NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

DIVISEURS

 

Glossaire

Diviseur

 

 

INDEX

 

Décomposition

 

Débutants

Généralités

Facteurs premiers

 

Sommaire de cette page

>>> Multiples ou pas

>>> Diviseurs et facteurs

 

 

 

 

DIVISEURS – FACTEURS

Débutants

 

La division ouvre la porte sur la divisibilité.

12 est divisible par 4 car 3 x 4 = 12.

Quels sont tous les nombres qui en divisent un autre?

15 est divisible par 3 et aussi par 5.

 

Voir Cours de 5e

 

 

 

Multiples et diviseurs

 

*    En comptant de 10 et 10, je crée les multiples de 10:

20, 30, 40, 50, 60, etc.
 

*    Je sais que 60 est divisible par 10 car:

 60 10 =  6

On dit que 10 est un diviseur de 60.

 

On remarque que 20 et 30 sont aussi des diviseurs de 60. Ce n'est pas le cas des autres multiples: 40 et 50.

 

 

60 est multiple de 10

10 est diviseur de 60

 


 

 

 

 

Multiples ou pas

 

*    En prenant un nombre, il est possible d'en former autant que l'on veut en les multipliant par un autre nombre. C'est le principe de la table de multiplication.

*    En choisissant un nombre quelconque, on peut se demander s'il est le multiple d'un autre. Si oui, est-ce que les nouveaux nombres sont des multiples?

*    Il arrive un moment où, certains nombres ne sont pas les multiples d'un autre nombre.

*    Ceux qui se "décomposent" en multiples sont les nombres composés.
Ils sont dans les tables de multiplication.

*    Ceux qui ne peuvent plus aller plus loin sont les nombres premiers.
Ils ne seront jamais atteints par une table de multiplication.

 

 

À partir de 3, je crée ses multiples:

3 x 2 = 6

3x 3 = 9

3x 4 = 12

6, 9, 12 … sont les multiples de 3.

 

Choix: 111. Multiples de quels nombres?

111 = 3 x 37

111 est multiple de 37

37 n'est le multiple d'aucun nombre.

 

 

 

111 est un nombre composé.

 

37 est un nombre premier.

 

 

Illustration

 

Les nombres figurant dans les tables de multiplication se décomposent en produits: ce sont les nombres composés. D'autres ne figurent dans aucune table de multiplication: ce sont les nombres premiers.

 

Exemple de décomposition maximale pour atteindre le fond le plus bas

Le nombre 60 est de manière évidente le produit des nombres 6 et 10. En reprenant chacun de ces nouveaux nombres, il est possible de leur trouver un produit: 6 = 2 x 3 et 10 = 2 x 5. Par contre, impossible de trouver des produits pour 2, 3 et 5. Ils sont tous trois têtes de liste ou premiers. Et 60 et un nombre composé du produit de 2 par 2 par 3 et par 5, ou en bref: 60 = 2² x3 x 5.

 

 

 

 

Diviseurs et facteurs

*    Un nombre est divisible ou non
S'il ne l'est pas, il est premier.

 

12 est divisible par 3.

Il est composé.

 

17 n'est pas divisible, sauf par 1 et par 17.

Il est premier.

 

*    Si un nombre est diviseur d'un nombre, il est lui-même divisible ou non.

 

60 est divisible par 20 qui est divisible lui-même par 10.

20 est un diviseur composé

 

60 est aussi divisible par 5 qui n'est pas divisible.

5 est un diviseur premier

 

 

*    Pour tout nombre, nous allons nous intéresser à deux problèmes:

*    Quels sont tous les diviseurs du nombre?

*    Quels sont ceux qui sont premiers?

 

*    Avec un nombre comme 60, nous trouvons douze diviseurs, y compris le 1 et 60.

Parmi eux seuls trois sont des diviseurs premiers (ou facteurs).

Et, avec ces trois seuls premiers, il est possible de définir le nombre 60.

*    Plus! …
Ce produit (60 = 2² x 3 x 5) est la seule manière de factoriser le nombre en rangeant les diviseurs premiers par ordre croissant.

 

 

60 est divisible par:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

60 possède douze diviseurs.

 

 

Pour chaque diviseur, on essaie de les mettre sous la forme d'un produit:

Exemple: 12 = 2 x 2 x 3

 

Trois nombres résistent: 2, 3 et 5 ce sont des nombres premiers. Les autres diviseurs sont des nombres composés à partir de ces trois là.

 

Et 60 lui-même n'échappe pas à cette propriété:

60 = 2 x 2 x 3 x 5

 

 

Bilan

Nous connaissons bien les multiples et les diviseurs.

Un nombre qui n'a pas de diviseurs est premier, sinon il est composé.

Parmi tous les diviseurs d'un nombre certains sont des nombres premiers, les diviseurs premiers ou facteurs. Ceux-ci sont les briques suffisantes pour construire tous les nombres.  Cette propriété est le théorème fondamental de l'arithmétique.

 

 

Les types de nombres selon facteurs et diviseurs

*    Donc tout nombre dispose de sa propre empreinte digitale, sa factorisation à partir de ses diviseurs premiers ou facteurs

 

60 = 2² x 3 x 5

61 = 61

62 = 2 x 31

63 = 3² x 7

64 = 26

65 = 5 x 13

 

*    Cette factorisation étant la caractéristique du nombre, il est tentant de distinguer des familles de nombres selon la configuration de leur factorisation

 

60 est un nombre dont le facteur le plus grand vaut 5

61 est premier.

62 et 65, avec deux facteurs non répétés sont semi-premiers.

63 et 60 sont des nombres avec carrés.

64 est une puissance parfaite.

 

*    Une autre manière de classer les nombres consiste à examiner tous les diviseurs par leur quantité ou leur somme

 

La somme des diviseurs de 60 vaut 168 ou 108 en lui retirant 60. Ce nombre est supérieur à 60. Le nombre 60 est dit abondant.

Pour 61, la somme est 61 + 1 = 62 et en lui retirant 61, il reste 1 qui est nettement inférieur à 61; Ce nombre 61, comme tous les nombres premiers est particulièrement déficient.

Le cas de 6 est intéressant. Les diviseurs de 6 sont: 1, 2, 3, sans le 6 et la somme est égale à 1 + 2 + 3 = 6. Cette somme est égale au nombre. Le nombre 6 fait partie de la famille des nombres parfaits.

 

 

 

 

 

 

Suite

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