NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 25/12/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombre 142 857

Curiosités et magie avec ce nombre. Avec en prime:

Voir Nombres dichotomiques et trichotomiques

Carte d'identité du nombre 142 857

Facteurs	142 857 = 3^3 x 11 x 13 x 37
Diviseurs	1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
Quantité	32
Somme	255 360
S - N	112 503
Propriété	1/7 = 0, 142857 142857 …

Ce nombre est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

Note: son voisin du dessous présente un motif intéressant: 14 28 56. Chaque nouvelle tranche de 2 est le double de celle qui précède.

Ce nombre est:

impair

déficient

composé

périodique

Kaprekar

Harshad

"magique"

Voir Nom des nombres /

Nombres géométriques

Loupe sur la fraction 1/7

0, 142 857 142 857 … = 1/7 Période 14, 28 et 56 + 1 Sommes 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99	Nombre magique! Fraction la plus petite ayant des décimales répétitives avec un motif intéressant. Nombre périodique et têtu ou nombre premiers longs avec propriétés des demi-sommes (999) et des tiers de sommes (99). Voir Développements
Formation des chiffres de 1/7	Approximations avec des fractions en septièmes, dont 22/7 la célèbre pour Pi. Ce sont des coïncidences!

Voir Nombre 0,142857 / Brève de maths n°368

Nombre têtu 142 857

Nombre à développement décimal périodique 142 857 est la période de la fraction 1/7 1,7 = 0,142857 142857 … La longueur est égale à 6, soit 7 – 1, la valeur maximale possible. Multiples de ce nombre 142 857 x 1 = 142857 x 5 = 714285 x 4 = 571428 x 6 = 857142 x 2 = 285714 x 3 = 428571 Les produits se déduisent les uns des autres par permutation circulaire: décalage vers la gauche et le chiffre sortant à droite est réintroduit à gauche. Curiosité: fractions donnant les mêmes chiffres: La plus petite: 27 / 64 = 0,421 875. La suivante: 153 / 320 = 0,478 125. Les deux qui suivent: 387 / 1600 = 0,241 875 et 1197 / 1600 = 0,748 125. Sur les 720 permutations possibles, 12 donnent un dénominateur inférieur à 10 000. Les quatre indiquées plus huit en D = 8000. Merci à JCB

142857, têtu selon les chiffres
2	Les puissances de 2 modulo 9 donnent les chiffres de ce nombre. Manière de les calculer: 142 857 … = 7x2 + 7x2^2x10^2 + 7x2^3 x10^4 … Programme Mapple =>	>>>
5	Les puissances de 5 modulo 9 donnent les chiffres de ce nombre.	>>>
8		>>>
9	1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 => 9 14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 142 857 x 7 = 999 999	>>>
10	10 = 1 x 7 + 3 100 = 14 x 7 + 2 1 000 = 142 x 7 + 6 10 000 = 1428 x 7 + 4 100 000 = 14285 x 7 + 5 1 000 000 = 142857 x 7 + 1	>>>

MAGIE avec 142 857
Inscrire un nombre de 5 chiffres sur un papier		45 617
Ajouter 142 857		+ 142 857 = 188 474
Multiplier par 7		x 7 = 1 319 318
Barrer le chiffre de gauche		319 318
Multiplier par 143		x 143 = 45 662 474
Annoncer le chiffre		45 662 474
J'ajoute 143		+ 143 = 45 662 617
On retrouve le nombre du départ avec les 2 premiers chiffres et les trois derniers		45 xxx 617
Explications Deux propriétés sont utilisées: 142 857 x 7 = 999 999 et 143 x 7 = 1 001. En gros, le nombre initial va être multiplié par 1 001. Et, un nombre fantôme va être introduit puis retranché: 999 999.
Opérations	Nombre à deviner		+ Nombre fantôme		= Résultat
Le nombre ajouté	45 617		142 857		188 474
Multiplication par 7	x 7		x 7
est multiplié pour donner 100 000 – 1	319 319		999 999		1 319 318
et on soustrait 1 000 000			1 000 000
	319 319		– 1		319 318
Multiplication par 143, après celle par 7	x 143		x 143
Le nombre initial se retrouve multiplié par 7 x 143 = 1001	45 662 617		– 143		45 662 474
Il reste un résidu parasite de 143 qu'il faut ajouter					45 662 617

Voir Magie

NOMBRE MAGIQUE: M = 142 857

Multiplications 142857 x 2 = 285714 x 3 = 428571 x 4 = 571428 x 5 = 714285 x 6 = 857142 x 7 = 999999 x 8 = 1142856 et 142856 + 1 = 142 857 x 9 = 1285713 et 285713 + 1 = 285714 Ce nombre est extraordinaire car, via la multiplication, il retrouve toujours ses propres chiffres. Sauf avec 7, cas qui rappelle que 1/7 = 0,142857142857 … La somme des deux blocs de trois chiffres est égale à 999. Exemple: 142 + 857 = 999. Permutations circulaires 142 857 x 1 = 142857 x 5 = 714285 x 4 = 571428 x 6 = 857142 x 2 = 285714 x 3 = 428571 Les produits se déduisent les uns des autres par permutation circulaire: décalage vers la gauche et le chiffre sortant à droite est réintroduit à gauche. Le produit de 142 857 par 7 donne 999 999 dont la somme des chiffres est 2 x 27. La somme des chiffres sur les lignes comme sur les colonnes est égale à 27. Les chiffres forment un carré semi-magique: Hélas les diagonales ne somment pas en 27. Même si la moyenne est 27: 23 + 31 = 54 = 2 x 27 Voir Carrés magiques aves les inverses des premiers Produits avec des nombres plus élevés Les multiples de 142857 présentent tous le même motif – chiffres de 142857 permutés – en ajoutant à droite les chiffres qui dépassent à gauche. Ex: 142 857 x 12 = 1 714 284 => 714 285 142 857 x 37 = 5 285 709 => 285 714 Sauf pour les multiples en 7k pour lesquels le motif en 9 ressort. Ex: 142 857 x 84 = 11 999 988 => 999 999

Fractions

Le nombre 7 semble jouer un rôle particulier. Calculons les fractions en n / 7:

1 /7 = 0, 142857 142857 142857

2 /7 = 0, 285714 285714 285714

3 /7 = 0, 428571 428571 428571

4 /7 = 0, 571428 571428 571429

5 /7 = 0, 714285 714285 714286

6 /7 = 0, 857142 857142 857143

7 /7 = 1, 000000 000000 000000

8 /7 = 1, 142857 142857 142857

9 /7 = 1, 285714 285714 285714

La période comprend six chiffres: 142 857 pour 1/7 et les mêmes chiffres permutés pour les autres fractions.
C'est une propriété générale des nombres cycliques dont la période est juste égale au nombre (7) moins un (6).

Voir Nombre têtus ou premiers longs en 142 857

Voir Nombres cycliques

Nombre magique et Pi

22 /7 = 3, 142857 142857 142857

Or 22/7 est l'une des approximations de .

Voir Valeurs de Pi

Et l'inverse de ce nombre magique ?  

1 / 142 857 = 0, 000 007 000 007 ...

Voir Nombre cyclique

Nombre magique pour sa multiplication

Sur la figure, on tourne dans le sens horaire.

Le chiffre en périphérie est placé de façon telle qu’il donne le résultat de sa multiplication par le nombre magique.

Exemple: 3 x 142 857 = 428 571

Somme 9 pour les nombres diamétralement opposés sur le cercle intérieur et 7 sur l'autre.

Multiplication mentale (ou presque)
Propriété: en multipliant par 12, on multiplie par 1 x 7 + 5. La multiplication rapide se base sur cette propriété, prise à l'envers.	142 857 x 12 = 1 714 284  714 284 + 1 = 714 285 714 285 = 5 x 142 857 = (12 – 1 x 7) x 142 857
Soit à multiplier:	142 857 x 493 = ?
En divisant le multiplicateur par 7:	142 857 x (70 x 7 + 3)
Prendre le quotient comme premiers chiffres:	142 857 x 493 = 70 …
Prendre le produit par 3 pour la suite:	142 857 x 3 = 428 571
Résultat:	142 857 x 493 = 70 428 571 – 70 = 70 428 501
Cas d'un multiplicateur divisible par 7:	142 857 x 378 = 142 857 x 54 x 7 = 142 857 x (53 x 7 + 7) =
On procède comme précédemment:	142 857 x 378 = 53 999 999 – 53 = 53 999 946

CURIOSITÉS

En séparant le nombre en deux

1	4	2	8	5	7
1	+ 4			= 5
1	+ 4	+ 2			= 7
	4	x 2	= 8

Harshad

142 857 = 5 291 x (1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7)

Le nombre magique 142 857 est divisible par la somme de ses chiffres.

Voir Nombre de Harshad

Multiplications

142 857 = 11 x 12987

= 111 x 1287

= 1111 x 129

= 999999 x 7

= 9999 x 14

= 999 x 143

= 99 x 1443

= 9 x 15873

Progression arithmétique

Soit les paires 18 45 et 27 tirées du nombre magique 142857.

1 x 8 = 8	2 x 7 = 17	4 x 5 = 20
Écart:	+ 6	+ 6

4² + 5² = 41	2² + 7² = 53	8² + 1² = 65
Écart:	+ 12	+ 12

Kaprekar

142 857 ² = 20 408 122 449

et 20 408 + 122 449 = 142 857

142 857 ³ = 2 915 443 148 696 793

et 2 915 + 443 148 + 696 793 = 1 142 856

En ajoutant le 1 des millions aux unités, nous retrouvons notre nombre magique.
Idem avec la puissance 4:

142 857 ⁴ = 416 491 461 893 377 757 601

et 416+491461+893377+757601 = 2 142 855

C'est en fait une propriété générale: le nombre magique 142 857, multiplié par un nombre quelconque, donne un produit dont la somme des chiffres par bloc de six est le nombre magique permuté.

142 857 x 123 = 17 571 411

et 17 + 571 411 = 571 428

Voir Exploration / Nombre de Kaprekar

Aussi en morceaux

142² = 20164

857² = 734449

734449 – 20164 = 714285

Avec 9, 99 …

1 + 4	+ 2 + 8	+ 5 + 7	= 27 => 9
14	+ 28	+ 57	= 99
142		+ 857	= 999
142 857		x 7	= 999 999

Cette dernière relation est générale: toute période d'un nombre décimal multiplié par le nombre premier long générateur est un repdigit en 9. Voir Autres exemples

Également avec cette dernière relation:

142 857 x 7 = 999 999 = (1 000 000 – 1)

On peut facilement calculer les multiples du nombre magique

142 857 x 7n = 1 000 000 n – n

Enfin, les multiples septième; pour les autres il faut diviser par sept.

n 7 n . M N . M

1 999999 142857

2 1999998 285714

3 2999997 428571

4 3999996 571428

5 4999995 714285

6 5999994 857142

7 6999993 999999

8 7999992 1142856

9 8999991 1285713

Voir Calcul mental avec ce nombre

Multiples de 142857

142 857 x 367 = = 51 571 377

51 + 571 + 377 = 999

51 + 57 + 13 + 77 = 198 => 99

(le 1 gauche est ajouté à droite)

Tous les multiples présentent ce genre de motif.

Puissances de deux

7 x 2^1	=	7 x 2	=	14
7 x 2^2		7 x 4			28
7 x 2^3		7 x 8				56
7 x 2^4		7 x 16				1	12
7 x 2^5		7 x 32					2	24
7 x 2^6		7 x 64						4	48
7 x 2^7		7 x 128							8	96
7 x 2^8		7 x 256								17	92
7 x 2^9		7 x 512									35	84
				14	28	57	14	28	57	14	27	84

Procédé qui fait apparaître notre nombre magique.

En poursuivant le procédé, les 3 derniers chiffres seraient corrigés pour donner la répétition de 142857:

1, 14

2, 1428

3, 14285 6

4, 142857 1 2

5, 142857 142 4

10, 142857 142857 14285568

15, 142857 142857 142857 142857 138176

20, 142857 142857 142857 142857 142857 1428421632

Cette construction est valable pour tout nombre périodique engendré par un nombre premier long.

La même chose se retrouve avec les puissances de 5, ajoutées avec décalage. Cette fois le nombre magique est engendré par la droite:

1, 3 57 (concaténation de 35 = 7x5 et de 7)

2, 17 857 (357 + 35 x5 x 100 = 357 + 17500)

3, 892 857

4, 446 42857

5, 2232 142857

10, 6975446 42857 142857

15, 217982700892857 142857 142857

20, 681195940290 17857 142857 142857 142857

Modulo 9 et puissances de 2 et de 5

Le modulo 9 des puissances de deux successives recréent les chiffres du nombre magique:

2^n	2^0	2^1	2^2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7	2^8	2^9
Mod9	1	2	4	8	7	5	1	2	4	8

Idem avec les puissances de 5 modulo 9:

5^n	5^0	5^1	5^2	5^3	5^4	5^5	5^6	5^7	5^8	5^9
Mod9	1	5	7	8	4	2	1	5	7	8

Avec 8

Voici les vingt première itérations:

1 0, 12500000000000000000

2 0, 14062500000000000000

3 0, 14257812500000000000

4 0, 14282226562500000000

5 0, 14285278320312500000

6 0, 14285659790039062500

7 0, 14285707473754882812

8 0, 14285713434219360352

9 0, 14285714179277420044

10 0, 14285714272409677505

11 0, 14285714284051209688

12 0, 14285714285506401211

13 0, 14285714285688300151

14 0, 14285714285711037519

15 0, 14285714285713879690

16 0, 14285714285714234961

17 0, 14285714285714279370

18 0, 14285714285714284921

19 0, 14285714285714285615

20 0, 14285714285714285702

Avec 10

Il est possible de créer les puissances de dix avec le nombre magique tronqué:

10 = 1 x 7 + 3

100 = 14 x 7 + 2

1 000 = 142 x 7 + 6

10 000 = 1428 x 7 + 4

100 000 = 14285 x 7 + 5

1 000 000 = 142857 x 7 + 1

142857 et ses diviseurs

Parmi toutes les permutations du nombre magique M = 142857, combien donnent un repdigit lorsqu'ils sont divisés par un diviseur de M? N Diviseur Quotient N/D 142857 47619 3 285714 47619 6 142857 15873 9 428571 47619 9 142857 12987 11 241758 10989 22 285714 12987 22 142857 4329 33 428571 12987 33 571428 12987 44 714285 12987 55 241758 3663 66 285714 4329 66 857142 12987 66 142857 1443 99 428571 4329 99 147852 1332 111 142857 1287 111 428571 3861 111 285714 1287 222 857142 3861 222 142857 429 333 428571 1287 333 147852 333 444 571428 1287 444 714285 1287 555 285714 429 666 857142 1287 666 258741 333 777 142857 143 999 428571 429 999 En majorité, on retrouve les permutations circulaires de 142857 (rouge); mais aussi, les permutations circulaires de ce nombre lues dans l'autre sens758241. On trouve également le nombre 147852, avec le 2 et le 7 qui sont permutés. Rappel: Ce nombre à six chiffres et chaque chiffre vaut l'une des six valeurs {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Cinq chiffres étant fixés, le dernier peut prendre 6 valeurs. Quatre chiffres étant fixés, le cinquième peut prendre 6 valeurs; ce qui veut dire que les deux derniers peuvent prendre 6x6 valeurs Trois chiffres étant fixés, les trois derniers peuvent prendre 6x6x6 = 6^3 valeurs. Pour les chiffres, nous avons donc 6^6 = 46 656 valeurs dont 31 correspondent à nos conditions. Voir p-liste

AUTRES MULTIPLICATIONS MAGIQUES

Le nombre magique 142 857, multiplié par un nombre quelconque, donne un produit dont la somme des chiffres par bloc de six est le nombre magique permuté.

Exploration

142 857 et ses fractions	1	142 857
	2	285 714
	3	428 571
	4	571 428
	5	714 285
	6	857 142
	7	999 999
	8	1 142 856	142 857
	9	1 285 713	285 714
	10	1 428 570	428 571
	11	1 571 427	571 428
	12	1 714 284	714 285
	13	1 857 141	857 142
	14	1 999 998	999 999
	15	2 142 855	142 857

Observez

La colonne de droite (bleue) est la somme du nombre de millions avec le nombre formé des 6 derniers chiffres.

Elle donne les permutations circulaires du nombre magique

Est-ce toujours vrai ? Voyons cela.

Avec n autour de 1 000

N	n	N . n	A = millions	B = 6 derniers chiffres	A + B
142 857	1 000	142 857 000	142	857 000	857 142
	1 001	142 999 857	142	999 857	999 999
	1 002	143 142 714	143	142 714	142 857
	1 003	143 285 571	143	285 571	285 714
	1 004	143 428 428	143	428 428	428 571
	1 005	143 571 285	143	571 285	571 428
	1 006	143 714 142	143	714 142	714 285
	1 007	143 856 999	143	856 999	857 142
	1 008	143 999 856	143	999 856	999 999

Oui, c'est toujours vrai ! Même pour plusieurs paquets de millions

Avec n autour de 1 000 000 000

Note : 08 signifie une succession de 8 zéros

N	n	N . n	10^12	10^6	U	Somme	Somme’
142 857	1 08 0	142 857 000 000 000	142	857 000	0	857 142	857 142
	1 08 1	142 857 000 142 857	142	857 000	142 857	999 999	999 999
	1 08 2	142 857 000 285 714	142	857 000	285 714	1 142 856	142 857
	1 08 3	142 857 000 428 571	142	857 000	428 571	1 285 713	285 714
	1 08 4	142 857 000 571 428	142	857 000	571 428	1 428 570	428 571
	1 08 5	142 857 000 714 285	142	857 000	714 285	1 571 427	571 428
	1 08 6	142 857 000 857 142	142	857 000	857 142	1 714 284	714 285
	1 08 7	142 857 000 999 999	142	857 000	999 999	1 857 141	857 142
	1 08 8	142 857 001 142 856	142	857 001	142 856	999 999	999 999

La colonne la plus à droite est utile lorsque la somme dépasse le million. Alors, on recommence l’addition.

ENGLISH CORNER
142857 is the six repeating digits of 1/7 and is a cyclic number.

Merci à Richard Lefébvre pour sa relecture attentive

Voir son superbe XModulorama animé

Suite	Brève 814 Nombres en N/999… Nombres périodiques Nombres cycliques têtus Nombres cycliques têtus – Table Calcul mental avec 142857 Cercles de Ducci Nombre 12345679
Voir	Carrés magiques Cercles Fractions – Glossaire Grilles magiques Itérations et cycles Nombres cycliques Nombres magiques - Index
DiciNombre	Nombre 0,142857 Nombre 7 Nombre 142857 Nombre très voisin 147 852
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