NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres polygonaux

>>> Somme de nombres

>>> Formules de calcul des nombres polygonaux

>>> Fonction génératrice

>>> Bilan

 

 

 

 

 

 

NOMBRES FIGURÉS

Cas des nombres polygonaux

 

Liste des premiers nombres polygonaux, nombres figurés dans le plan et dont la base géométrique est un polygone régulier.

 

Calcul pas à pas de la formule générale des nombres polygonaux (nième m-gonal):

 

 

 

 

NOMBRE POLYGONAUX

Tableau

 

Si m est le nombre de côté du polygone, la formule générale s'écrit:

 

Sm(n) =  ½ n ( [m – 2] n – [m – 4] )

         =  ½ (m.n² – 2n² – n.m + 4n)

         =  ½ (n² – n) m – (n² – 2n)

 

Ex: 5e hexagonal = ½ (6x25 – 2x25 – 5x6 + 4x5) = ½ (90) = 45

Propriétés

 

Pour n = 5, ils sont divisibles par 5 et différent entre eux de 10.

 

Progression régulière des différences sur chaque colonne:

 

Produit en croix

 

Toutes les différences des produits en croix sont égales

et valent le nombre triangle en haut à gauche.

 

Exemple:

18 x 40 – 34 x 21 = 720 – 714 = 6

(le triangulaire en haut) 

Valable pour des produits éloignés tels que 18 x 65 – 21 x 55 = 15.

 

 

 

 

Nombres polygones & somme de nombres

Tableau

 

Notez que le premier est toujours 1 et le deuxième est m, la quantité de côté du polygone.

Propriétés

 

On obtient un nombre polygonal en additionnant les premiers termes d'une suite arithmétique >>>

 

On peut arranger le nombre de points en figures géométriques, d'où leur nom. 

 

Les nombres hexagonaux sont aussi triangulaires.

 

Les nombres pentagonaux sont des tiers de nombres triangulaires.

 

 

 

    Élaboration de la formule générale

 

Suite au chapitre ci-dessus, un nombre polygonal est égal à son prédécesseur auquel on ajoute la raison de la progression arithmétique. Celle-ci varie selon le type de polygone à m côtés (appelé m-gone).

 

 

Triangulaire              r = 1

Carré                           r = 2

Pentagone                r = 3

 

m-gone                       r = m – 2

 

 

Formules de récurrence pour:
 

*      La progression arithmétique (P). On ajoute la raison (m-2) au nombre précédent (P de rang n).

*      Le nombre polygonal (S). On ajoute le nombre correspondant de la progression (1 + n(m-2) au nombre précédent (S de rang n).

 

 

Progression arithmétique

Pm(n+1) = Pm(n) + (m – 2)

 

Ex: P5(4) = P5(3) + 3 = 7 + 3 = 10

 

Rappel calcul du terme (n+1) d'une progression arithmétique de raison (m-2) commençant par 1:

Pm(n+1) = 1 + n(m – 2)

 

Nombre polygonal

Sm(n+1)= Sm(n) +      Pm(n+1)

                = Sm(n) + {  1 + (n) (m – 2) }

 

Sm(n+1) = Sm(n) + 1 + n(m – 2)

 

Ex: S5(4) = S5(3) + 1 + 3(5 – 2)

                 = 12 + 1 + 9 = 22

 

Formule développée

du nombre m-gonal

 

Sm(n) = 1 + {1 +   (m–2)}

 + {1 + 2(m–2)}

 +…

 + {1 + (n–1)(m–2)}

 

Les premières formules

 

Par exemple le 5e m-gonal  a pour formule générale: 10m – 15.

Prenons m = 5 pour les nombres pentagonaux, alors le 5e pentagonal est 10 x 5 – 15 = 35.

 

Voir Table complète et valeurs

  

 

Formule générale pour

le nième m-gonal

 

Les coefficients de m et le coefficient fixe sont en progression arithmétique.

 

 

 

Exemple de calcul avec la formule

 

10e hexagonal: n = 10 m = 6.

*    La table donne: 190

*    La formule donne:

 

      S6(10) = (10 x 9 / 2) x 6

                          + 10² – 2 x10

            = 45 x 6 – 80 = 190

 

 

 

 

Exemple de formule

Pour les triangulaires (m = 3)

 

S3 = ½ n(n – 1) x 3 – n² + 2n

S3 = ½ (3n² – 3n – 2n² + 4n)

S3 = ½ (n² + n)

 

 

 

Coefficients de m

La progression est arithmétique de raison 1 et commençant par 0, c'est la somme des entiers

 

Coefficients fixe

La progression est arithmétique de raison r = 2 et commençant par a = 3:

 

    

 

 

Formule générale

 

 

 

Comme exercice

 

Calcul des coefficients par utilisation d'un système équations

 

Exemple avec le coefficient fixe

 

 

Fonction génératrice

Fonction génératrice des nombres polygonaux

 

 

Expansion sous Maple

Chacun des coefficients d'une puissance n  de x donne la formule des m-gonaux de rang n.

 

Ex: les 5e nombres polygonaux ont pour formule: 10m – 15  et le 5e hexagonal (m = 6) est: 60 – 15 = 45.

 

 

 

Bilan

Nous avons établi la formule des nombres polygonaux par deux voies différentes, donnant le même résultat. Extraordinaire, cette formule permet le calcul du nième nombre m-gonal quelque soit m et n.

Voir Table des valeurs des nombres polygonaux

 

 

 

 

 

Suite

*         Les nombres géométriques en détail, un par un

*         Introduction aux nombres géométriques

*         Théorie des nombres géométriques

*         Tables de nombres géométriques

Voir

*         Calcul mentalIndex

*         GéométrieIndex

*         Liste des noms des nombres

*         Partition

*         Somme des cubes des entiers

*         TABLES de nombres

*         Théorie des nombres

Site

*         Nombres figurés de Récréomath

*         Figurate numbers d'Eric Weisstein
       Absolument intarissable sur le sujet

Livre

*         Pour développements complets,

voir Conway et Guy " The book of numbers "

(Le livre des nombres)

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