NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX

 

Puissance

 

Motifs

 

Leyland

 Divisibilité de nk + kn

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Liste des nombres de Leyland

>>> Leyland premiers

>>> Leyland du second type

>>> Cas: N = n4 + 4n

>>> Cas de nk + kn

 

 

 

 

NOMBRES de LEYLAND

 

Nombres à motif en puissance comme: 100 = 26 + 62

ou 32 = 24 + 42 qui est symétrique 32 = 16 + 16.

 

Ces nombres ont été inventés pour obtenir des nombres le moins typé possible, adéquates pour tester des algorithmes de recherche de primalité.

Paul Leyland

 

 

APPROCHE

 

*    Définition du nombre de Leyland:

Nombres de la forme  avec

*    Il en existe autant que l'on veut en donnant à x et y toutes les valeurs numériques croissantes. Voici les dix premiers pour x et y jusqu'à 5:

 

*    Attention; cette liste ne donne pas toutes les valeurs croissantes des nombres de Leyland. Il faut introduire y = 6 pour avoir L = 100, par exemple. >>>

 

*    La valeur x et y = 1 est éliminée car produisant une infinité de motifs triviaux, comme: 1100 + 1001 = 101.

 

*    On prend la précaution de demander y plus grand ou égal à x tout simplement pour éviter les doublons commutés comme:   100 = 26 + 62 = 62 + 26.

 

 

 

Liste des nombres de Leyland

 

Table des valeurs croissantes jusqu'à 20 000 000 000 (93 valeurs)

 

L = xy + yx



 

 

Leyland premiers

 

*    Les nombres de Leyland premiers sont rares. Il n'en existe que 5 pour x et y jusqu'à 500:


 

 

*      Le plus grand connu en 2012 est: 26384405 + 44052638 qui comporte 15 071 chiffres.

*      La quantité de premiers de Leyland semble infinie, mais ce n'est pas prouvé.

*      La factorisation des nombres de Leyland n'est pas facile. Ils sont des cas de choix pour tester les algorithmes de factorisation, dit Paul Leyland lui-même.

*      Pour que L soit premier, x et y doivent être premiers entre eux et de parites opposées.

 

Plus grands nombres premiers de Leyland

 

67635122 + 51226753  avec 25 05 0chiffres

86562929 + 29298656 avec 30 008 chiffres

 

 

Leyland du second type

 

L = xy yx

 

En jaune les nombres premiers

 

 

Cas: N = n4 + 4n

Observation

 

*    Valeur et factorisation pour n de 1 à 10.

*    Seul 5 est un nombre premier.

*    Tous les suivants sont composés. Est-ce toujours vrai? Oui!

 

Démonstration


 

*    Si n est pair: n = 2k
N est divisible par 16.

(2k)4 + (42k)

= 16 k4 + 24k

= 16 (k4 + 24 k – 4)

*    Si n est impair, on cherche une factorisation (pas évidente a priori!): mise en évidence d'une identité remarquable du type (a+b)²

N = n4 + 4n

= n4 + 2 n2 2n + (2n)22 n2 2n

= (n2 + 2n)2 – 2n+1 n2

*    Si n est impair la quantité (n+1)/2 est un entier. Mise en évidence d'une identité remarquable du type a² – b² = (a – b)(a + b)

(n2 + 2n)2 – 2n+1 n2

= ( n2 + 2n – 2n+1)/2 n )

   ( n2 + 2n + 2n+1)/2 n )

*    Nous obtenons ainsi une factorisation qui semblerait dire que N n'est premier que n = 1.

Pour n = 1, N

= ( 12 + 21 – 21+1)/2 x 1 )

   ( 12 + 21 + 21+1)/2 x 1 )

= ( 1 + 2 – 2 ) ( 1 + 2 + 2 )

= 1 x 5 = 5

*    Reste à savoir si le premier facteur avec un terme négatif ne peut pas prendre la valeur 1.

n2 + 2n – 2n+1)/2 n

> 1 ?

*    On vérifie

Quantité strictement

supérieure à 1.

Conclusion:
N est toujours factorisable;
Sauf pour n = 1.

N = n4 + 4n

= ( n2 + 2n – 2n+1)/2 n )

   ( n2 + 2n + 2n+1)/2 n )

Voir Équations diophantiennes / Formes divisibles

 

Cas de nk + kn

 

 

*    Ce tableau ne présente que les nombres premiers de cette forme.

 

 

*    Lecture:

32 + 23 = 9 + 8 = 17,

     premier

563 + 356 = 0,52 1027,

    premier

 

 

*    Les nombres  premiers de cette forme sont assez rares. Selon ces tests pour n jusqu'à 1000:

*    Aucun pour  n = 11, 13, 14 …

*    Un seul pour n = 4 (démontré ci-dessus), 6, 10, 12, 16…


 

 

Suite (miroir) en  Divisibilité de nk + kn

 

 

 

Suite

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*         Autres nombres

Site

*         OEIS A076980 – Leyland numbers

*         OEIS A094133 – Prime Leyland numbers

*         Primes and Strong Pseudoprimes
of the form xy + yx par Paul Leyland

*         Leyland numbers – Numberphile – Video en anglais

*         Primes and Strong Pseudoprimes of the form xy + yx

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDENOM/Leyland.htm