NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombre

FORME

 

Glossaire

Nombre

 

 

INDEX

 

Type de Nombres

 

Nom des nombres

 

Motifs

Répétition

Ondulants

 

Sommaire de cette page

>>> Nombre 101 – Nombres répétés à deux chiffres

>>> Nombre 1001 – Nombres répétés à trois chiffres

>>> Nombre 10001 – Nombres répétés à quatre chiffres

>>> Bilan

>>> TOUR de MAGIE

>>> Table de multiplication du 10 001

>>> Autres cas de divisibilité

>>> Généralisation

>>> Autres nombres magique

   

 

 

 

NOMBRES à répétition

et leur divisibilité.

 

Occasion de produire des multiplications amusantes et de concocter des tours de magie.

 

Propriété:                         

Exemple:              123 123           = 1001         123 

Propriété:             1001                 = 37  137

Propriété:             123 123           = 37  137  123

Voir Divisibilité

 

 

 

Nombre 101 – Nombres répétés à deux chiffres

 

*    Facteurs

*    Diviseurs

 


1, 101

1, 101

 

*    Propriété

 

 

 

 

 

*    Exemple

*    En effet

 

 

Le produit d'un nombre de deux chiffres par 101 engendre un nombre répété.

 

12 12 = 12 x 101

12 x 101 = 12 (100 + 1)

                      = 12 00

                          +   12

                      = 12 12

 

*    Divisibilité

 

 

Règle générale

Le nombre 101 étant premier, aucune possibilité de diviser tous les nombres tels que 1212 par un nombre autre que 101.

 

Cas particulier

Pris individuellement, ces nombres répétés sont au moins aussi divisible que le nombre source

 

Exemple

Facteurs: 1212 = 22 x 3 x 101
Diviseurs: {1, 2, 3, 4, 6, 12, 101, 202, 303, 404, 606, 1212}

 

Notes: Les nombres ne sont pas présentés en bloc de trois pour mieux apprécier les répétitions.

La barre de surlignement indique qu'il s'agit d'un nombre et non d'un produit.

 

Nombre 1001 – Nombres répétés à trois chiffres

 

*    Facteurs

*    Diviseurs

 


1, 7, 11, 13, 101

1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001

 

*    Propriété

 

*    Exemple

*    En effet

 

 

123 123 = 123 x 1001

123 x 1001 = 123 (1000 + 1)

                      = 123 000

                          +     123

                      = 123 123

 

 

 

*    Exemples

 

Tous les nombres en  sont divisibles par 7, 11, 13, 77, 91 et 143.

 

123123        =     7 x  17 589

123123        =   11 x 11 193

123123        =   13 x   9 471

123123        =   77 x   1 599

123123        =   91 x   1 353

123123        = 143 x      861

 

 

Configurations permettant des trucs de calcul mental

               143                x 7                  =               1 001

            1 667                x 3                  =               5 001

        142 857                x 7                  =           999 999

     2 857 143               x 7                  =      20 000 001

142 857 143                x 7                  = 1 000 000 001

 

 

Nombre 10 001

– Nombres répétés à quatre chiffres

 

*    Facteurs

*    Diviseurs

 


1, 73 ,137, 10 001

1, 73, 137, 10 001

 

*    Propriété

*    Exemple

 

1234 1234 = 1234 x 1001

 

*    Divisibilité

 

 

*    Exemples

 

Tous les nombres en  sont divisibles par 73 et par 137.

 

12341234    =   73 x 169 058

12341234    = 137 x   90 082

 

 

*    Ce n'est pas tout

Cette propriété est évidente, mais amusante du fait du nombre 365 (jours de l'année).

 

365               =       5 x   73

50 005          =   365 x 137 = 5 x 10 001

 

 

En plus, si d = 0 ou 5, ces nombres sont divisibles par 365 et par 50 005.

 

12351235    =        365 x       33 839

12351235    =   50 005 x           247

 

 

 

Bilan

Avec 101, nous avons vu le principe de la formation d'un nombre répété.

Avec 1001, c'est une propriété de divisibilité générale qui se manifeste.

Avec 10 001 et ses deux uniques diviseurs (73 et 137), la divisibilité des nombres répétés à quatre chiffres est difficile à débusquer et, donc, propice à quelques tours de magie simples.

 

 

TOUR de MAGIE

Je suis capable de transmission de pensée entre vous deux: Clément et Alexis.

*    Clément, tu choisis n'importe quel nombre à quatre chiffres N (un vrai, sans zéro au début).

Tu l'inscris sur la calculette et tu multiplies par 137 sans qu'Alexis te voie. Le nombre N auquel tu as pensé est bien caché, n'est-ce pas. Alexis va pourtant le deviner.

*    Alexis prend la calculette et multiplie secrètement le résultat par 73, nombre que je lui ai communiqué auparavant.

Il lit les quatre premiers chiffres et annonce fièrement le nombre à Clément.

Les deux compères sont aussi émerveillés l'un que l'autre!

 

Clément

 

Alexis

 

 

 

Table de multiplication du 10 001

 

*    Nous prenons le 1 comme exemple. Les mêmes résultats sont obtenus pour les autres chiffres.



*    La propriété énoncée pour les nombres à quatre chiffres se retrouve

*      Elle est vraie également pour les nombres à moins de quatre chiffres;


Le tour de magie marche pour ces nombres, mais nécessite une explication qui complique les choses pour les enfants. Ex: 27 = 137 x 73 = 270027. Il faut dire que si des 0 apparaissent, il faut les ignorer.

*      Par contre, la propriété disparaît pour plus de quatre chiffres;

*      Cependant, les motifs des nombres (les trois colonnes de droite) se prolongent malgré tout.

 

Motif général

 

 

 

Autres cas de divisibilité

 

*    Une combinaison linéaire des nombres répétés est également divisible de la même manière. À la place d'une phrase compliquée, donnons des exemples

 

A = 12341234     B = 56785678            A +         B =   69126912 = 10001 x   6912

A = 12341234     B = 56785678            A + 10 x B = 580198014 = 10001 x 58014

A = 12341234     B = 56785678      2 x A + 10 x B = 592539248 = 10001 x 59248

 

 

*    Avec un nombre source divisible par 5 (unité en 0 ou 5), le nombre répété est divisible par 10 001 x 5 = 50 005, par 73 x 5 = 365 et par 137 x 5 = 685. Propriété amusante du fait de l'apparition du nombre 365, les jours de l'année.

 

S = 2345              R = 23452345            R / 365 =   64253

S = 9995              R = 99959995            R / 365 = 273863

 

 

 

 

Généralisation – Nombres en 100…1

 

*    Voici les facteurs des nombres en 100..1. Avec ces valeusr, il est possible d'imaginer d'autres cas de divisibilité, de multiplications magiques ou tours d magie. Il faut reconnaître que 10 001 est le plus pertinent.

 

Facteurs

 

Divisibilité

 

Voir Nombres  7 / 11 / 13 / 17 / 19 / 73  / 101 / 111 / 137 / 10 001

 

 

AUTRES NOMBRES MAGIQUES

111

x a = aaa

Facteurs

Diviseurs

3 x 37

1, 3, 37, 111

Tous les nombres en aaa 

sont divisibles par 3, 37 et 111.

10101

x ab = ababab

Facteurs

Diviseurs

3 x 7 x 13 x 37

1, 3, 7, 13, 21, 37, 39, 91, 111, 10101, 273, 259, 481, 777, 1443, 3367

Tous les nombres en ababab 

sont divisibles par 10101

et par tous ses diviseurs

1001001

x abc = abcabcabc

Facteurs

Diviseurs

= 3 x 333667

1, 3, 333667, 1001001

Tous les nombres en abcabcabc

sont divisibles par 1001001

et par ses diviseurs

1101011

Facteurs

Diviseurs

= 67 x 16 433

1, 67, 16433, 1101011

Tous les nombres en aa0a0aa

sont divisibles par 1101011

et par ses diviseurs

Etc.

Ce dernier cas, avec un nombre non symétrique, ne représente pas un grand intérêt. La propriété n'existe que pour les 9 valeurs de a.

 

 

 

Suite

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Voir

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*    Divisibilité

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*    Magie

*      Multiplications

*      Multiplications magiques

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*    Nombre pronique

*    Nombre sphénique

*    Pi

*      Repunit

DicoNombre

*    Nombre              23

*    Nombre              73

*    Nombre            137

*    Nombre       10 001

*    Nombre  6 099 610

*    Racine de 2

*    Racine de 3

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