NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITIONS

 

Débutants

Général

SOMMES MULTIPUISSANTES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

PARTITION

 

Introduction

Records

Cas p = n

Cas p = n + 1

Thue-Morse

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Présentation en tableau

>>> Autres exemples

>>> Florilège

>>> Équation

>>> Notations et cas

 

 

 

  

 

SOMMES MULTI PUISSANTES

 

Il s'agit d'une égalité qui reste vérifiée même en changeant la puissance de tous ses termes. Le jeu consiste à trouver le plus de valeurs de la puissance tout en conservant l'égalité de départ. Les mathématiciens Euler et Goldbach s'adonnèrent à ces recherches et mirent au point des équations permettant de les calculer.

 

Pour une nomenclature de tous les problèmes posés par les sommes de puissances Voir S'y retrouver

 

 

 

DÉFINITION

 

*      Une somme multi puissante est une somme dont les termes sont mis à diverses puissances p spécifiées (de 1 à 5 par exemple).

*      Une égalité de sommes multi puissantes est vérifiée pour toutes les valeurs p.

*      Trouver de telles égalités fait partie du problème de la résolution d'équations diophantiennes.

 

Exemple

p = 1      1  + 8  + 8        = 2  + 5  + 10    =   17

p = 2      1² + 8² + 8²      = 2² + 5² + 10²   = 129

 

*      Si la quantité de termes de la somme est n, on peut se donner une contrainte supplémentaire:

Que n = p ou à plus ou moins 1 près, etc.

 

 

 

PRÉSENTATION EN TABLEAU

 

*      Voici l'exemple précédent présenté en tableau:

Puissance

1

2

Nombres

1

1

 

8

64

 

8

64

Somme

17

129

Nombres

2

4

 

5

25

 

10

100

Somme

17

129

 

*      Il y 3 termes dans chaque égalité:                         n = 3

*      Il y deux égalités pour entiers et carrés                 p = 2

*      Une égalité de plus que la valeur de la puissance maximum
                                                                                  n = p + 1

 

 

 

 

Exemples

 

Quatre termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 3

 

Somme magique sur le carré incliné (pointillés bleus)

5 + 3 + 12 + 14 = 2 + 8 + 15 + 9 = 34

 

Les carrés

52 + 32 + 122 + 142 = 22 + 82 + 152 + 92 = 342 = 374

 

Les cubes

53 + 33 + 123 + 143 = 23 + 83 + 153 + 93 = 343 = 4 624

 

 

Six termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 5

 

 

 

Florilège


Les égalités en jaune sont en plus réversibles: les nombres d'un côté sont les retournés de l'autre côté.

 

Voir Carré magique et losange

 

 

Équation pour la puissance 2

 

Soit trois entiers a, b et c, il existe une infinité d'égalités du type:

 

x1 + x2 + x3 = y1 + y2 + y3

 

 

Équations

x1 = a + c

x2 = b + c

x3 = 2a + 2b + c

y1 = c

y2 = 2a + b + c

y3 = a + 2b  c

 

Exemple

 

 

 

 

 NOTATIONS ET CAS

pour une nomenclature des sommes de puissances

 

Puissance

 

 

 

Nombre de termes

 

"

 

Nombre d'égalités (rien si 1)

 

Formules

p

n

n

p

N = a1p +…+ anp

avec p = 1 à q

*    Sommes multi puissantes

p

p

p

p

 

*    Cas n = p

p

p +1

p + 1

p

 

*    Cas n = p + 1

 

 

 

 

Voir aussi

*    Records

Voir Suites et exemples

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*   Sommes multi puissantes - Records

*    Somme de puissances

Voir

*    Années Pythagore

*    Bi, tripartitions

*    Calcul mental

*    Carrés sommes de cubes, en général

*    Décade de Pythagore

*    Géométrie

*    Identités

*    Nombres carrés

*    Nombres consécutifs

*    Nombres cubes

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Partition & Addition

*    Raisonnement par récurrence

*    Somme des entiers, carrés, cubes …

*    Somme des inverses

*    Théorie des nombres

*    Triplets de Pythagore

*    Unité des puissances

DicoNombre

*    Nombre 34

*    Nombre 72

Site

*    EQUAL SUMS OF LIKE POWERS  de Chen Shuwen

*    Autres sites

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