NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITIONS

 

Débutants

Général

SOMMES MULTIPUISSANTES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

PARTITION

 

Introduction

Records

Cas p = n

Cas p = n + 1

Thue-Morse

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Présentation en tableau

>>> Autres exemples

>>> Florilège

>>> Équation

>>> Notations et cas

>>> Table pour les entiers et les carrés

>>> Table pour les entiers, les carrés et les cubes

 

 

 

  

 

SOMMES MULTI PUISSANTES

 

Il s'agit d'une égalité qui reste vérifiée même en changeant la puissance de tous ses termes. Le jeu consiste à trouver le plus de valeurs de la puissance tout en conservant l'égalité de départ. Les mathématiciens Euler et Goldbach s'adonnèrent à ces recherches et mirent au point des équations permettant de les calculer.

 

Pour une nomenclature de tous les problèmes posés par les sommes de puissances Voir S'y retrouver

 

 

 

DÉFINITION

 

*      Une somme multi puissante est une somme dont les termes sont mis à diverses puissances p spécifiées (de 1 à 5 par exemple).

*      Une égalité de sommes multi puissantes est vérifiée pour toutes les valeurs p.

*      Trouver de telles égalités fait partie du problème de la résolution d'équations diophantiennes.

 

Exemple

p = 1      1  + 8  + 8        = 2  + 5  + 10    =   17

p = 2      1² + 8² + 8²      = 2² + 5² + 10²   = 129

 

*      Si la quantité de termes de la somme est n, on peut se donner une contrainte supplémentaire:

Que n = p ou à plus ou moins 1 près, etc.

 

 

 

PRÉSENTATION EN TABLEAU

 

*      Voici l'exemple précédent présenté en tableau:

Puissance

1

2

Nombres

1

1

 

8

64

 

8

64

Somme

17

129

Nombres

2

4

 

5

25

 

10

100

Somme

17

129

 

*      Il y 3 termes dans chaque égalité:                         n = 3

*      Il y deux égalités pour entiers et carrés                 p = 2

*      Une égalité de plus que la valeur de la puissance maximum
                                                                                  n = p + 1

 

 

 

 

Exemples

 

Quatre termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 3

 

Somme magique sur le carré incliné (pointillés bleus)

5 + 3 + 12 + 14 = 2 + 8 + 15 + 9 = 34

 

Les carrés

52 + 32 + 122 + 142 = 22 + 82 + 152 + 92 = 342 = 374

 

Les cubes

53 + 33 + 123 + 143 = 23 + 83 + 153 + 93 = 343 = 4 624

 

 

Six termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 5

 

 

 

Florilège


Les égalités en jaune sont en plus réversibles: les nombres d'un côté sont les retournés de l'autre côté.

 

Voir Carré magique et losange

 

 

Équation pour la puissance 2

 

Soit trois entiers a, b et c, il existe une infinité d'égalités du type:

 

x1 + x2 + x3 = y1 + y2 + y3

 

 

Équations

x1 = a + c

x2 = b + c

x3 = 2a + 2b + c

y1 = c

y2 = 2a + b + c

y3 = a + 2b  c

 

Exemple

 

 

 

 

 NOTATIONS ET CAS

pour une nomenclature des sommes de puissances

 

Puissance

 

 

 

Nombre de termes

 

"

 

Nombre d'égalités (rien si 1)

 

Formules

p

n

n

p

N = a1p +…+ anp

avec p = 1 à q

*    Sommes multi puissantes

p

p

p

p

 

*    Cas n = p

p

p +1

p + 1

p

 

*    Cas n = p + 1

 

 

 

 

Voir aussi

*    Records

Voir Suites et exemples

 

 

 

Table des égalités pour les entiers et les carrés jusqu'à une somme d'entiers égale à 30

a

b

c

d

aa

bb

cc

dd

S1

S2

1

5

6

 

2

3

7

 

12

62

2

6

7

 

3

4

8

 

15

89

1

6

8

 

2

4

9

 

15

101

1

4

6

7

2

3

5

8

18

102

3

7

8

 

4

5

9

 

18

122

2

7

9

 

3

5

10

 

18

134

1

8

9

 

3

4

11

 

18

146

1

7

10

 

2

5

11

 

18

150

 

1

4

7

8

2

3

6

9

20

130

1

7

12

 

3

4

13

 

20

194

4

8

9

 

5

6

10

 

21

161

3

8

10

 

4

6

11

 

21

173

2

9

10

 

4

5

12

 

21

185

2

8

11

 

3

6

12

 

21

189

1

9

11

 

3

5

13

 

21

203

1

8

12

 

2

6

13

 

21

209

2

5

7

8

3

4

6

9

22

142

1

6

7

8

3

4

5

10

22

150

1

5

7

9

2

4

6

10

22

156

1

4

8

9

2

3

7

10

22

162

1

10

11

 

2

7

13

 

22

222

2

8

13

 

4

5

14

 

23

237

 

2

5

8

9

3

4

7

10

24

174

1

5

8

10

2

4

7

11

24

190

1

4

9

10

2

3

8

11

24

198

5

9

10

 

6

7

11

 

24

206

4

9

11

 

5

7

12

 

24

218

3

10

11

 

5

6

13

 

24

230

3

9

12

 

4

7

13

 

24

234

2

10

12

 

4

6

14

 

24

248

2

9

13

 

3

7

14

 

24

254

1

11

12

 

4

5

15

 

24

266

1

10

13

 

3

6

15

 

24

270

1

9

14

 

2

7

15

 

24

278

2

7

15

 

1

9

14

 

24

278

1

8

15

 

3

5

16

 

24

290

 

2

11

12

 

3

8

14

 

25

269

1

10

14

 

4

5

16

 

25

297

 

3

6

8

9

4

5

7

10

26

190

2

7

8

9

4

5

6

11

26

198

2

6

8

10

3

5

7

11

26

204

2

5

9

10

3

4

8

11

26

210

1

7

8

10

3

5

6

12

26

214

1

6

9

10

3

4

7

12

26

218

1

6

8

11

2

5

7

12

26

222

1

5

9

11

2

4

8

12

26

228

1

5

8

12

2

3

10

11

26

234

1

4

10

11

2

3

9

12

26

238

1

3

8

14

2

4

5

15

26

270

3

9

14

 

5

6

15

 

26

286

1

12

13

 

3

7

16

 

26

314

 

6

10

11

 

7

8

12

 

27

257

1

4

10

12

2

5

6

14

27

261

5

10

12

 

6

8

13

 

27

269

4

11

12

 

6

7

14

 

27

281

4

10

13

 

5

8

14

 

27

285

3

11

13

 

5

7

15

 

27

299

3

10

14

 

4

8

15

 

27

305

2

12

13

 

5

6

16

 

27

317

2

11

14

 

4

7

16

 

27

321

2

10

15

 

3

8

16

 

27

329

1

12

14

 

2

9

16

 

27

341

1

12

14

 

4

6

17

 

27

341

2

9

16

 

4

6

17

 

27

341

1

11

15

 

3

7

17

 

27

347

1

10

16

 

2

8

17

 

27

357

 

3

6

9

10

4

5

8

11

28

226

2

6

9

11

3

5

8

12

28

242

1

8

9

10

4

5

6

13

28

246

2

5

10

11

3

4

9

12

28

250

1

6

10

11

3

4

8

13

28

258

1

6

9

12

2

5

8

13

28

262

1

5

10

12

2

4

9

13

28

270

1

5

10

12

3

4

7

14

28

270

1

6

8

13

3

4

7

14

28

270

1

4

11

12

2

3

10

13

28

282

1

6

7

14

2

3

10

13

28

282

1

5

8

14

3

4

6

15

28

286

3

12

13

 

4

9

15

 

28

322

2

11

15

 

5

6

17

 

28

350

1

9

18

 

3

6

19

 

28

406

1

5

9

14

2

3

11

13

29

303

4

10

15

 

6

7

16

 

29

341

2

13

14

 

4

8

17

 

29

369

 

4

7

9

10

5

6

8

11

30

246

3

8

9

10

5

6

7

12

30

254

3

7

9

11

4

6

8

12

30

260

3

6

10

11

4

5

9

12

30

266

2

8

9

11

4

6

7

13

30

270

2

7

10

11

4

5

8

13

30

274

2

7

9

12

3

6

8

13

30

278

2

6

10

12

3

5

9

13

30

284

1

8

10

11

4

5

7

14

30

286

1

8

9

12

3

6

7

14

30

290

2

6

9

13

3

4

11

12

30

290

1

7

10

12

3

5

8

14

30

294

2

5

11

12

3

4

10

13

30

294

1

7

9

13

2

6

8

14

30

300

1

6

11

12

3

4

9

14

30

302

1

6

10

13

2

5

9

14

30

306

1

7

8

14

2

4

11

13

30

310

3

4

8

15

1

6

9

14

30

314

7

11

12

 

8

9

13