NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 07/08/2007

Débutants	-Ý- RUBRIQUE: DIVISIBILITÉ			Glossaire
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DIVISIBILITÉ de n^k + kⁿ

Étude de cette forme pour k

-Ý - APPROCHE

Table des valeurs de n^k + kⁿ pour n et k de 1 à 10

Repérage des nombres premiers en jaune

1 1 2 Oui 2 1 3 Oui 3 1 4 4 1 5 Oui 5 1 6

1 2 3 Oui 2 2 8 3 2 17 Oui 4 2 32 5 2 57

1 3 4 2 3 17 Oui 3 3 54 4 3 145 5 3 368

1 4 5 Oui 2 4 32 3 4 145 4 4 512 5 4 1649

1 5 6 2 5 57 3 5 368 4 5 1649 5 5 6250

1 6 7 Oui 2 6 100 3 6 945 4 6 5392 5 6 23401

1 7 8 2 7 177 3 7 2530 4 7 18785 5 7 94932

1 8 9 2 8 320 3 8 7073 4 8 69632 5 8 423393

1 9 10 2 9 593 Oui 3 9 20412 4 9 268705 5 9 2012174

1 10 11 Oui 2 10 1124 3 10 60049 4 10 1058576 5 10 9865625

6 1 7 Oui 7 1 8 8 1 9 9 1 10 10 1 11 Oui

6 2 100 7 2 177 8 2 320 9 2 593 Oui 10 2 1124

6 3 945 7 3 2530 8 3 7073 9 3 20412 10 3 60049

6 4 5392 7 4 18785 8 4 69632 9 4 268705 10 4 1058576

6 5 23401 7 5 94932 8 5 423393 9 5 2012174 10 5 9865625

6 6 93312 7 6 397585 8 6 1941760 9 6 10609137 10 6 61466176

6 7 397585 7 7 1647086 8 7 7861953 9 7 45136576 10 7 292475249

6 8 1941760 7 8 7861953 8 8 33554432 9 8 177264449 10 8 1173741824

6 9 10609137 7 9 45136576 8 9 177264449 9 9 774840978 10 9 4486784401

6 10 61466176 7 10 292475249 8 10 1173741824 9 10 4486784401 10 10 20000000000

§ Il semble qu'à partir de k = 4, la plupart des nombres n^k + k^n soient composés § En poursuivant les calculs jusqu'à n = 1000, on observerait que pour:
n^4 + 4^n	§ Ils sont tous premiers sauf pour n = 1 (5)
n^5 + 5^n	§ 24^5 + 5^24 = 59604644783353249 premier
n^6 + 6^n	§ Ils sont tous premiers sauf pour n = 1 (7)
n^7 + 7^n	§ Premier pour n = 54
n^8 + 8^n	§ Premier pour n = 69
n^9 + 9^n	§ Premier pour n = 2, 76 …
n^10 + 10^n	§ Ils sont tous premiers sauf pour n = 1 (11)

-Ý - CAS n= 4

Étude du cas	N = n^4 + 4^n
Si n est pair ü N est pair, donc non premier	n^4 + 4^n			= (2k)^4 + 4^2k
Si n est impair ü Cherchons un mise en facteur ü Le premier terme est un carré ü Le deuxième aussi, finalement	n^4 + 4^n n^4 4^n			= n^4 + 4^n = (n^2)^2 = (2x2)^n = 2^n.2^n =
§ Exprimons N ü En somme de deux carrés ü Essayons de révéler une identité remarquable	n^4 + 4^n			= (n^2)^2 + (2^n)^2 = (n^2)^2 + (2^n)^2 + 2(n²)(2^n) - 2(n²)(2^n) = (n^2 + 2^n)^2 - 2^n+1 n²
§ Nous sommes dans le cas où n est impair ü Alors, n+1 est pair ü Sa moitié est un nombre entier ü Nouvelle écriture du terme de droite ü Qui devient un carré	2^n+1 n²			= 2^(n+1)/2 n . 2^(n+1)/2 n = { 2^(n+1)/2 n }²
§ Nouvelle expression de N ü Qui conduit à une différence de 2 carrés ü Et à une factorisation immédiate ü Donc N est le produit de 2 facteurs; il n'est pas premier ü À condition de vérifier que ces facteurs sont bien différents de 1	n^4 + 4^n			= (n^2 + 2^n)^2 - { 2^(n+1)/2 n }² = (n^2 + 2^n - 2^(n+1)/2 n) (n^2 + 2^n + 2^(n+1)/2 n)
Facteurs différents de 1 § D'abord, des deux facteurs ü On se souvient que n > 2 ü Le facteur de gauche est le plus petit, strictement	(n^2 + 2^n - 2^(n+1)/2 n) < (n^2 + 2^n + 2^(n+1)/2 n)
§ Étudions ce facteur de gauche ü Pour y révéler une identité remarquable ü Le premier terme est un carré, il est positif	F	= n^2 + 2^n - 2^(n+1)/2 n = n^2 - 2.n.2^n/2 + 2^n + 2.n.2^n/2 - 2^(n+1)/2 n = (n² - 2^n)² + 2.n.2^n/2 - 2^(n+1)/2 n
§ Calculons le second facteur			2.n.2^n/2 - 2^(n+1)/2 n
ü Pour quelques valeurs de n ü Ce facteur est supérieur à 1 pour n > 2	n = 1 2 3 4 5				N = 0,82 2,34 4,90 9,37 16,5
ü Dans tous les cas la somme des deux facteurs est supérieure à 1 ü N est donc bien le produit de 2 facteurs différents de 1	N n'est pas premier pour n > 1

Valeur des facteurs

n k N f1 f2

3 4 145 = 5 x 29

5 4 1649 = 17 x 97

7 4 18785 = 65 x 289

9 4 26870 = 305 x 881

11 4 4208945 = 1465 x 2873

13 4 67137425 = 6697 x 10025

15 4 1073792449 = 29153 x 36833

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-Ý-

Voir

§ Divisibilité des formes § Divisibilité de 2^n ± 1 § Fermat § Nombres répétés