NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres à motifs

 

Débutants

Général

123456789

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Motifs

Magie

 

123 456 789

Tronqués

Chiffres

 

Sommaire de cette page

 

>>> Nombre pannumérique et son retourné

>>> Multiplications et périodes

>>> Divisions des pannumériques et retournés

 

 

 

 

 

 

NOMBRE 123 456 789

 

Multiplication et division des pannumériques tronqués,

directs ou retournés.

 

 

 

Nombre 123456789

                    et son retourné 987654321

 

Table de multiplication des pannumériques tronqués

Directs

 

         1          12        123        1 234        12 345      123 456        1 234 567        12 345 678           123 456 789

2       2          24        246        2 468        24 690      246 912        2 469 134        24 691 356           246 913 578

3       3          36        369        3 702        37 035      370 368        3 703 701        37 037 034           370 370 367

4       4          48        492        4 936        49 380      493 824        4 938 268        49 382 712           493 827 156

5       5          60        615        6 170        61 725      617 280        6 172 835        61 728 390           617 283 945

6       6          72        738        7 404        74 070      740 736        7 407 402        74 074 068           740 740 734

7       7          84        861        8 638        86 415      864 192        8 641 969        86 419 746           864 197 523

8       8          96        984        9 872        98 760      987 648        9 876 536        98 765 424           987 654 312

9       9          108      1 107     11 106      111 105    1 111 104     11 111 103      111 111 102         1 111 111 101

 

Retournés                                                                                                     

         9          98        987        9 876        98 765      987 654        9 876 543        98 765 432           987 654 321

2       18        196      1 974     19 752      197 530    1 975 308     19 753 086      197 530 864         1 975 308 642

3       27        294      2 961     29 628      296 295    2 962 962     29 629 629      296 296 296         2 962 962 963

4       36        392      3 948     39 504      395 060    3 950 616     39 506 172      395 061 728         3 950 617 284

5       45        490      4 935     49 380      493 825    4 938 270     49 382 715      493 827 160         4 938 271 605

6       54        588      5 922     59 256      592 590    5 925 924     59 259 258      592 592 592         5 925 925 926

7       63        686      6 909     69 132      691 355    6 913 578     69 135 801      691 358 024         6 913 580 247

8       72        784      7 896     79 008      790 120    7 901 232     79 012 344      790 123 456         7 901 234 568

9       81        882      8 883     88 884      888 885    8 888 886     88 888 887      888 888 888         8 888 888 889

 

*    Observez les multiplications par 9. Des presque-repdigits!
Combien faut-il ajouter ou soustraire pour obtenir un repdigit?
Solution ci-dessous.

 

 

 

Multiplications et périodes

 

*    Nous allons chercher la valeur à ajouter aux multiplications, multiples de 3, ci-dessus pour que les produit devienne un nombre périodique (sur les chiffres existants).

Ex: 123 x 9 = 1 107; en ajoutant 4 => 123 x 9 + 4 = 1 111.
1234 x 9 = 11 106; en ajoutant 5 => 1234 x 9 + 5 = 11 111. Etc.

 

*    Observez que le nombre à ajouter semble être le chiffre des unités plus 1. Ceci pour la ligne de la multiplication par 9.

 

*    Pour la ligne du 3, prenons également quelques exemples


Ex:
123 x 3 = 369; il manque 1 pour faire 370, la période qui se dessine sur les nombres suivants de la ligne de la multiplication par 3.
123456 x 3 = 370 368; il manque 2.

Idée: si nous prenions le nombre des unités plus 1 comme pour le 9, mais divisé par 3 (car 9/3 = 3).
123 => 4/3 = 1,333… sa partie entière est 1.

123 456 => 7/3 = 2,333… sa partie entière est 2.

Ça semble marcher. Et effectivement ça marche!

 

Un pannumérique, complet ou tronqué, multiplié par un multiple de 3 (k), est voisin d'un nombre périodique; la différence est égale au produit de k par l'unité du pannumérique plus 1, divisé par 9, différence dont on ne prend que la partie entière.

 

*    Ci-dessous, voici la table de multiplication avec les multiples de 3 de 3 à 27

Puis les valeurs de la partie entière des divisions par 9
Et pour finir la table de la somme des deux précédentes qui fournit des nombres périodiques sur les chiffres existants.

Exemple de lecture (cases jaunes)

       123 456 x 12 = 1 481 472;                  Ici, unité = 6 et k = 12.

                   7 x 12 / 9 = 9,333 … => 9
                                  1 481 472 +     9 = 1 481 481

 

 

1

12

123

1 234

12 345

123 456

1 234 567

12 345 678

123 456 789

3

3

36

369

3 702

37 035

370 368

3 703 701

37 037 034

370 370 367

6

6

72

738

7 404

74 070

740 736

7 407 402

74 074 068

740 740 734

9

9

108

1 107

11 106

111 105

1 111 104

11 111 103

111 111 102

1 111 111 101

12

12

144

1 476

14 808

148 140

1 481 472

14 814 804

148 148 136

1 481 481 468

15

15

180

1 845

18 510

185 175

1 851 840

18 518 505

185 185 170

1 851 851 835

18

18

216

2 214

22 212

222 210

2 222 208

22 222 206

222 222 204

2 222 222 202

21

21

252

2 583

25 914

259 245

2 592 576

25 925 907

259 259 238

2 592 592 569

24

24

288

2 952

29 616

296 280

2 962 944

29 629 608

296 296 272

2 962 962 936

27

27

324

3 321

33 318

333 315

3 333 312

33 333 309

333 333 306

3 333 333 303

Écart

3

1

1

1

2

2

2

3

3

6

2

2

3

4

4

5

6

6

9

3

4

5

6

7

8

9

10

12

4

5

6

8

9

10

12

13

15

5

6

8

10

11

13

15

16

18

6

8

10

12

14

16

18

20

21

7

9

11

14

16

18

21

23

24

8

10

13

16

18

21

24

26

27

9

12

15

18

21

24

27

30

Somme

3

37

370

3 703

37 037

370 370

3 703 703

37 037 037

370 370 370

6

74

740

7 407

74 074

740 740

7 407 407

74 074 074

740 740 740

9

111

1 111

11 111

111 111

1 111 111

11 111 111

111 111 111

1 111 111 111

12

148

1 481

14 814

148 148

1 481 481

14 814 814

148 148 148

1 481 481 481

15

185

1 851

18 518

185 185

1 851 851

18 518 518

185 185 185

1 851 851 851

18

222

2 222

22 222

222 222

2 222 222

22 222 222

222 222 222

2 222 222 222

21

259

2 592

25 925

259 259

2 592 592

25 925 925

259 259 259

2 592 592 592

24

296

2 962

29 629

296 296

2 962 962

29 629 629

296 296 296

2 962 962 962

27

333

3 333

33 333

333 333

3 333 333

33 333 333

333 333 333

3 333 333 333

 

 

 

 

 

Division des pannumériques et retournés

 

Exploitation de deux propriétés   de toute beauté.

 

Relation simple entre le pannumérique et son retourné:

 

 

Simplification singulière des fractions

 

 

 

Division

 

= 8,0000000729 000006 ….

Curiosité

 

Si vous faites cette opération sur votre calculette vous obtenez généralement 8,0000001.

Sur celle de votre ordinateur en mode standard, vous avez    

 

Duplication

Notez que ces nombres sont divisibles par 9

 

 

Tableau montrant les divisions successives A/B (pour information)

2

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

*    Nombre phénix ou de Lewis Carroll

*    Nombre magique 142857

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