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Rectangles magiques PAIRS

Exemples et construction

Quelques exemples de rectangles magiques pairs.

Méthode de construction: certains sont simples à construire; les autres à peine un plus compliqués, ce qui contraste avec le cas impair, très compliqué.

Exemple (simple) de rectangle normal pair

Algorithme: 1) écrire les nombres de 1 à 24 en serpentin, et 2) inverser une colonne sur 2.

Rectangles magiques pairs – Exemples
Rectangle 6x8 Données magiques m = 8, n = 6 N de 1 à 6x8 = 48 S = ½ 48 x 49 = 1176 M = ½ (6 x 8 + 1) = 24,5 SL = 8 x 24,5 = 196 SC = 6 x 24,5 = 147 Voir Données magiques
Rectangle 6x10 Données magiques m = 10, n = 6 N de 1 à 6x10 = 60 S = ½ 60 x 61 = 1830 M = ½ (6 x 10 + 1) = 30,5 SL = 10 x 30,5 = 305 SC = 6 x 30,5 = 183
Rectangle 8x8 Rectangle magique 8x8 ou carré semi-magique d'ordre 8. Les diagonales valent 124 et 396. Données magiques m = 8, n = 8 N de 1 à 8x8 = 64 S = ½ 64 x 65 = 2080 M = ½ (8 x 8 + 1) = 32,5 SL = 8 x 32,5 = 260 SC = 8 x 32,5 = 260

Construction du rectangle pair/pair
Pour un rectangle m.n, les valeurs de m et n sont paires à la fois pour assurer que les constantes magiques sont des nombres entiers: m = 2p et n = 2q Deux cas à envisager: 1) au moins un pair parmi p et q, ou 2) p et q son tous deux impairs.	Les sommes magiques sont des nombres entiers:

Rectangle pair/pair – Cas 1 – R 4x6
Cas d'un pair, disons p est pair.	Exemple avec rectangle 4 x 6 m = 4, p = 2, n = 6, q = 3 M = 25/2 = 12,5 SL = 50 et SL = 75
Premier remplissage: tous les nombres de 1 à 24 en serpentin en lignes.	Tableau initial
Retourner les colonnes centrales. C'est bon, c'est fait!	Rectangle normal 4 x 6
Autre présentation	Rectangle normal 4 x 6

Rectangle pair/pair – Cas 2 – R 6x10
Cas p et q impairs	Exemple avec rectangle 4 x 6 m = 6, p = 3, n = 10, q = 5 M = 61/2 = 30,5 SL = 183 et SC = 305
Premier remplissage: tous les nombres de 1 à 24 en serpentin en lignes.
Retournez les q – 1 = 4 premières lignes. Cad: les lignes du haut sauf la centrale (en jaune).
Retournez les p = 3 premières colonnes sauf les deux éléments centraux de chaque colonne. Cad. tout le côté gauche (en jaune) sauf les deux lignes centrales. Puis, inversez les lignes indiquées en bleu (Voir règles >>>)

Rectangle pair/pair – Cas 2 – R 10x14
Cas p et q impairs	Exemple avec rectangle 10 x 14 m = 14, p = 7, n = 10, q = 5 M = 141/2 = 70,5 SL = 705 et SC = 987
Les trois premières étapes sont identiques à celles-vue ci-dessus. Note: serpentin en vertical cette fois (c'est un choix). On se focalise sur la finition (tableau du bas) avec trois règles à respecter: Sur les colonnes q et q+1, inversez les p-3 éléments centraux (ici, le bloc 3x2 central). (1 + (p – 3)/2, q) et (1 + (p – 3)/2, q+1) (ici, inversion de 62 et 79) (3 + (p – 3)/2, q) et (3 + (p – 3)/2, q+1) (ici, non applicable).	Somme ligne = 987 et somme colonne = 705

Maths – Cas 1 et somme des colonnes
Le tableau montre les nombres au départ (serpentin). La colonne jaune formalise la valeur de la colonne k (ici prise avec k = 3 pour l'exemple). La somme sur la colonne est indépendante de k, donc la même sur toutes les colonnes. Sa valeur est bien égale à la somme magique attendue en colonne.
Somme serpentin	Un tableau pair-pair, les nombres entiers consécutifs disposés en serpentin; la somme des colonnes est constante. Pair-pair: dont la quantité de lignes est paire, ainsi que celle des colonnes.
Suite des calculs	Application du même principe de calcul mais en plus fastidieux! Voir la référence indiquée in fine.
Rectangles impairs	Construction nettement plus difficile.

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Voir	Tous les carrés plus que parfaits 4x4 Carré plus que parfait 8x8 Jeux – Index
Site	On a method to construct magic rectangles of even order – J. P. De Los Reyes , Ashish Das , Chand K. Midha and P. Vellaisamy – 2009 – Cette page est largement inspirée de ce texte
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/aaaCMag/RecMagCP.htm