NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 3

Par 9

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité par 9

>>> Division par 9 – Calcul mental

>>> Division par 9 – Justification

>>> Nombres consécutifs

>>> Cubes consécutifs

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 9

 

Formes polynomiales divisibles par 9.

 

 

Amusement

Un nombre retranché à son retourné est toujours divisible par 9.

Ex: 321 – 123  = 198 = 9 x 22

 

 

 

Divisibilité par 9

Critère

 

Un nombre est divisible par 9

si la somme de ses chiffres l'est.

 

 

Un nombre est divisible par 3

si la somme de ses chiffres l'est.

Voir Divisibilité par 3

 

 

En pratique

 

Faire la somme en retirant 9 ou ses multiples dès qu'on le peut pour alléger le calcul. Le nombre est divisible par 9 si cette somme est nulle ou multiple de 9.

Voir Racine numérique

Exemple

 

123 456 789  1 + 2 + 3 + 4 = 10 et 1 + 0 = 1

                        1 + 5 + 6 = 12 et 12 – 9 = 3

                        3 + 7 = 1 + 0 = 1

                        1 + 8 = 9  et 9 – 9 = 0

                        0 + 9 = 9 et 9 – 9 = 0

                          Le nombre est divisible par 9

 

Plus astucieusement, on aurait pu arranger les chiffres de manière à faire le plus possible des sommes égale à 9:

123 456 789  (1+8) + (2+7) + (3+6) + (4+5) + 9    0

 

 

Démonstration

La démonstration repose sur la propriété suivante

 

100000 … = 99999… + 1 = 9 x11111… + 1

et aussi, par exemple

7 000 = 7 x  9 x 111 + 7

Ce qui veut dire que 7000 divisé par 9 donne un reste de 7.

 

Soit un nombre et son développement décimal.

N =  … 103 m + 102 c + 10 d + u

 

m = milliers; c = centaines; d =dizaines et u = unités

Sous cette forme en

N = … (999+1)m + (99+1)c + (9+1)d + u

En développant

N = …999m + 99c + 9d + m + c + d + u

En facteur pour le début

N = … 9(111m + 11c + d) + m + c + d + u

Si est un multiple de 9

N = 9k = … 9(111m + 11c + d) + m + c + d + u

La partie droite de l'égalité doit être divisible par 9; le terme en facteur par 9 l'est; le reste doit l'être.

… m + c + d + u = 9h     N est divisible par 9.

La propriété vaut pour 3 un facteur premier de 9.

… m + c + d + u = 3h     N est divisible par 3.

Voir Divisibilité par 3 et sa preuve

 

 

 

Division par 9 – Calcul mental

Deux chiffres

 

Dizaine – 1

ou

10 – Unité.

 

72 / 9 =   7 + 1 = 8

72 / 9 = 10 – 2 = 8

Trois chiffres

1) Preuve par 9 pour retirez le reste.

344 / 9 => 3 + 4 + 4 = 11 reste 2

344 – 2 = 342 divisible par 9

 

2) Si unité = 0, faites comme avec deux chiffres.

720 / 9  = 80

 

3) Prenez les centaines et le complément à 10 des unités.

342 => 3 et 10 – 2 = 8

342 / 9 = 38

 

4) Si le résultat est inférieur ou égal à la quantité de dizaines, ajoutez 10.

387 / 9 => 33 < 38 => 33 + 10 = 43

387 / 9 = 43

n chiffres

1) Conservez le premier chiffre.

61 787 / 9

61

 

2) Ajoutez le premier et le deuxième.

6 + 1 = 72

 

3) Ajoutez le troisième à ce résultat.
Si retenue, l'ajouter au nombre précédent.

7 + 7 = 14 => 43

72 + 1 = 82

 

4) Répétez l'étape 3, autant de fois que nécessaire.

14 + 8 = 22 = 24

43 + 2 = 63

 

5) Pour le dernier, calculez la somme des chiffres.
Divisez par 9.
Ajoutez le quotient au dernier chiffre trouvé.

22 + 7 = 29

29 / 9 = 3 x 9 + 2
24 + 3 = 54

 

Résultat

61 787 / 9 = 61826354 reste 2

En bref

 

Méthode pratique sur un exemple

Sous le nombre écrire, les sommes cumulées.

Ajoutez à chaque chiffre des unités, la retenue de la somme suivante.

Pour le dernier effectuer la division avec son reste.

 

Autre exemple (avec propagation de la retenus)

 

Voir Propriété de la division par 9 / Calcul mentalIndex / Division par 59

 

 

Division par 9 - Justification de la méthode

Voir Formation des nombres

 

 

 

 Nombres consécutifs

Affirmation

 

 

 

Soit un nombre formé par la concaténation de trois nombres consécutifs; si le nombre central est divisible par 3, le nombre formé est également divisible par 9, ainsi que toute permutation de ce nombre.

 

 

Pourquoi?

 

Soit n central divisible par 9.

En termes de preuve par neuf, ses deux voisins s'annihilent dans la division par 9.

 

Exemples

 

 

 

 

 Cubes consécutifs – Divisibilité par 9

Affirmation


La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9.

 

9  |  (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3

 

Rappel: la barre verticale se lit "divise".

 

Exemples

 

Démonstration par induction >>>

Développons le polynôme:

(n – 1)3 + n3 + (n + 1)3

= n3 – 3n2 + 3n – 1

+ n3

+ n3 + 3n2 + 3n + 1

= 3n3 + 6n

Pour n = 1, c'est vrai.

3 x 13 + 6 x 1 = 3 + 6 = 9

Supposons la formule vraie pour k.

L'est-elle pour n + 1?

3(n + 1)3 + 6(n + 1)

= 3 (n3 + 3n2 +3n +1) + 6n + 6

= 3n3 + 9n2 + 15n + 9

 

Le premier terme est divisible par 9 selon notre hypothèse.

Le second l'est.

La somme est donc divisible par 9

CQFD.

 

= ( 3n3 + 6n ) + 9 (n² + n + 1)

 

English corner

Numerals whose sum of digits is divisible by 9

represent numbers divisible by 9.

 

 

 

 

 

Suite

*         Preuve par neuf

*         Divisibilité de formes polynomiales

*         Division par 99, 999 …

*         Palindromes divisibles par 9

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

*         Nombre 9

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