NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 14/01/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Nombres et itérations

 

Débutants

Général

NOMBRES en CERCLE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Itérations

 

 Cercle de Ducci

 142 857 magique

 

 

Sommaire de cette page

>>> Carte d'identité de 142857

>>> Propriétés

>>> Magie avec 142 857

>>> Nombre magique: 142 857

>>> Multiplication mentale

>>> Curiosités

>>> 142857 et ses diviseurs

>>> Autres multiplications magiques

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Nombre 142 857

  

 

Curiosités et magie avec ce nombre.  Avec en prime:

 

 

 

Carte d'identité du nombre 142 857

 

Facteurs

142 857 = 33 x 11 x 13 x 37

Diviseurs

1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857

Quantité

32

Somme

255 360

S - N

112 503

Propriété

1/7 = 0, 142857 142857

 

Ce nombre est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

Note: son voisin du dessous présente un motif intéressant: 14 28 56. Chaque nouvelle tranche de 2 est le double de celle qui précède.

 

Ce nombre est:

*      impair

*      déficient

*      composé

*      cyclique

*      Kaprekar

*      Harshad

*      "magique"

 

Voir Nom des nombres /

Nombres géométriques

 

 

 Nombre têtu 142 857

 

 

Nombre à développement décimal périodique

 

*      142 857 est la période de la fraction 1/7
1,7 = 0,142857 142857 …
La longueur est égale à 6, soit 7 – 1, la valeur maximale possible.

 

Multiples de ce nombre

 

142 857 x 1 = 142857

x 5 = 714285

x 4 = 571428

x 6 = 857142

x 2 = 285714

x 3 = 428571

*      Les produits se déduisent les uns des autres par permutation circulaire: décalage vers la gauche et le chiffre sortant à droite est réintroduit à gauche.

 

Curiosité: fractions donnant les mêmes chiffres:

La plus petite: 27 / 64 = 0,421 875.

La suivante: 153 / 320 = 0,478 125.

Les deux qui suivent: 387 / 1600 = 0,241 875 et 1197 / 1600 = 0,748 125.

Sur les 720 permutations possibles, 12 donnent un dénominateur inférieur à 10 000. Les quatre indiquées plus huit en D = 8000.

 

Merci à JCB

 

142857, têtu selon les chiffres

2

*      Les puissances de 2 modulo 9 donnent les chiffres de ce nombre.

 

 

Manière de les calculer:
142 857 … =  7x2 + 7x22x102 + 7x23 x104

Programme Mapple =>

>>>

5

*        Les puissances de 5 modulo 9 donnent les chiffres de ce nombre.

>>>

8

>>>

9

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 => 9

14 + 28 + 57 =   99

142 + 857 =   999

142 857 x 7 =   999 999

>>>

10

10                      =       1                 x       7       +  3

100                   =       14               x       7       +  2

1 000                =       142            x       7       +  6

10 000              =       1428          x       7       +  4

100 000            =       14285        x       7       +  5

1 000 000        =       142857      x       7       +  1

>>>

 

 

 

MAGIE avec 142 857

Inscrire un nombre de 5 chiffres sur un papier

45 617

Ajouter 142 857

+ 142 857 = 188 474

Multiplier par 7

x 7 = 1 319 318

Barrer le chiffre de gauche

319 318

Multiplier par 143

x 143 = 45 662 474

Annoncer le chiffre

45 662 474

J'ajoute 143

+ 143 = 45 662 617

On retrouve le nombre du départ avec les 2 premiers chiffres et les trois derniers

45 xxx 617

Explications

 

*    Deux propriétés sont utilisées:

142 857 x 7 = 999 999

et    143 x 7 =      1 001.

*    En gros, le nombre initial va être multiplié par 1 001.

Et, un nombre fantôme va être introduit puis retranché: 999 999.

 

Opérations

Nombre à deviner

+ Nombre fantôme

= Résultat

 Le nombre ajouté

45 617

142 857

188 474

Multiplication par 7

x 7

x 7

 

est multiplié pour donner

100 000 – 1

319 319

999 999

1 319 318 

et on soustrait 1 000 000

 

1 000 000

 

 

319 319

   1

319 318

Multiplication par 143, après celle par 7

x 143

x 143

 

Le nombre initial se retrouve multiplié par 7 x 143 = 1001

45 662 617

  143

45 662 474

Il reste un résidu parasite de 143 qu'il faut ajouter

 

 

45 662 617

Voir Magie

 

 

 

 

NOMBRE MAGIQUE:  M = 142 857

 

Multiplications

 

142857     x      2        =        285714

                  x      3        =        428571

                  x      4        =        571428

                  x      5        =        714285

                  x      6        =        857142

                  x      7        =        999999

                  x      8        =      1142856 et 142856 + 1 = 142 857

                  x      9        =      1285713 et 285713 + 1 = 285714

 

*    Ce nombre est extraordinaire car, via la multiplication, il retrouve toujours ses propres chiffres. Sauf avec 7, cas qui rappelle que 1/7 = 0,142857142857 …
 

*    La somme des deux blocs de trois chiffres est égale à 999. Exemple: 142 + 857 = 999.

Permutations circulaires

142 857 x 1 = 142857

x 5 = 714285

x 4 = 571428

x 6 = 857142

x 2 = 285714

x 3 = 428571

*    Les produits se déduisent les uns des autres par permutation circulaire: décalage vers la gauche et le chiffre sortant à droite est réintroduit à gauche.

*    Le produit de 142 857 par 7 donne 999 999 dont la somme des chiffres est 2 x 27.

*    La somme des chiffres sur les lignes comme sur les colonnes est égale à 27. Les chiffres forment un carré semi-magique:

 

*    Hélas les diagonales ne somment pas en 27.

Même si la moyenne est 27: 23 + 31 = 54 = 2 x 27

Voir Carrés magiques aves les inverses des premiers

 

 

 

Produits avec des nombres plus élevés

 

*    Les multiples de 142857 présentent tous le même motif – chiffres de 142857 permutés – en ajoutant à droite les chiffres qui dépassent à gauche.

Ex: 142 857 x 12 = 1 714 284 => 714 285

       142 857 x 37 = 5 285 709 => 285 714

 

*      Sauf pour les multiples en 7k pour lesquels le motif en 9 ressort.

Ex: 142 857 x 84 = 11 999 988 => 999 999

 

 

 

 

Fractions

 

*    Le nombre 7 semble jouer un rôle particulier. Calculons les fractions en n / 7:

 

1 /7 = 0, 142857 142857 142857

2 /7 = 0, 285714 285714 285714

3 /7 = 0, 428571 428571 428571

4 /7 = 0, 571428 571428 571429

5 /7 = 0, 714285 714285 714286

6 /7 = 0, 857142 857142 857143

7 /7 = 1, 000000 000000 000000

8 /7 = 1, 142857 142857 142857

9 /7 = 1, 285714 285714 285714

 

*    La période comprend six chiffres: 142 857 pour 1/7 et les mêmes chiffres permutés pour les autres fractions.
C'est une propriété générale des nombres cycliques dont la période est juste égale au nombre (7) moins un (6).

 

Voir Nombre têtus ou premiers longs en 142 857

Voir Nombres cycliques

 

 

 

 

Nombre magique et Pi

 

22 /7 = 3, 142857 142857 142857

 

*    Or 22/7 est l'une des approximations de .

 

Voir Valeurs de Pi

 

Et l'inverse de ce nombre magique ?  

 

1 / 142 857  =   0, 000 007 000 007 ...

 

Voir Nombre cyclique

 

 

 

 

Nombre magique pour sa multiplication

 

*    Sur la figure, on tourne dans le sens horaire.

*    Le chiffre en périphérie est placé de façon telle qu’il donne le résultat de sa multiplication par le nombre magique.

Exemple: 3 x 142 857 = 428 571

*    Somme 9 pour les nombres diamétralement opposés sur le cercle intérieur et 7 sur l'autre.

 

 

 

Multiplication mentale (ou presque)

*    Propriété: en multipliant par 12, on multiplie par 1 x 7 + 5.
La multiplication rapide se base sur cette propriété, prise à l'envers.

 

142 857 x 12 = 1 714 284

                               714 284 + 1 = 714 285

714 285 =          5          x 142 857

               =  (12 – 1 x 7) x 142 857

 

*      Soit à multiplier:

142 857 x 493 = ?

*    En divisant le multiplicateur par 7:

142 857 x (70 x 7 + 3)

*    Prendre le quotient comme premiers chiffres:

142 857 x 493 = 70

*    Prendre le produit par 3 pour la suite:

142 857 x 3 = 428 571

*    Résultat:

142 857 x 493 = 70 428 571 – 70

                          = 70 428 501

*    Cas d'un multiplicateur divisible par 7:

 

142 857 x 378 =

142 857 x 54 x 7 =

142 857 x (53 x 7 + 7) =

 

*    On procède comme précédemment:

142 857 x 378 = 53 999 99953

                          = 53 999 946

 

 

 

CURIOSITÉS

 

En séparant le nombre en deux

1

4

2

8

5

7

1

+ 4

 

 

= 5

 

1

+ 4

+ 2

 

 

= 7

 

4

x 2

= 8

 

 

 

Harshad

 

142 857 = 5 291 x (1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7)

Le nombre magique 142 857 est divisible par la somme de ses chiffres.

 

Voir Nombre de Harshad

 

 

Multiplications

142 857     =       11               x          12987

                   =       111            x          1287

                   =       1111          x          129        

                   =       999999      x          7

                   =       9999          x          14

                   =       999            x          143

                   =       99               x          1443

                   =       9                 x          15873

 

 

 

Progression arithmétique

Soit les paires 18 45 et 27 tirées du nombre magique 142857.

 

1 x 8 = 8

2 x 7 = 17

4 x 5 = 20

Écart:

+ 6

+ 6

 

4² + 5² = 41

2² + 7² = 53

8² + 1² = 65

Écart:

+ 12

+ 12

 

 

 

Kaprekar

 

142 857 2  =            20 408    122 449      

                et              20 408 + 122 449       = 142 875

 

142 857 3 =             2 915 443 148 696 793

                et              2 915 + 443 148 + 696 793 = 1 142 856

En ajoutant le 1 des millions aux unités, nous retrouvons notre nombre magique.
Idem avec la puissance 4:

142 857 4 =             416 491 461 893 377 757 601

                et              416+491461+893377+757601 = 2 142 855

 

C'est en fait une propriété générale: le nombre magique 142 857, multiplié par un nombre quelconque, donne un produit dont la somme des chiffres par bloc de six est le nombre magique permuté.

142 857 x 123 =    17 571 411

                et              17 + 571 411 = 571 428

 

Voir Exploration / Nombre de Kaprekar

 

 

Aussi en morceaux

 

1422 =     20164

8572 =   734449

734449 – 20164 = 714285

 

 

 

Avec 9, 99 …

 

1 + 4

+ 2 + 8

+ 5 + 7

= 27 => 9

14

+ 28

+ 57

= 99

142

+ 857

= 999

142 857

x 7

= 999 999

 

Cette dernière relation est générale: toute période d'un nombre décimal multiplié par le nombre premier long générateur est un repdigit en 9. Voir Autres exemples

 

Également avec cette dernière relation:

142 857 x 7 =  999 999 = (1 000 000 – 1)

On peut facilement calculer les multiples du nombre magique

142 857 x 7n = 1 000 000 n – n

Enfin, les multiples septième; pour les autres il faut diviser par sept.

 

n              7 n . M                 N . M

1              999999               142857

2            1999998               285714

3            2999997               428571

4            3999996               571428

5            4999995               714285

6            5999994               857142

7            6999993               999999

8            7999992               1142856

9            8999991               1285713

 

Voir Calcul mental avec ce nombre

 

Multiples de 142857

 

142 857 x 367 = = 51 571 377

                                51 + 571 + 377 = 999

                                51 + 57 + 13 + 77 = 198 => 99

                                                              (le 1 gauche est ajouté à droite)

 

Tous les multiples présentent ce genre de motif.

 

 

 

Puissances de deux

 

 

7 x 21

=

7 x 2

=

14

 

 

 

 

 

 

 

 

7 x 22

 

7 x 4

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

7 x 23

 

7 x 8

 

 

 

56

 

 

 

 

 

 

7 x 24

 

7 x 16

 

 

 

1

12

 

 

 

 

 

7 x 25

 

7 x 32

 

 

 

 

2

24

 

 

 

 

7 x 26

 

7 x 64

 

 

 

 

 

4

48

 

 

 

7 x 27

 

7 x 128

 

 

 

 

 

 

8

96

 

 

7 x 28

 

7 x 256

 

 

 

 

 

 

 

17

92

 

7 x 29

 

7 x 512

 

 

 

 

 

 

 

 

35

84

 

 

 

 

14

28

57

14

28

57

14

27

84

 

Procédé qui fait apparaître notre nombre magique.

En poursuivant le procédé, les 3 derniers chiffres seraient corrigés pour donner la répétition de 142857:

1,   14

2,   1428

3,   14285 6

4,   142857 1 2

5,   142857 142 4

10, 142857 142857 14285568

15, 142857 142857 142857 142857 138176

20, 142857 142857 142857 142857 142857 1428421632

 

Cette construction est valable pour tout nombre périodique engendré par un nombre premier long.

 

La même chose se retrouve avec les puissances de 5, ajoutées avec décalage. Cette fois le nombre magique est engendré par la droite:

1, 3 57 (concaténation de 35 = 7x5 et de 7)

2, 17 857  (357 + 35 x5 x 100 = 357 + 17500)

3, 892 857

4, 446 42857

5, 2232 142857

10, 6975446 42857 142857

15, 217982700892857 142857 142857

20, 681195940290 17857 142857 142857 142857

 

Modulo 9 et puissances de 2 et de 5


Le modulo 9 des puissances de deux successives recréent les chiffres du nombre magique:

 

2n

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Mod9

1

2

4

8

7

5

1

2

4

8

 

Idem avec les puissances de 5 modulo 9:

 

5n

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

Mod9

1

5

7

8

4

2

1

5

7

8

 

 

 

Avec 8

 

Voici les vingt première itérations:

 

1    0, 12500000000000000000

2    0, 14062500000000000000

3    0, 14257812500000000000

4    0, 14282226562500000000

5    0, 14285278320312500000

6    0, 14285659790039062500

7    0, 14285707473754882812

8    0, 14285713434219360352

9    0, 14285714179277420044

10   0, 14285714272409677505

11   0, 14285714284051209688

12   0, 14285714285506401211

13   0, 14285714285688300151

14   0, 14285714285711037519

15   0, 14285714285713879690

16   0, 14285714285714234961

17   0, 14285714285714279370

18   0, 14285714285714284921

19   0, 14285714285714285615

20   0, 14285714285714285702

 

 

 

 

Avec 10

Il est possible de créer les puissances de dix avec le nombre magique tronqué:

 

10                        =          1                   x          7       +       3

100                      =          14                 x          7       +       2

1 000                  =          142               x          7       +       6

10 000                =          1428            x          7       +       4

100 000              =          14285          x          7       +       5

1 000 000           =          142857        x          7       +       1

 

 

 

142857 et ses diviseurs

 

Parmi toutes les permutations du nombre magique M = 142857, combien donnent un repdigit lorsqu'ils sont divisés par un diviseur de M?

                                             N                    Diviseur          Quotient N/D

                                             142857         47619              3

                                             285714         47619              6

                                             142857         15873              9

                                             428571         47619              9

                                             142857         12987              11

                                             241758         10989              22

                                             285714         12987              22

                                             142857         4329                33

                                             428571         12987              33

                                             571428         12987              44

                                             714285         12987              55

                                             241758         3663                66

                                             285714         4329                66

                                             857142         12987              66

                                             142857         1443                99

                                             428571         4329                99

                                             147852         1332                111

                                             142857         1287                111

                                             428571         3861                111

                                             285714         1287                222

                                             857142         3861                222

                                             142857         429                   333

                                             428571         1287                333

                                             147852         333                   444

                                             571428         1287                444

                                             714285         1287                555

                                             285714         429                   666

                                             857142         1287                666

                                             258741         333                   777

                                             142857         143                   999

                                             428571         429                   999

 

 

En majorité, on retrouve les permutations circulaires de 142857 (rouge); mais aussi, les permutations circulaires de ce nombre lues dans l'autre sens758241.
On trouve également le nombre 147852, avec le 2 et le 7 qui sont permutés.

 

Rappel: Ce nombre à six chiffres et chaque chiffre vaut l'une des six valeurs {1, 2, 4, 5, 7, 8}.

Cinq chiffres étant fixés, le dernier peut prendre 6 valeurs.

Quatre chiffres étant fixés, le cinquième peut prendre 6 valeurs; ce qui veut dire que les deux derniers peuvent prendre 6x6 valeurs

Trois chiffres étant fixés, les trois derniers peuvent prendre 6x6x6  = 63 valeurs.

Pour les chiffres, nous avons donc 66 = 46 656 valeurs dont 31 correspondent à nos conditions. 

Voir p-liste

 

 

 

AUTRES MULTIPLICATIONS MAGIQUES

 

Le nombre magique 142 857, multiplié par un nombre quelconque, donne un produit dont la somme des chiffres par bloc de six est le nombre magique permuté.

 

Exploration

 

 

142 857

et ses fractions

1

142 857

 

2

285 714

 

3

428 571

 

4

571 428

 

5

714 285

 

6

857 142

 

7

999 999

 

8

1 142 856

142 857

9

1 285 713

285 714

10

1 428 570

428 571

11

1 571 427

571 428

12

1 714 284

714 285

13

1 857 141

857 142

14

1 999 998

999 999

15

2 142 855

142 857

  

Observez

*    La colonne de droite (bleue) est la somme du nombre de millions avec le nombre formé des 6 derniers chiffres.

*    Elle donne les permutations circulaires du nombre magique

*    Est-ce toujours vrai ? Voyons cela.

 

Avec n autour de 1 000

 

 N

n

N . n

A =

millions

B =

6 derniers chiffres

A + B

142 857

1 000

142 857 000

142

857 000

857 142

1 001

142 999 857

142

999 857

999 999

1 002

143 142 714

143

142 714

142 857

1 003

143 285 571

143

285 571

285 714

1 004

143 428 428

143

428 428

428 571

1 005

143 571 285

143

571 285

571 428

1 006

143 714 142

143

714 142

714 285

1 007

143 856 999

143

856 999

857 142

1 008

143 999 856

143

999 856

999 999

 

*    Oui, c'est toujours vrai ! Même pour plusieurs paquets de millions

 

 

Avec n autour de 1 000 000 000

Note : 08 signifie une succession de 8 zéros

 

N

n

N . n

1012

106

U

Somme

Somme’

142 857

1 08 0

142 857 000 000 000

142

857 000

0

857 142

857 142

1 08 1

142 857 000 142 857

142

857 000

142 857

999 999

999 999

1 08 2

142 857 000 285 714

142

857 000

285 714

1 142 856

142 857

1 08 3

142 857 000 428 571

142

857 000

428 571

1 285 713

285 714

1 08 4

142 857 000 571 428

142

857 000

571 428

1 428 570

428 571

1 08 5

142 857 000 714 285

142

857 000

714 285

1 571 427

571 428

1 08 6

142 857 000 857 142

142

857 000

857 142

1 714 284

714 285

1 08 7

142 857 000 999 999

142

857 000

999 999

1 857 141

857 142

1 08 8

142 857 001 142 856

142

857 001

142 856

999 999

999 999

 

*    La colonne la plus à droite est utile lorsque la somme dépasse le million. Alors, on recommence l’addition.

 

 

 

ENGLISH CORNER

*    142857 is the six repeating digits of 1/7 and is a cyclic number.

 

 

 

Suite

*    Nombres en N/999…

*    Nombres cycliques têtus

*    Nombres cycliques têtusTable

*    Calcul mental avec 142857

*    Cercles de Ducci

*    Nombre 12345679

Voir

*    Carrés magiques

*    Cercles

*    FractionsGlossaire

*    Grilles magiques

*    Itérations et cycles

*    Nombres cycliques

*    Nombres magiques - Index

DiciNombre

*    Nombre 0,142857

*    Nombre 7

*    Nombre 142857

*    Nombre très voisin 147 852

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/N12345.htm