NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 07/01/2011

 

- Ý - Rubrique Nombres et constantes

Nombres à répétition

Sommaire de cette page

 

>>> APPROCHE

>>> CAS DE XYZT XYZT

>>> CAS DE XYZ5 XYZ5 avec z = 0 ou 5

>>> GÉNÉRALISATION

>>> ENCORE D'AUTRES

Pages voisines:

*      23

*      137

*      10 001

*      Magie

*      Constantes

*      Racine de 2

*      Racine de 3

*      Imaginaires

*      Pi

*      Nombre d'Or

*      Divisibilité

*       Nombre 6 099 610

 

 

 

MULTIPLICATIONS MAGIQUES

 

1234 1234

4321 4321

6789 6789

9876 9876

 

sont divisibles par 73 et 137

 

Magie …Quel est le mystère … de ces nombres à répétition de motifs ?

 

 

 

-        Ý - APPROCHE

Constatation

§  Prenons le cas de la répétition de 1234

12341234

§  Quels sont ses facteurs premiers

2 x 73 x 137 x 617

§  On y retrouve bien l'énoncé:

divisible par 73 et 137

§  Cherchons mieux: quels sont les diviseurs

1, 2, 73, 137, 146,

 617, 274, 1234,

 10001, 20002,

45041, 84529, 90082,

6170617, 12341234, 169058,

§  Trouvez lequel de ces diviseurs cache la propriété magique. C'est è

10001

§  Eh oui! Le nombre initial peut s'écrire

12341234 = 10001.k

= 10000 . k

§  Avec

k = 1234

§  En effet

1234 1234

= 1234 0000

+ ____1234

 

Diviseurs de 10001

§  Facteurs

10001= 73 x 137

§  Diviseurs

1,

73,

137,

10001

 

Soit le théorème suivant

Tous les nombres en xyzt xyzt

sont divisibles par 10001

et par ses diviseurs  73 & 137

 

 

 

 

 

- Ý -  CAS DE XYZT XYZT

 

§  On peut jouer avec les diviseurs et cacher la propriété qui rend magique la multiplication ou la division

§  Prenons l'exemple de 137, et énonçons les propriétés que l'on peut déduire de ce qui a été dit plus haut

 

 

Nombre

Pour x =

Exemples

n

division par 137

a 000 a

 

x = 0

y = 0

z = 0

t = a

 

1 à 9

10001

20002

30003

40004

50005

60006

70007

80008

90009

73

146

219

292

365

438

511

584

657

a 00 a

x = 0

y = 0

zt = a

10 à 99

100010

110011

…

990099

730

803

…

7227

a 0 a

x = 0

yzt = a

100 à 999

1000100

1010101

…

9990999

7300

7373

…

72927

a0a0a0a

x = 0

y = a

z = 0

t = a

1 à 9

1010101

2020202

3030303

4040404

5050505

6060606

7070707

8080808

9090909

7373

14746

22119

29492

36865

44238

51611

58984

66357

aaaaaaa

x = a

y = a

z = a

t = a

1 à 9

11111111

22222222

33333333

44444444

55555555

66666666

77777777

88888888

99999999

81103

162206

243309

324412

405515

486618

567721

648824

729927

abababa

x = a

y = b

z = a

t = b

1 à 9

11111111

21212121

31313131

…

91919191

12121212

22222222

…

79797979

89898989

99999999

81103

154833

228563

…

670943

88476

162206

…

582467

656197

729927

 

 

Une infinité

§  On peut inventer une infinité de nombres divisibles par 137 (et 10001 et 73)

§  Ce sont toutes les combinaisons linéaires des nombres ci-dessus

N = k1 .N1 + k2 .N2 + …

 

 

Combinaison linéaire

Exemples

n

division par 137

n = Ak + 10B

 

A= B =

12341234

 

k de 1 à 9

135753574

148094808

160436042

172777276

185118510

197459744

209800978

222142212

234483446

246824680

990902

1080984

1171066

1261148

1351230

1441312

1531394

1621476

1711558

1801640

 

 

 

- Ý -  CAS DE XYZ5XYZ5 avec z = 0 ou 5

Exemples

1000 1000

= 365 x

27 400

1005 1005

27 537

Etc. de 5 en 5

…

9990 9990

273 726

9995 9995

273 863

1000 1000

= 50 005 x

200

…

…

9995 9995

1 999

 

Propriétés:

  • Tous les nombres en  abc0 abc0 ou  abc5 abc5 sont divisibles

par 5, 73, 137, 10001,

et  685, 365, 50005

 

 

 

- Ý - GÉNÉRALISATION

 

 

§  On a le même truc général avec les nombres en

 

100…001

 

 

Facteurs

11 =

 Premier

101 =

 Premier

1001 =

7

x 11

x 13

 

 

 

10001 =

 

 

 

73 

x

137

100001 =

 

11 

 

 

x

9 091

1000001 =

 

 

 

101 

x

9 901

10000001 =

 

11 

 

 

x

909 091

100000001 =

 

 

 

17 

x

5 882 353

1000000001 =

7

x 11

x 13

x 19

x

52579

 

Voir

*  Nombre 111

*  Nombre 10 001

*  Divisibilité

*  Rep-Unit

*   Multiplications

*   Multiplications magiques

 

 

 

 

Si on prend 1001, on peut énoncer:

 

Tous les nombre AA , avec A trois chiffres ,

sont divisibles par

 

1001, 7, 11  et 13

 

 

Tous les nombres en xyzxyz

sont divisibles par  13

 

Exemples:

123123 =  13 x 9471

8008 = 13 x 616

 

 

 

Théorèmes

Nombre de chiffres du motif

Tous les nombres de la forme

Sont divisible par

et par leurs    diviseurs

1

a a

11

/

2

ab ab

101

/

3

abc abc

1001

7, 11, 13, 77, 91, 143

4

abcd abcd

10 001

73 , 137

5

abcde abcde

100 001

11 , 9091

6

abcdef abcdef

1000 001

101 , 9901

7

abcdefg abcdefg

10 000 001

11 , 909 091

8

abcdefgh abcdefgh

100 000 001

17 , 5 882 353

9

abcdefghi abcdefghi

1000000001

1, 7, 11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 1001, 1000000001, 999001, 368053, 578369, 683527, 4048583, 4784689, 6993007, 52579, 209, 247, 1463, 19019, 1729, 2717, 7518797, 52631579, 10989011, 12987013, 76923077, 90909091, 142857143

 

 

 

 

- Ý -   ENCORE D'AUTRES

 

111

= 3 x 37

Facteurs

1, 3, 37, 111

Diviseurs

*  Tous les nombres en aaa  sont divisibles par 3 & 37

*  Car:  111 x ab = aaa

 

10 1 01

= 3 x 7 x 13 x 37

Facteurs

1, 3, 7, 13, 21, 37, 39, 91, 111, 10101, 273, 259, 481, 777, 1443, 3367

Diviseurs

*  Tous les nombres en ababab  sont divisibles par 10101 et par ses diviseurs

*  Car:  10 101 x ab = ababab

 

100 1 001

= 3 x 333667

Facteurs

1, 3, 333667, 1001001

Diviseurs

*  Tous les nombres en abcabcabc sont divisibles par 1001001 et par ses diviseurs

 

 

110 1 011

= 67 x 16 433

Facteurs

1, 67, 16433, 1101011

Diviseurs

*  Tous les nombres en aababaa sont divisibles par 1101011 et par ses diviseurs

 

Etc.

 

 

 Page éditée sur une idée de Jacques B.

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