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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 21/02/2012

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DIVISIBILITÉ par 9

Formes polynomiales divisibles

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-Ý - DIVISIBILITÉ par 9

Affirmation

La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9

9 | (n-1)³ + n³ + (n+1)³

Rappel La barre verticale se lit "divise"

Démonstration par induction >>>

Ø Développons le polynôme		(n - 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = n^3 – 3n^2 + 3n – 1 + n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = 3n^3 + 6n
Ø Pour n = 1, § C'est vrai		3 x 1^3 + 6 x 1 = 3 + 6 = 9
Ø Supposons la formule vraie pour k § L'est-elle pour n + 1?		3(n + 1)^3 + 6(n + 1) = 3 (n^3 + 3n^2 +3n +1) + 6n + 6 = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9
Ø Le premier terme est divisible par 9 selon notre hypothèse Ø Le second l'est Ø La somme est donc divisible par 9 § CQFD		= ( 3n^3 + 6n ) + 9 (n² + n + 1)
Ø Exemples	n n^3 Somme de 3 division par 9 1 1 2 8 36 4 3 27 99 11 4 64 216 24 5 125 405 45 6 216 684 76 7 343 1 071 119 8 512 1 584 176 9 729 2 241 249 10 1 000 3 060 340 11 1 331 4 059 451 12 1 728

Soit un nombre formé par la concaténation de trois nombre consécutifs; si le nombre central est divisible par 3, le nombre formé est également divisible par 9, ainsi que toute permutations de se nombres. Soit n central divisible par 9; ses deux voisins s'annihilent dans la division par 9.

171 819 = 3 x 19091 111 789 = 3 x 37263 RN(n) = 0 RN(n-1) = – 1 RN(n+1) = + 1 RN (de tous) = 0

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