NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 3

Par 9

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité par 9

>>> Division par 9 – Calcul mental

>>> Division par 9 – Justification

>>> Pannumériques

>>> Nombres consécutifs

>>> Cubes consécutifs

>>> Somme des chiffres identiques

>>> Jeu avec 666

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 9

 

Formes polynomiales divisibles par 9.

 

 

Amusement

Un nombre retranché à son retourné est toujours divisible par 9.

Ex: 321 – 123  = 198 = 9 x 22

 

 

 

Divisibilité par 9

Critère

 

Un nombre est divisible par 9

si la somme de ses chiffres l'est.

 

 

Un nombre est divisible par 3

si la somme de ses chiffres l'est.

Voir Divisibilité par 3

 

 

En pratique

 

Faire la somme en retirant 9 ou ses multiples dès qu'on le peut pour alléger le calcul. Le nombre est divisible par 9 si cette somme est nulle ou multiple de 9.

Voir Racine numérique

Exemple

 

123 456 789  1 + 2 + 3 + 4 = 10 et 1 + 0 = 1

                        1 + 5 + 6 = 12 et 12 – 9 = 3

                        3 + 7 = 1 + 0 = 1

                        1 + 8 = 9  et 9 – 9 = 0

                        0 + 9 = 9 et 9 – 9 = 0

                          Le nombre est divisible par 9

 

Plus astucieusement, on aurait pu arranger les chiffres de manière à faire le plus possible des sommes égale à 9:

123 456 789  (1+8) + (2+7) + (3+6) + (4+5) + 9    0

 

 

Démonstration

La démonstration repose sur la propriété suivante

 

100000 … = 99999… + 1 = 9 x11111… + 1

et aussi, par exemple

7 000 = 7 x  9 x 111 + 7

Ce qui veut dire que 7000 divisé par 9 donne un reste de 7.

 

Soit un nombre et son développement décimal.

N =  … 103 m + 102 c + 10 d + u

 

m = milliers; c = centaines; d =dizaines et u = unités

Sous cette forme en

N = … (999+1)m + (99+1)c + (9+1)d + u

En développant

N = …999m + 99c + 9d + m + c + d + u

En facteur pour le début

N = … 9(111m + 11c + d) + m + c + d + u

Si est un multiple de 9

N = 9k = … 9(111m + 11c + d) + m + c + d + u

La partie droite de l'égalité doit être divisible par 9; le terme en facteur par 9 l'est; le reste doit l'être.

… m + c + d + u = 9h     N est divisible par 9.

La propriété vaut pour 3 un facteur premier de 9.

… m + c + d + u = 3h     N est divisible par 3.

Voir Divisibilité par 3 et sa preuve

 

 

 

Division par 9 – Calcul mental

Deux chiffres

 

Dizaine – 1

ou

10 – Unité.

 

72 / 9 =   7 + 1 = 8

72 / 9 = 10 – 2 = 8

Trois chiffres

1) Preuve par 9 pour retirez le reste.

344 / 9 => 3 + 4 + 4 = 11 reste 2

344 – 2 = 342 divisible par 9

 

2) Si unité = 0, faites comme avec deux chiffres.

720 / 9  = 80

 

3) Prenez les centaines et le complément à 10 des unités.

342 => 3 et 10 – 2 = 8

342 / 9 = 38

 

4) Si le résultat est inférieur ou égal à la quantité de dizaines, ajoutez 10.

387 / 9 => 33 < 38 => 33 + 10 = 43

387 / 9 = 43

n chiffres

1) Conservez le premier chiffre.

61 787 / 9

61

 

2) Ajoutez le premier et le deuxième.

6 + 1 = 72

 

3) Ajoutez le troisième à ce résultat.
Si retenue, l'ajouter au nombre précédent.

7 + 7 = 14 => 43

72 + 1 = 82

 

4) Répétez l'étape 3, autant de fois que nécessaire.

14 + 8 = 22 = 24

43 + 2 = 63

 

5) Pour le dernier, calculez la somme des chiffres.
Divisez par 9.
Ajoutez le quotient au dernier chiffre trouvé.

22 + 7 = 29

29 / 9 = 3 x 9 + 2
24 + 3 = 54

 

Résultat

61 787 / 9 = 61826354 reste 2

En bref

 

Méthode pratique sur un exemple

Sous le nombre écrire, les sommes cumulées.

Ajoutez à chaque chiffre des unités, la retenue de la somme suivante.

Pour le dernier effectuer la division avec son reste.

 

Autre exemple (avec propagation de la retenus)

 

Voir Propriété de la division par 9 / Calcul mentalIndex / Division par 59

 

 

Division par 9 - Justification de la méthode

Voir Formation des nombres

 

123456789

Quantité de compositions à partir de ces neuf nombres sont divisibles par 9:

Voir Nombres pannumériques / Pannumériques partiels

 

 

 

 Nombres consécutifs

Affirmation

 

 

 

Soit un nombre formé par la concaténation de trois nombres consécutifs; si le nombre central est divisible par 3, le nombre formé est également divisible par 9, ainsi que toute permutation de ce nombre.

 

 

Pourquoi?

 

Soit n central divisible par 9.

En termes de preuve par neuf, ses deux voisins s'annihilent dans la division par 9.

 

Exemples

 

 

 

 

 Cubes consécutifs – Divisibilité par 9

Affirmation


La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9.

 

9  |  (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3

 

Rappel: la barre verticale se lit "divise".

 

Exemples

 

Démonstration par induction >>>

Développons le polynôme:

(n – 1)3 + n3 + (n + 1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 3n3 + 6n

Pour n = 1, c'est vrai.

3 x 13 + 6 x 1 = 3 + 6 = 9

Supposons la formule vraie pour k.

L'est-elle pour n + 1?

3(n + 1)3 + 6(n + 1)

= 3 (n3 + 3n2 +3n +1) + 6n + 6

= 3n3 + 9n2 + 15n + 9

 

Le premier terme est divisible par 9 selon notre hypothèse.

Le second l'est.

La somme est donc divisible par 9

CQFD.

 

= ( 3n3 + 6n ) + 9 (n² + n + 1)

 

 

 

Somme des chiffres identiques

 

Approche

Prenons l'exemple de deux nombres ayant la même somme de chiffres et calculons leur différence:

*    normale,

*    puis après division par 9.

Chacun des nombres a le même reste lorsque divisé par 9, c'est d'ailleurs la somme des chiffres (preuve par neuf).

 

 

231 – 141 = 90

(3x7x11) – (3x47) = 2xx5

 

Division par 9 de chacun:

231 = 25 x 9 + 6

141 = 15 x 9 + 6

231 – 140 = (25 – 15) x 9  = 90

 

 

Théorème

La différence de deux nombres ayant la même somme de chiffres est divisible par 9.

 

Exemples

40 – 31 = 9

75 – 48 = 27 = 9 x 3

222 – 51 = 171 = 9 x 19

987 654 – 456 789 = 530 865 = 9 x 58 985

 

Démonstration

Deux nombres avec la même somme de chiffres:

- N1 et sa somme de chiffres k

- N2 et sa somme de chiffres k

 

Division par 9 (congruences):

N1 mod 9 = k (ou sous-multiple de k)

N2 mod 9 = k (ou sous-multiple de k)
N1 – N2 mod 9 = 0

 

La différence est divisible par 9 et aussi par 3.

 

Voir Application aux nombres premiers

 

 

Jeu avec 666

 

Énigme

Combien de nombres divisibles à la fois par 9 et par 5 peut-on former en ajoutant trois chiffres après 666 ?

Réponse

Divisible par 5 => unité 0 ou 5

Divisible par 9 => somme des chiffres = 9k; or; 6 + 6 + 6 = 18; les trois autres doivent faire une somme de 9k.

Les 23 solutions

666000, 666900, 666810, 666720, 666630, 666540, 666450, 666360, 666270, 666180, 666090, 666990,

666405, 666315, 666225, 666135, 666045, 666945, 666855, 666765, 666675, 666585, 666495

Commentaires

On aurait le même jeu de trois chiffres avec 333 ou 666 ou tout nombre dont la somme des chiffres est en 9k (118,126 …).

Avec tous les autre nombres, non-divisible par 9, on aurait 22 solutions:

Exemple

123300, 123210, 123120, 123030, 123930, 123840, 123750, 123660, 123570, 123480, 123390,

123705, 123615, 123525, 123435, 123345, 123255, 123165, 123075, 123975, 123885, 123795

Voir Nombre 666

 

 

 

English corner

Numerals whose sum of digits is divisible by 9

represent numbers divisible by 9.

 

 

 

 

Suite

*         Preuve par neuf

*         Divisibilité de formes polynomiales

*         Division par 99, 999 …

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Voir

*         Nombres parfaits 

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*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

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