NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/09/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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NOMBRES à répétition

et leur divisibilité.

Occasion de produire des multiplications amusantes et de concocter des tours de magie.

Propriété:

Exemple: 123 123 = 1001 123

Propriété: 1001 = 37 137

Propriété: 123 123 = 37 137 123

Voir Divisibilité / Divisibilité des nombres en 9

Nombre 101 – Nombres répétés à deux chiffres
Facteurs Diviseurs	1, 101 1, 101
Propriété Exemple En effet	Le produit d'un nombre de deux chiffres par 101 engendre un nombre répété. 12 12 = 12 x 101 12 x 101 = 12 (100 + 1) = 12 00 + 12 = 12 12
Divisibilité	Règle générale Le nombre 101 étant premier, aucune possibilité de diviser tous les nombres tels que 1212 par un nombre autre que 101. Cas particulier Pris individuellement, ces nombres répétés sont au moins aussi divisible que le nombre source Exemple Facteurs: 1212 = 2^2 x 3 x 101 Diviseurs: {1, 2, 3, 4, 6, 12, 101, 202, 303, 404, 606, 1212}

Notes: Les nombres ne sont pas présentés en bloc de trois pour mieux apprécier les répétitions.

La barre de surlignement indique qu'il s'agit d'un nombre et non d'un produit.

Nombre 1001 – Nombres répétés à trois chiffres
Facteurs Diviseurs	1, 7, 11, 13, 101 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001
Propriété Exemple En effet	123 123 = 123 x 1001 123 x 1001 = 123 (1000 + 1) = 123 000 + 123 = 123 123
Exemples	Tous les nombres en sont divisibles par 7, 11, 13, 77, 91 et 143. 123123 = 7 x 17 589 123123 = 11 x 11 193 123123 = 13 x 9 471 123123 = 77 x 1 599 123123 = 91 x 1 353 123123 = 143 x 861

Configurations permettant des trucs de calcul mental

143 x 7 = 1 001

1 667 x 3 = 5 001

142 857 x 7 = 999 999

2 857 143 x 7 = 20 000 001

142 857 143 x 7 = 1 000 000 001

Nombre 10 001 – Nombres répétés à quatre chiffres
Facteurs Diviseurs	1, 73 ,137, 10 001 1, 73, 137, 10 001
Propriété Exemple	1234 1234 = 1234 x 1001
Divisibilité Exemples	Tous les nombres en sont divisibles par 73 et par 137. 12341234 = 73 x 169 058 12341234 = 137 x 90 082
Ce n'est pas tout Cette propriété est évidente, mais amusante du fait du nombre 365 (jours de l'année).	365 = 5 x 73 50 005 = 365 x 137 = 5 x 10 001 En plus, si d = 0 ou 5, ces nombres sont divisibles par 365 et par 50 005. 12351235 = 365 x 33 839 12351235 = 50 005 x 247

Bilan

Avec 101, nous avons vu le principe de la formation d'un nombre répété.

Avec 1001, c'est une propriété de divisibilité générale qui se manifeste.

Avec 10 001 et ses deux uniques diviseurs (73 et 137), la divisibilité des nombres répétés à quatre chiffres est difficile à débusquer et, donc, propice à quelques tours de magie simples.

TOUR de MAGIE

Je suis capable de transmission de pensée entre vous deux: Clément et Alexis. Clément, tu choisis n'importe quel nombre à quatre chiffres N (un vrai, sans zéro au début). Tu l'inscris sur la calculette et tu multiplies par 137 sans qu'Alexis te voie. Le nombre N auquel tu as pensé est bien caché, n'est-ce pas. Alexis va pourtant le deviner. Alexis prend la calculette et multiplie secrètement le résultat par 73, nombre que je lui ai communiqué auparavant. Il lit les quatre premiers chiffres et annonce fièrement le nombre à Clément. Les deux compères sont aussi émerveillés l'un que l'autre!

Clément Alexis

Table de multiplication du 10 001

Nous prenons le 1 comme exemple. Les mêmes résultats sont obtenus pour les autres chiffres. La propriété énoncée pour les nombres à quatre chiffres se retrouve Elle est vraie également pour les nombres à moins de quatre chiffres; Le tour de magie marche pour ces nombres, mais nécessite une explication qui complique les choses pour les enfants. Ex: 27 = 137 x 73 = 270027. Il faut dire que si des 0 apparaissent, il faut les ignorer. Par contre, la propriété disparaît pour plus de quatre chiffres; Cependant, les motifs des nombres (les trois colonnes de droite) se prolongent malgré tout. Motif général

Autres cas de divisibilité

Une combinaison linéaire des nombres répétés est également divisible de la même manière. À la place d'une phrase compliquée, donnons des exemples A = 12341234 B = 56785678 A + B = 69126912 = 10001 x 6912 A = 12341234 B = 56785678 A + 10 x B = 580198014 = 10001 x 58014 A = 12341234 B = 56785678 2 x A + 10 x B = 592539248 = 10001 x 59248 Avec un nombre source divisible par 5 (unité en 0 ou 5), le nombre répété est divisible par 10 001 x 5 = 50 005, par 73 x 5 = 365 et par 137 x 5 = 685. Propriété amusante du fait de l'apparition du nombre 365, les jours de l'année. S = 2345 R = 23452345 R / 365 = 64253 S = 9995 R = 99959995 R / 365 = 273863

Généralisation – Nombres en 100…1
Voici les facteurs des nombres en 100..1. Avec ces valeusr, il est possible d'imaginer d'autres cas de divisibilité, de multiplications magiques ou tours d magie. Il faut reconnaître que 10 001 est le plus pertinent. Facteurs Divisibilité

Voir Nombres 7 / 11 / 13 / 17 / 19 / 73 / 101 / 111 / 137 / 10 001

AUTRES NOMBRES MAGIQUES
111 x a = aaa	Facteurs Diviseurs	3 x 37 1, 3, 37, 111	Tous les nombres en aaa sont divisibles par 3, 37 et 111.
10101 x ab = ababab	Facteurs Diviseurs	3 x 7 x 13 x 37 1, 3, 7, 13, 21, 37, 39, 91, 111, 10101, 273, 259, 481, 777, 1443, 3367	Tous les nombres en ababab sont divisibles par 10101 et par tous ses diviseurs
1001001 x abc = abcabcabc	Facteurs Diviseurs	= 3 x 333667 1, 3, 333667, 1001001	Tous les nombres en abcabcabc sont divisibles par 1001001 et par ses diviseurs
1101011	Facteurs Diviseurs	= 67 x 16 433 1, 67, 16433, 1101011	Tous les nombres en aa0a0aa sont divisibles par 1101011 et par ses diviseurs
Etc.	Ce dernier cas, avec un nombre non symétrique, ne représente pas un grand intérêt. La propriété n'existe que pour les 9 valeurs de a.

Suite	Nombres ondulants Divisibilité par 137 Divisibilité des nombres en 9
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DicoNombre	Nombre 23 Nombre 73 Nombre 137 Nombre 10 001 Nombre 909 090 Nombre 6 099 610 Racine de 2 Racine de 3
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