NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

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Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Variantes

 

 

 

PAVÉS ou boites MAGIQUES

 

Extension des rectangles magiques au pavé, c'est-à-dire à la troisième dimension, ou encore extension des cubes magiques.

Anglais: magic squares, cube, rectangle, boxes or rectangular prism

 

 

Définition

 

Un pavé magique est un tableau de nombres à trois dimensions (a, b et c) qui contient tous les nombres de 1 à abc et disposés de façon telle que:

*    la somme sur les lignes est constante,

*    la somme sur les colonnes est constante, et

*    la somme sur les piliers est également une constante.

 

Un pavé magique n'existe que si les trois paramètres (a, b et c) sont de même parité.

*    cas pair: existe que si deux des paramètres sont supérieurs à 2;

*    car impair: existe que si deux des paramètres ont un facteur commun.

 

 

 

 

 

Variantes

 

Ensemble (ou tapis) de rectangles magiques: utilise les nombres de 1 à abc, chaque rectangle est magique, sans contrainte sur les piliers.

Les rectangles, utilisant les nombres "en vrac" parmi 1 à abc, ne sont donc pas normaux.

 

Ensemble de boites magiques: extension à la troisième dimension.
Anglais: magic rectangle set.

 

Hyper-pavé magique: extension au pavé de dimensions supérieures à 3, appelés aussi n-rectangle magique.

 

Boité magique creuse: certains rectangles internes sont retirés.
Anglais: hollow magic box

 

Anglais

A magic rectangle set M = MRS(a,b;c) is a collection of c arrays (a x b) whose entries are elements of {1, 2, …, abc}, each appearing once, with all row sums in every rectangle equal to a constant SR and all column sums in every rectangle equal a constant SC.

Théorèmes

Si a et b sont pairs, a >1 et b > 3, alors un tapis de rectangles magiques existe quelle que soit la valeur de c.

 

Si un tapis de rectangles magiques MRS(a, b; c) existe, alors  les deux rectangles magiques MR(a, bc) et MR(ac, b) existent.

 

 

Bilan

Internet est peu bavard sur ce sujet. Voir les références indiquées en anglais. Le problème est si difficile que les auteurs se limitent au cas avec répétitions des nombres, sortes de carrés latins ou alors aux formes trouées.

 

 

 

 

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Livre

*         A Gamma Rectangle Set and Group Distance Magic Labeling – Syvia Cichacz – Combinatorial Algorithms – IWOCA 2014 – Texte très technique

Sites

*         Magic RectanglesMitsutoshi Nakamura

*         Magic boxes and related topics – Michael Wade Lillegard – 2014 – pdf 86 pages

*         Magic rectangle sets of odd order – Dalidor Froncek

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/aaaCMag/RecMagIM.htm