NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

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Diviseurs

DIVISEURS

 

Glossaire

Diviseur

 

 

INDEX

Décomposition

 

Généralités

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Fact. Premiers

Liste

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Records

Théorie >>>

Plus grand facteur

 

Sommaire de cette page

>>> Liste

>>> Records

>>> Quantité de facteurs – Conjecture de Polya

>>> Programmation

 

 

 

 

DIVISEURS PREMIERS

FACTEURS PREMIERS

(abrégé en FACTEURS)

 

Sur cette page: la table des facteurs des nombres jusqu'à 100; une propriété singulière de la quantité de facteurs (conjecture de Polya); et la programmation du calcul de la quantité de facteurs d'un nombre.

 

 

 

Théorème

Théorème de Hardy-Ramanujan (1917):

 

 est la quantité de diviseurs premiers distincts (facteurs).

Alors, pour presque tous les entiers:  ω(n) = log log n

 

 

 

LISTE des facteurs premiers pour N < 101

 

Voir Suite 


 

 

 

 

RECORDS

 

Distance entre premiers

 

Records successifs de quantités de nombres composés entre deux nombres premiers P1 & P2

 

Exemple entre 7 et 11
 

7

8

9

10

11

Premier

3 Nombres composés

Premier

 

 

Tableau pour N < 1000 000

 

Record limite

La valeur du record limite est infinie: il est toujours possibles de trouver une suite de nombres composés aussi grande que l'on veut   >>>

 

 

 

Nombres selon la quantité de facteurs

 

*      Le nombre 10 = 2 x 5 a deux facteurs, soit une quantité paire de facteurs.

Le nombre 30 = 2 x 3 x 5 a trois facteurs, soit une quantité impaire de facteurs.

 

*      Le tableau montre N et sa factorisation, puis la quantité de facteurs.

*      La colonne "Pair" est incrémentée chaque fois que N a une quantité paire de facteurs; la colonne "Impair", de même pour une quantité impaire de facteurs.

 

*      On remarque la course au record entre "Pair" et "Impairs":

 

"Pairs"  "Impairs"

 

Les nombres qui ont une quantité impaire de facteurs sont plus nombreux que ceux qui en ont une quantité paire.

 

 

On conjecture que cela est vrai pour tous les nombres jusqu'à l'infini.

Eh bien non!

Les "Pair" dépassent les "Impairs" pour N = 906 150  257.

 

 

J'ai arrêté les calculs à N=90 608 968 avec les cumuls à 45 303 635 "Pairs" pour 45 305 332 "Impairs".

 

 

 

EN 1919, Conjecture de Polya

En 1958, réfutée par C. Brian Haselgrove avec un nombre astronomique.

En 1960, Sherman Lehman trouve N = 906 180 359.

En 1980, Minoru Tanaka donne le plus petit contre-exemple avec N = 906 150 257.

 

Voir Fonction lambda de Liouville qui caractérise la parité de la quantité de facteurs

 

 

 

Programmation

 

Explications

Le programme suivant calcule la quantité de facteurs dans un nombre donné (N).

Ici N= 120 = 23 x 31 x 51 écrit informatiquement [2, 3],  [3, 1], [5, 1].

La quantité de facteurs distincts est 3.

Tandis que la quantité de facteurs (totale) est: 3 + 1 + 1 = 5. C'est la somme des exposants de chacun des facteurs distincts. En effet: 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5.

 

Programme expliqué pas à pas

 

Programme calculant les "Pair" et "Impairs"

 

 

 

QP est la quantité de nombres dont la quantité de facteurs est paire;

QI, même chose pour les impairs.

 

Le cœur du programme est le même que ci-dessus. Il est enveloppé par une boucle qui fait défiler les nombres N de 1 à 30 dans cet exemple.

 

Notez l'emploi du modulo 2 (reste de la division par 2) pour reconnaitre si un nombre est pair ou impair

 

Le début de la sortie:

 

Suite >>>    

Voir Programmation de la fonction lambda – Exemple de concision en programmation

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Liste de facteurs premiers pour n > 100

*    Types de nombres selon leurs diviseurs

*    Voir en haut de page

*    Liste des nombres et leurs facteurs et diviseurs

Voir

*    Calcul mentalIndex

*    Conjecture ABC

*    Divisibilité

*    Machine des frères Carissan

*    Nombres composés

*    PGCD

*    Premiers

*    Théorie des nombresIndex

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*    http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/FactPrem.htm