NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 10/03/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Rectangles magiques

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Rectangles

Rectangles pairs

Rectangles impairs

Rectangles 3 x 5

Rectangle de Kotzig

Rectangles premiers

Pavé magique

Rectangle à répétitions

 

Sommaire de cette page

>>> Rectangles magiques impairs – Exemples

>>> Approche de la construction

>>> Construction de R m x (m+2)

>>> Collection des rectangles magiques impairs

>>> Rectangle 15 x 17 avec coquetterie

 

 

 

 

Rectangles magiques IMPAIRS

Exemples et construction

 

Exemples de rectangles magiques impairs. Leur construction s'avère extrêmement difficile sans l'aide des ordinateurs et d'algorithmes élaborés.

Les auteurs en référence proposent la construction des rectangles magiques  m x m+2 avec m impair  en utilisant des tableaux de nombres (matrices).

 

 

Rectangles magiques impairs – Exemples

 

Rectangle 3x5

 

Données magiques

m = 5, n = 3

N de 1 à 3x5 = 15

S = ½  15 x 16 = 120

M = ½ (3 x 5 + 1) = 8

SL = 5 x 8 = 40

SC = 3 x 8 = 24

 

Rappel:

Normal: tous les nombres de 1 à mn.

Associatif: somme constante avec les extrémités des diagonales.

 

Voir Données magiques

 

 

Rectangle 3x5 normal puis normal et associatif

Suite sur le Rectangle  3 x 5

 

Rectangle 3x7

 

 

Données magiques

m = 7, n = 3

N de 1 à 3x7 = 21

S = ½  21 x 22 = 231

M = ½ (3 x 7 + 1) = 11

SL = 7 x 11 = 77

SC = 3 x 11 = 33

 

Rectangle 3 x 7 normal puis normal et associatif

 

 

 

Rectangle 5x7

 

 

Données magiques

m = 7, n = 5

N de 1 à 5x7 = 35

S = ½  35 x 36 = 630

M = ½ (5 x 7 + 1) = 18

SL = 7 x 18 = 126

SC = 5 x 18 = 90

 

Rectangle 5 x 7 normal puis normal et associatif

 

Approche de la construction – Exemple d'un RM 9x15

 

Distribution régulière

En adoptant un remplissage haut-bas et gauche-droite, on obtient un rectangle presque magique.

*    les sommes en colonnes sont correctes

*    les sommes en lignes présentes une différence croissante de une unité en s'éloignant de la ligne centrale.

Reste à déformer ce bel ensemble pour en faire un vrai rectangle magique. Pas facile!

 

 

Exemple de déformation pour arriver à la solution

Solution trouvée par Arsène Durupt

 

Sommes magiques respectées

En adoptant un remplissage gauche-droite et haut-bas, on obtient un rectangle presque magique. Reste à déformer ce bel ensemble pour en faire un vrai rectangle magique. Pas facile!

 

Voir Rectangle magique  9 x 15

 

Point de situation

On peut obtenir assez rapidement un rectangle presque magique. Reste à travailler le tableau pour conserver les sommes magiques tout en introduisant les nombres manquants.

C'est l'objet de la méthode indiquée ci-dessous qui est due aux auteurs dont les textes sont cités en référence.

 

 

Construction Rm x (m+2) avec m impair – Exemple R7x9

La méthode est décrite dans cette colonne

Avec exemple d'application dans cette colonne

1) Construire la matrice Jm x m avec

Jij = 1

 

 

Exemple R 7x9

 

2) Construire la matrice Am x m avec

aij = j + i + (m – 3)/2    mod m

 

Exemple de calcul

a11 = 1 + 1 + (7 – 3)/2  mod 7
= 2 + 2 mod 7 = 4

a77 = 7 + 7 + (7 – 3)/2  mod 7
= 14 + 2 mod 7
= 16 mod 7
= 2x7 + 2 mod 7
= 2

 

 

3) Construire la matrice Bm x m avec

bij = 2(j – 1) + i    mod m

 

 

4) Construire la matrice Cm x m avec

m.A + B + J

 

 

Détail du calcul

 

5) Construire la matrice D2 x m avec
remplissage de m² à m² + 2m, et inversion de la dernière ligne avec la troisième.

 

6) Construire les matrices C1 et D1 résultant des échanges suivants:

 

Pour i de 1 à (m – 1)/2 échangez
2i – 1  dans C par
m² + 2i – 1 dans D

 

 

7) Construire les matrices C2 et D2 résultant des échanges suivants:

 

Pour i de 1 à (m + 1)/2 échangez
m + 2i – 1  dans C1 par
m² + m + 2i – 1 dans D

 

 

 

8) Construire la matrice R  en juxtaposant C2 et D2.

 

 

Données magiques

m = 9, n = 7

N de 1 à 7x9 = 63

S = ½  63 x 64 = 2016

M = ½ (7 x 9 + 1) = 32

SL = 9 x 32 = 288

SC = 7 x 32 = 224

 

 

 

 

Collection de rectangles magiques impairs

 

3 x 5

 

5 x 7

 

3 x 7

 

 

5 x 9

 

 

3 x 9

 

7 x 9

 

3 x 11

 

 

9 x 11

 

 

3 x 13

 

5 x 11

 

5 x 13

 

7 x 11

 

 

9 x 15

 

Tous les rectangles magiques de cette collection on été obtenus avec le générateur cité en référence

 

Un spécimen de 15 x 17 créé par Arsène Durupt

Notez que 1, 2 et 3 sont en colonne 1, puis 4, 5 et 6 en colonne 2, etc. jusqu'à 49 50 et 51 en colonne 17.

 

 

 

 

Retour

*        Rectangles 3 x 5

*         Construction des rectangles magiques (pair-pair)

Suite

*       Rectangles 3 x 5

*        Pavé magique

*         Carrés magiquesIndex

Voir

*         Tous les carrés plus que parfaits 4x4

*         Carré plus que parfait 8x8

*         Carrés magiquesIndex

*         JeuxIndex

Sites

*         Magic RectanglesMitsutoshi Nakamura

*         On a method to construct magic rectangles of odd order – Chand K. Midha, J. P. De Los Reyes, Ashish Das and L.Y. Chan – Les auteurs exposent leur méthode et en démontre la validité.

*         Construction of magic rectangles of odd orderFeng Shun Chai, Ashish Das et Chand Midia

*         Générateur de carrés magiques impairs

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/aaaCMag/RecMagIM.htm