NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Formation des nombres

 

Débutants

Numération

Unités, dizaines …

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Numération

 

Nombres

 

 

Décimal

Unités

Dizaines

Centaines

Base de numération

Grandeur

 

Sommaire de cette page

>>>  En général

>>>  Isoler l'unité

>>>  Unités des puissances – Règle

>>>  Unités des puissances – Tables

>>>  Nombre et ses puissances – mêmes unités

>>> Devinette – Chercher l'unité

 

 

 

 

 

CHIFFRE des UNITÉS

  

4

3

2

5

6

Millier

Centaine

Dizaine

Unité

 

*      Ce chiffre au bout à droite des nombres!

*      Celui qui montre si le nombre est pair ou impair.

*      Souvent insignifiant car il ne pèse pas lourd devant les autres chiffres des dizaines, centaines, milliers …

*      Mais qui peut avoir son mot à dire dans certaines démonstrations.

 

 

Devinette

Considérez les produits 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4, etc.

Ajoutez les unités.

Combien de produits sont nécessaire pour avoir une somme égale à 100?

Solution

 

 

 

EN GÉNÉRAL

 

*      Unité: chiffre de poids le plus faible dans notre système de numération.

 

 

Nom

Milliers

Centaines

Dizaines

Unités

Nombre

 

2

5

7

6

Valeurs

 

2 x 1000

5 x 100

7 x 10

6 x 1

 

*      Signe de reconnaissance des nombres pairs et impairs. ce sont ceux qui sont terminés par:

 

Pairs       0             2            4          6            8

Impairs             1           3           5         7                 9

 

*      Critère immédiat de divisibilité

 

Divisible par

Si unités =

2

0, 2, 4, 6, 8

5

0, 5

10

0

 

 

 

Devinette

Quels sont les huit nombres égaux à un multiple de leur unité?

Il en existe quatre avec les dizaines:

125 = 25 x 5

150 = 50 x 3

250 = 50 x 5

375 = 75 x 5

 

 

 

ISOLER L'UNITÉ

 

Organigramme pour trouver le chiffre des unités

 

unite

 

 

 

 

Calcul sur tableur - (avec Excel)

 

*      Voici le calcul pas à pas

 

*      Voici les formules à taper dans les cellules

 

 

*        Note: on peut épargner une étape en utilisant la fonction QUOTIENT qui donnera directement l'entier de la division par 10.

 

 

 

Programmation - (avec Mapple)

 

for nombre from 110 to 125

do

    dizaines :=  trunc(nombre/10):

    unites     :=  nombre - 10*dizaines:

          lprint (nombre, dizaines, unites):

od:

 

Commentaires

*    La procédure d'itération démarre par for et on donne les limites de l'exploration

Le travail à exécuter pour chaque valeur explorée est encadré par do et od.

*    La commande trunc élimine les décimales (tronque).

*    La multiplication s'écrit * pour ne pas confondre avec la lettre x.

*    La commande lprint permet d'obtenir les résultats que l'on souhaite au moment choisi.

Autrement, il est possible d'obtenir tous les résultats de calcul intermédiaires en mettant ";" au lieu des ":" à la fin de chaque instruction.

 

 

 

Exécution

 

 

110, 11, 0

111, 11, 1

112, 11, 2

113, 11, 3

114, 11, 4

115, 11, 5

116, 11, 6

117, 11, 7

118, 11, 8

119, 11, 9

120, 12, 0

121, 12, 1

122, 12, 2

123, 12, 3

124, 12, 4

125, 12, 5

Voir Extraction des chiffres d'un nombre / Algorithmes / Arrondis

 

 

UNITÉS DES PUISSANCES - Règle

 

*      Un nombre s'écrit, en isolant les unités

    N =  … + 1000m + 100c + 10d + u

    N =  10 ( …100m +   10c +     d) + u
    N =  10 a + u

 

*      Calculons les puissances de cette expression en utilisant ce que nous savons des identités remarquables. Tous calculs faits, on trouve:

 

(10a + u)2 =   

(10a + u)3 =   

(10a + u)4 =   

(10a + u)5 =    

*      Nous constatons que le terme hors unité (uk) est divisible par 10. Ce qui veut dire que le chiffre des unités du nombre porté à une puissance est tout simplement égal au chiffre des unités porté à cette puissance.

 

Si N = … U

Alors Nk = … u   avec u unité de Uk

 

*      Par exemple: 12² =    12544 se termine par 44 comme 12² = 144
                        163 = 4 096 se termine par 6 comme 63 = 216.

*      Autres exemples:

 

11² =            121

12² =            144

13² =            169

14² =            196

15² =            225

16² =            256

17² =            289

18² =            324

19² =            361

 

113 =            1331

123 =            1728

133 =            2197

143 =            2744

153 =            3375

163 =            4096

173 =            4913

183 =            5832

193 =            6859

Voir Unité et dizaines des carrés

 

 

 

 

   508 853 989 ² =   25 893 238 21 21 21 21 21

1 318 820 881 ² = 173 928 851 61 61 61 61 61

*      Si un carré se termine par xy xy xy xy xy alors xy = 21, 61 ou 64.

*      Celui-ci en 21 est le plus petit.

 

 

 

 

 

UNITÉS DES PUISSANCES - Table

 

La puissance fait tourner la tête aux unités …

 

Les puissances

n      1  2           3            4                 5                 6                   7                      8                      9        10

n2    1  4           9            16               25               36                 49                    64                    81        100

n3    1  8           27          64               125             216               343                  512                  729        1000

n4    1  16         81          256             625             1296             2401                4096                6561        10000

n5    1  32         243        1024           3125           7776             16807              32768              59049        100000

n6    1  64         729        4096           15625         46656           117649            262144            531441        1000000

n7    1  128       2187      16384         78125         279936         823543            2097152          4782969        10000000

n8    1  256       6561      65536         390625       1679616       5764801          16777216        43046721        100000000

n9    1  512       19683    262144       1953125     10077696     40353607        134217728      387420489        1000000000

n10   1  1024     59049    1048576     9765625     60466176     282475249      1073741824    3486784401        10000000000

 

Leurs unités

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

*   Suite des nombres

n2

1

4

9

6

5

6

9

4

1

0

*   Symétrie par rapport au 5 (ou 0).

*   Hors le 6, l'unité de la racine est un chiffre ou son complément à 10.

n3

1

8

7

4

5

6

3

2

9

0

*   Tous les chiffres dans le désordre.

*   Somme identiques des symétriques (1+9 = 2+8 …)

*   L'unité de la racine cubique est la même pour 145690 et le complément à 10 pour 2378.

n4

1

6

1

6

5

6

1

6

1

0

*   Répétition du motif 1616 avec symétrie.

*   Hors 0 et 5, le 1 est l'unité d'une puissance 4 d'un nombre impair et 6 pour les pairs.

n5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

*   Suite des chiffres.

*   Puissance et nombre ont même unité.

n6

1

4

9

6

5

6

9

4

1

0

*   Idem puissance 2.

n7

1

8

7

4

5

6

3

2

9

0

*   Idem puissance 3.

n8

1

6

1

6

5

6

1

6

1

0

*   Idem puissance 4.

n9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

*   Idem puissance 1

n10

1

4

9

6

5

6

9

4

1

0

*   Idem puissance 2. Etc.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10k

*    Toujours 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9k

*    Alternance 9 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

8k

*    Succession 8 4 2 6(comme 2 dans l'autre sens).

 

 

 

 

 

 

 

7k

*    Succession 7 9 3 1 (comme 3 dans l'autre sens).

 

 

 

 

 

 

6k

*    Toujours 6.

 

 

 

 

 

5k

*    Toujours 5.

 

 

 

 

4k

*    Alternance 4 6.

 

 

 

3k

*    Succession 3 9 7 1.

 

 

2k

*    Succession 2 4 8 6.

 

1k

*    Toujours 1.

 

 

 

 

Nombre et ses puissances – mêmes unités

 

*      Sur la base des tableaux ci-dessus, on s'intéresse aux nombres et leurs puissances ayant le même chiffre des unités, comme 25 = 32 ou 93 = 729.

*      Le tableau suivant résume toutes les possibilités prises par "u"  de 0 à 9 pour toutes les puissances k de 2 à 20.

*      Exemples de lecture:

*           Colonne du "2": seuls les nombres en 5 ou 6 ont un carré terminé par 5 ou 6 respectivement. Voir les colonnes "5" et "6" des tableaux ci-dessus. Par exemple: 16² = 256.

*           Ligne du "2": tous les nombres qui se terminent par 2 ont aussi une puissance 5, 9, 13 ou 17 qui se termine par 2. Par exemple: 1217 = 2 218 611 106 740 436 992

 

Les nombres qui possèdent cette propriété sont dits automorphiques.

 

 

*      Toutes les puissances des nombres en 5 ou en 6 se terminent par 5 ou 6 respectivement. Par exemple: 256 = 244 140 625 ou 265 = 11881376.

*      Tous les nombres à la puissance 5, 9, 13 ou 17 (soit en n = 4k + 1) ont même unité que le nombre lui-même. Par exemple: 213 = 8 192,   313 = 1 594 323,   413 = 67108864.

 

Les puissances 4k+1 d'un nombre reproduit son unité:

 

Voir les automorphiques à deux chiffres / Racine treizième

 

 

 

Chercher l'unité

Premier cas

 

 

Trouver la quantité k de zéro et

le chiffre u des unités.

420 x 565

= ….u000…0k

Calcul sur les puissances:

420 x 565

= 240 x 540 + 25

 

 

= 240 x 540 x 525

 

 

= 1040 x 525

Premier facteur:

1040

1 suivi de 40 zéros

Second facteur:

525

= un nombre qui se termine par 5.

(5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125;  …5 x 5 = …5)

Solution:

k

u

= 40

=   5

Nombre :            2 980 232 238 769 531 250 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Deuxième cas – Exposants inversés

 

 

Trouver la quantité k de zéro et

le chiffre u des unités

465 x 520

= ….u000…0k

Calcul sur les puissances

465 x 520

= 2130 x 520

 

 

= 2110+20 x 520

 

 

= 2110 x 220 x 520

 

 

= 1020 x 2110

Premier facteur

1020

1 suivi de 20 zéros

Second facteur

2110

= 2110 = 24 x 27 + 2

Avec un reste de 2, la puissance de 2 se termine par 4.

Solution

k

u

= 20

= 4

Nombre:            129 807 421 463 370 690 713 262 408 230 502 400 000 000 000 000 000 000

 

 

Devinette – Solution

 

 

Solution

C'est un fait remarquable: les unités des produits n (n + 1) sont en 2, 6, 2, 0 et 0, et cela régulièrement.

Tous les cinq produits, la somme augmente de 10. Pour arriver à 100, il faut 50 produits. Soit: 50 x 51.

Pour être plus précis, la somme ronde est atteinte avec le produit situé deux crans avant. Soit 48 x 49.  

 

 

 

 

 

Explication

Forme générique d'un nombre en isolant son chiffre des unités: 10d + u

Produit:

(10d + u)(10d + u +1)

= 100d² + 20du + 10d + u² + u

= 10(10d² + 2du + d) + u² + u

Le chiffre des unités du produit est celui de la somme: u² + u.

Le tableau liste toutes les valeurs possibles de u, de u² + u et de son chiffre des unités.

Retour

 

 

 

 

Suite

*      Dizaines

*      Unités des multiplications

*      Unité des puissances

*      Une belle application de ces propriétés

*      Multiplications et leurs chiffres

DicoNombre

*      Nombre 1

*      Nombre 262

*      Nombre 14 569

Voir

*      Addition - Glossaire

*      Addition - Initiation

*      Puissances

*      Puissances quatrième

*      Racine cinquième

*      Unités des produits

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