s'agit d'une égalité qui reste vérifiée même en changeant la puissance de tous ses termes. Le jeu consiste à trouver le plus de valeurs de la puissance tout en conservant l'égalité de départ. Les mathématiciens Euler et Goldbach s'adonnèrent à ces recherches et mirent au point des équations permettant de les calculer.

 

Pour une nomenclature de tous les problèmes posés par les sommes de puissances Voir S'y retrouver

 

 

 

DÉFINITION

 

*      Une somme multi puissante est une somme dont les termes sont mis à diverses puissances p spécifiées (de 1 à 5 par exemple).

*      Une égalité de sommes multi puissantes est vérifiée pour toutes les valeurs p.

*      Trouver de telles égalités fait partie du problème de la résolution d'équations diophantiennes.

 

Exemple

p = 1      1  + 8  + 8        = 2  + 5  + 10    =   17

p = 2      1² + 8² + 8²      = 2² + 5² + 10²   = 129

 

*      Si la quantité de termes de la somme est n, on peut se donner une contrainte supplémentaire:

Que n = p ou à plus ou moins 1 près, etc.

 

 

 

PRÉSENTATION EN TABLEAU

 

*      Voici l'exemple précédent présenté en tableau:

Puissance

1

2

Nombres

1

1

 

8

64

 

8

64

Somme

17

129

Nombres

2

4

 

5

25

 

10

100

Somme

17

129

 

*      Il y 3 termes dans chaque égalité:                         n = 3

*      Il y deux égalités pour entiers et carrés                 p = 2

*      Une égalité de plus que la valeur de la puissance maximum
                                                                                  n = p + 1

 

 

 

Exemples

 

Quatre termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 3

 

Somme magique sur le carré incliné (pointillés bleus)

5 + 3 + 12 + 14 = 2 + 8 + 15 + 9 = 34

 

Les carrés

52 + 32 + 122 + 142 = 22 + 82 + 152 + 92 = 342 = 374

 

Les cubes

53 + 33 + 123 + 143 = 23 + 83 + 153 + 93 = 343 = 4 624

 

 

Six termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 5

 

 

 

Florilège


Les égalités en jaune sont en plus réversibles: les nombres d'un côté sont les retournés de l'autre côté.

 

Voir Carré magique et losange

 

 

Équation pour la puissance 2

 

Soit trois entiers a, b et c, il existe une infinité d'égalités du type:

 

x1 + x2 + x3

= y1 + y2 + y3

 

 

Équations

x1 = a + c

x2 = b + c

x3 = 2a + 2b + c

y1 = c

y2 = 2a + b + c

y3 = a + 2b  c

 

Exemple

 

 

Summum avec huit égalités magiques

 

Huit sommes égales à 1 665

   132 + 654 + 879 = 231 + 456 + 978

= 174 + 639 + 852 = 258 + 471 + 936

= 159 + 672 + 834 = 276 + 438 + 951

= 294 + 618 + 753 = 357 + 492 + 816 = 1 665


Huit sommes qui passent à 8 x 15 = 120 sommes

Les égalités sont résistantes aux quinze permutations de 1 à 3 chiffres (le premier tableau les montre toutes). Les huit sommes originales deviennent 8 x 6 = 48 égalités avec la permutation des trois chiffres de chaque nombre.

Les égalités sont également vérifiées pour le carré des nombres dans les quinze permutations (somme en colonne de droite).

 

Deux sommes développées avec leurs quinze égalités avec permutations

132

+

654

+

879

=

231

+

456

+

978

=

1 665

1 217 781

123

645

897

213

465

987

1 665

1 235 763

213

564

789

321

546

798

1 665

1 037 961

231

546

798

312

564

789

1 665

1 037 961

312

465

987

123

645

897

1 665

1 235 763

321

456

978

132

654

879

1 665

1 217 781

13

 

65

 

87

 

23

 

45

 

97

 

165

11 963

31

 

56

 

78

 

32

 

54

 

79

 

165

10 181

32

 

54

 

79

 

31

 

56

 

78

 

165

10 181

23

 

45

 

97

 

13

 

65

 

87

 

165

11 963

12

 

64

 

89

 

21

 

46

 

98

 

165

12 161

21

 

46

 

98

 

12

 

64

 

89

 

165

12 161

1

 

6

 

8

 

2

 

4

 

9

 

15

101

3

 

5

 

7

 

3

 

5

 

7

 

15

83

2

 

4

 

9

 

1

 

6

 

8

 

15

101

 

Les six autres mêmes sommes (= 1 665)

174

+

639

+

852

=

258

+

471

+

936

=

1 665

1 164 501

17

 

63

 

85

 

25

 

47

 

93

 

165

11 483

74

39

 

52

 

58

 

71

 

36

 

165

9 701

14

69

 

82

 

28

 

41

 

96

 

165

11 681

1

6

 

8

 

2

 

4

 

9

 

15

101

7

3

 

5

 

5

 

7

 

3

 

15

83

4

 

9

 

2

 

8

 

1

 

6

 

15

101

 

159

+

 672

+

 834

=

 276

+

 438

+

 951

=

 1 665

1 172 421

15

 

 67

 

 83

 

 27

 

 43

 

 95

 

 165

11 603

59

 

 72

 

 34

 

 76

 

 38

 

 51

 

 165

9 821

19

 

 62

 

 84

 

 26

 

 48

 

 91

 

 165

11 261

1

 

 6

 

 8

 

 2

 

 4

 

 9

 

 15

101

5

 

 7

 

 3

 

 7

 

 3

 

 5

 

 15

83

9

 

 2

 

 4

 

 6

 

 8

 

 1

 

 15

101

 

294

+

 618

+

 753

=

 357

+

 492

+

 816

=

 1 665

1 035 369

29

 

 61

 

 75

 

 35

 

 49

 

 81

 

 165

10 187

94

 

 18

 

 53

 

 57

 

 92

 

 16

 

 165

11 969

24

 

 68

 

 73

 

 37

 

 42

 

 86

 

 165

10 529

2

 

 6

 

 7

 

 3

 

 4

 

 8

 

 15

89

9

 

 1

 

 5

 

 5

 

 9

 

 1

 

 15

107

4

 

 8

 

 3

 

 7

 

 2

 

 6

 

 15

89

 

 

 

 

 NOTATIONS ET CAS

pour une nomenclature des sommes de puissances

 

Puissance

 

 

 

Nombre de termes

 

"

 

Nombre d'égalités (rien si 1)

 

Formules

p

n

n

p

N = a1p +…+ anp

avec p = 1 à q

*    Sommes multi puissantes

p

p

p

p

 

*    Cas n = p

p

p +1

p + 1

p

 

*    Cas n = p + 1

 

 

 

 

Voir aussi

*    Records

Voir Suites et exemples

 

 

 

Table des égalités pour les entiers et les carrés jusqu'à une somme d'entiers égale à 30

a

b

c

d

aa

bb

cc

dd

S1

S2

1

5

6

 

2

3

7

 

12

62

2

6

7

 

3

4

8

 

15

89

1

6

8

 

2

4

9

 

15

101

1

4

6

7

2

3

5

8

18

102

3

7

8

 

4

5

9

 

18

122

2

7

9

 

3

5

10

 

18

134

1

8

9

 

3

4

11

 

18

146

1

7

10

 

2

5

11

 

18

150

 

1

4

7

8

2

3

6

9

20

130

1

7

12

 

3

4

13

 

20

194

4

8

9

 

5

6

10

 

21

161

3

8

10

 

4

6

11

 

21

173

2

9

10

 

4

5

12

 

21

185

2

8

11

 

3

6

12

 

21

189

1

9

11

 

3

5

13

 

21

203

1

8

12

 

2

6

13

 

21

209

2

5

7

8

3

4

6

9

22

142

1

6

7

8

3

4

5

10

22

150

1

5

7

9

2

4

6

10

22

156

1

4

8

9

2

3

7

10

22

162

1

10

11

 

2

7

13

 

22

222

2

8

13

 

4

5

14

 

23

237

 

2

5

8

9

3

4

7

10

24

174

1

5

8

10

2

4

7

11

24

190

1

4

9

10

2

3

8

11

24

198

5

9

10

 

6

7

11

 

24

206

4

9

11

 

5

7

12

 

24

218

3

10

11

 

5

6

13

 

24

230

3

9

12

 

4

7

13

 

24

234

2

10

12

 

4

6

14

 

24

248

2

9

13

 

3

7

14

 

24

254

1

11

12

 

4

5

15

 

24

266

1

10

13

 

3

6

15

 

24

270

1

9

14

 

2

7

15

 

24

278

2

7

15

 

1

9

14

 

24

278

1

8

15

 

3

5

16

 

24

290

 

2

11

12

 

3

8

14

 

25

269

1

10

14

 

4

5

16

 

25

297

 

3

6

8

9

4

5

7

10

26

190

2

7

8

9

4

5

6

11

26

198

2

6

8

10

3

5

7

11

26

204

2

5

9

10

3

4

8

11

26

210

1

7

8

10

3

5

6

12

26

214

1

6

9

10

3

4

7

12

26

218

1

6

8

11

2

5

7

12

26

222

1

5

9

11

2

4

8

12

26

228

1

5

8

12