NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Diviseurs

DIVISEURS

 

Glossaire

Diviseur

 

INDEX

Facteurs et diviseurs

 

Divisibilité

 

Décomposition

 

Nombres premiers

 

Types de nombres

Généralités

Calculs

Fact. Premiers

Liste

2n Diviseurs

Communs

Records

Théorie >>>

Plus grand facteur

Presque-premiers

 

Sommaire de cette page

>>> Liste

>>> Records

>>> Quantité de facteurs – Conjecture de Polya

>>> Programmation

>>> Curiosité – Relation entre facteur et diviseurs

>>> Factorisation des nombres avec Scratch

 

 

 

 

DIVISEURS PREMIERS

FACTEURS PREMIERS

(abrégé en FACTEURS)

 

Sur cette page: la table des facteurs des nombres jusqu'à 100; une propriété singulière de la quantité de facteurs (conjecture de Polya); et la programmation du calcul de la quantité de facteurs d'un nombre.

En fin de page, programmation Scratch de la factorisation des nombres.

 

 

Théorème

Théorème de Hardy-Ramanujan (1917):

 

 est la quantité de diviseurs premiers distincts (facteurs).

Alors, pour presque tous les entiers:  ω(n) = log log n

 

 

 

LISTE des facteurs premiers pour N < 101

 

Voir Suite 


 

 

 

 

RECORDS

 

Distance entre premiers

 

Records successifs de quantités de nombres composés entre deux nombres premiers P1 & P2

 

Exemple entre 7 et 11
 

7

8

9

10

11

Premier

3 Nombres composés

Premier

 

 

Tableau pour N < 1000 000

 

Record limite

La valeur du record limite est infinie: il est toujours possibles de trouver une suite de nombres composés aussi grande que l'on veut   >>>

 


Nombres premiers et quantité de facteurs de leurs successeurs

5 premier

=> 2 facteurs

6 = 2x 3

=> 2 facteurs

 

29 premier

=> 2 facteurs

30 = 2x3x5

=> 3 facteurs

 

13 premier

=> 2 facteurs

14 = 2x7

=> 2 facteurs

15 = 2x5

=> 2 facteurs

103 premier

=> 2 facteurs

104 = 23x13

=> 2 facteurs

105 = 3x5x7

=> 3 facteurs

1153 premier

=> 2 facteurs

1154 = 2x577

=> 2 facteurs

1155 = 3x5x7x11

=> 4 facteurs

3001 premier

=> 2 facteurs

3002 = 2x19x79

=> 3 facteurs

3003 = 3x7x11x13

=> 4 facteurs

 

 

Nombres selon la quantité de facteurs

 

*      Le nombre 10 = 2 x 5 a deux facteurs, soit une quantité paire de facteurs.

Le nombre 30 = 2 x 3 x 5 a trois facteurs, soit une quantité impaire de facteurs.

 

*      Le tableau montre N et sa factorisation, puis la quantité de facteurs.

*      La colonne "Pair" est incrémentée chaque fois que N a une quantité paire de facteurs; la colonne "Impair", de même pour une quantité impaire de facteurs.

 

*      On remarque la course au record entre "Pair" et "Impairs":

 

"Pairs"  "Impairs"

 

Les nombres qui ont une quantité impaire de facteurs sont plus nombreux que ceux qui en ont une quantité paire.

 

 

On conjecture que cela est vrai pour tous les nombres jusqu'à l'infini.

Eh bien non!

Les "Pair" dépassent les "Impairs" pour N = 906 150  257.

 

 

J'ai arrêté les calculs à N=90 608 968 avec les cumuls à 45 303 635 "Pairs" pour 45 305 332 "Impairs".

 

 

 

EN 1919, Conjecture de Polya

En 1958, réfutée par C. Brian Haselgrove avec un nombre astronomique.

En 1960, Sherman Lehman trouve N = 906 180 359.

En 1980, Minoru Tanaka donne le plus petit contre-exemple avec N = 906 150 257.

 

Voir Fonction lambda de Liouville qui caractérise la parité de la quantité de facteurs

Voir Nombres presque premiers et développements sur la quantité des facteurs uniques ou répétés

 

 

Programmation

 

Explications

Le programme suivant calcule la quantité de facteurs dans un nombre donné (N).

Ici N= 120 = 23 x 31 x 51 écrit informatiquement [2, 3],  [3, 1], [5, 1].

La quantité de facteurs distincts est 3.

Tandis que la quantité de facteurs (totale) est: 3 + 1 + 1 = 5. C'est la somme des exposants de chacun des facteurs distincts. En effet: 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5.

 

Programme expliqué pas à pas

 

Programme calculant les "Pair" et "Impairs"

 

 

 

QP est la quantité de nombres dont la quantité de facteurs est paire;

QI, même chose pour les impairs.

 

Le cœur du programme est le même que ci-dessus. Il est enveloppé par une boucle qui fait défiler les nombres N de 1 à 30 dans cet exemple.

 

Notez l'emploi du modulo 2 (reste de la division par 2) pour reconnaitre si un nombre est pair ou impair

 

Le début de la sortie:

 

Suite >>>    

Voir Programmation de la fonction lambda – Exemple de concision en programmation

Voir Programmation sur la recherche de la quantité des facteurs uniques ou répétés

 

 

Curiosité – Relation entre facteur et diviseurs

 

Quels sont les nombres n tels que la quantité de diviseurs (tau) du produit des facteurs (gamma) est égale au nombre lui-même

Exemple

Nombre 12

Ses facteurs premiers: ( 2 , 3)

Produit: 2 x 3 x 12 = 72

Quantité de diviseurs de 72: 12

 

Les quatre seules solutions

  1, {}, 1, 1

  3, {3}, 9, 3

  4, {2}, 8, 4

12, {2, 3}, 72, 12

 

Programme

Ouverture des logiciels de théorie des nombres.

Boucle sur n et pour chacun: A est l'ensemble des facteurs.

Produit des facteurs et du nombre n et calcul du nombre de diviseurs (tau).

Sortie si on retrouve le nombre n.

 

 

 

Factorisation des nombres avec Scratch

Le logiciel Scratch est accessible gratuitement sur Internet (en ligne ou sur votre ordinateur)

Avec ce programme vous disposer d'un outil à votre main pour trouver les facteurs des nombres.

Si vous cherchez les facteurs de grands nombres, le calcul prendra du temps. Pour vérifier que le programme est toujours en action, rendez visible la variable fact.

Programme principal

Il permet d'indiquer le nombre à factoriser: Nombre restera affiché, tandis que nb sera mis à jour au fur et à mesure de la découverte des facteurs et cela jusqu'à ce que nb soit égal à 1. 

 

Pour commencer, le programme demande d'entrer un nombre dans la fenêtre qui s'ouvre.

Ce programme va d'abord chercher les facteurs pairs dans nb, puis ses facteurs impairs. Il fait appel à deux blocs, deux sous-programmes.

Avant tout, fact est mis à 2, puis à trois avant d'attaquer les impairs; et, on lui ajoute 2 pour traiter l'impair suivant.

 

Ce programme traite un nombre, indique les facteurs et spécifie si le nombre est premier ou composé. Après une attente de 3 secondes, il est prêt pour traiter un autre nombre.

 

Sous-programme PAIR

On cherche la quantité de facteurs 2.

Répétitions tant que le nombre reste pair. Arrêt dès que la division par 2 (modulo 2) donne un reste supérieur à 0.

Si, on peut diviser par 2, on le divise et on ajoute un facteur 2 dans la liste des facteurs.

 

Sous-programme IMPAIR

On répète ce sous-programme pour trouver combien de fois le facteur fact existe dans nb.

Si, nb peut diviser par fact, on le divise et on ajoute ce facteur dans la liste des facteurs.

 

Sous-programme Premier

Selon la taille de la liste des facteurs, le programme indique si le nombre est premier ou composé.

 

  

Voir ProgrammationScratch

 

 

 

 

Suite

*    Liste de facteurs premiers pour n > 100

*    Types de nombres selon leurs diviseurs

*    Nombres égaux à la somme des premiers situés entre ses facteurs extrêmes

*    Voir en haut de page

*    Liste des nombres et leurs facteurs et diviseurs

Voir

*    Calcul mentalIndex

*    Conjecture ABC

*    Divisibilité

*    Machine des frères Carissan

*    Nombres composés

*    PGCD

*    Premiers

*    Théorie des nombresIndex

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