NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 12/01/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Nombres Géométriques

 

Débutants

Nombres géométriques

Nombres Triangulaires

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

Nombres géométriques

 

Définition

Propriétés

Particularités

Palindrome

Caractérisation

Racines triangulaires

 Centrés

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres triangulaires

>>> Triangulaires et carrés

>>> Formule de calcul et remarques

>>> Triangulaire en 6

 

 

 

 

 

NOMBRES TRIANGLES

La suite des nombres consécutifs présente de l'intérêt:

 

*    soit en sommes :
les nombres triangulaires;

 

*    soit en produits :
les factorielles.

Conjecturé par Fermat en 1638

Démontré   par Gauss 10 juillet  1796

Anglais: Triangular number

 

 

Devinette

Dans la salle du bar, on fête un anniversaire. Attentif, j'écoute et compte quarante-cinq tintements. Combien de personnes à cet anniversaire?

Solution

 

 

APPROCHE

 

*    Combien de pions faut-il empiler pour former un triangle équilatéral?

*    Sue cet exemple: avec une base de 3, il en faut 2 puis 1 de plus; au total: 1 + 2 + 3 = 6

*    Un nombre triangulaire d'ordre n est la somme de tous les nombres consécutifs de 1 à n.


 

 

 

Nombres triangulaires

 

Les premiers en images

 

 

 

Les premiers triangulaires en chiffres

 

Voir Calcul de la somme des entiers

 

Nombres triangulaires,

carrés et produits des nombres successifs

Voir Table / Suite originale

 

 

Triangulaires et carrés

 

 

 

La somme de deux triangulaires successifs est un carré.

 

 

 

 

FORMULE DE CALCUL et remarques

 

 

 Tn   = ½ (n + 1) n = ½ (n2 + n)

 Tn-1 = ½ (n - 1) n = ½ (n2 - n)

  Voir Démonstration

 

*    Les nombres en n (n + 1) sont appelés proniques.

Parmi les deux nombres, l'un est pair et, le produit est pair.
La moitié de ce nombre, un nombre triangulaire, est donc bien un nombre entier.

*    Un triangulaire sur deux est hexagonal.

*    La somme des triangulaires donne un nombre tétraédrique.

La formule de calcul des tétraédraux est en n (n + 1) (n + 2).

 

*    Un nombre triangulaire ne se termine jamais par 2, 4, 7, 9.
 

 

Curiosités

258 474 216 

  = ½ 22 736 x 22 737

  = 636 x 637 x 638

*   Le plus grand triangulaire produit de trois nombres consécutifs.

T 26 62    = 354 4 453

*  Nombre triangulaire palindrome dont l'indice est lui-même palindrome (exemple).

 

 

Triangulaires et nombre 6

 

*    Présence du nombre 6 dans ces trois nombres triangulaires

 

 

*    Notez que 6 x 6 x 6 = 63  = 216, terminé par un 6 comme toutes les puissances de 6.

 

 

Carrés en fonction des triangulaires

 

*    Voici une manière originale de présenter les carrés en fonction des nombres triangulaires.

*    Elle résulte de la relation:

n² = Tn – 1  + Tn

*    Soit pour le suivant:

n² = Tn + 1 + Tn – 1  + n

n² = 2Tn  + n

 

*    Sur ce tableau,

*  la valeur de n est présentée en horizontal par cumul de la valeur 1,

*  le nombre triangulaire Tn est obtenu par cumul des valeurs dans le triangle, et

*  le facteur 2 est obtenu en plaçant ce 2 dans chaque case du triangle.

 

 

 

Le carré de 3 est 9. Il est obtenu par la somme des nombres dans le triangle: 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2. C'est, en fait, le nombre 3 additionné du nombre triangulaire précédent (le triangle des 2 est décalé d'un cran), doublé.

 

 

Devinette – Solution

Énigme

Dans la salle du bar, on fête un anniversaire. Attentif, j'écoute et compte quarante-cinq tintements. Combien de personnes à cet anniversaire?

 

Solution

Supposons quatre convives. Le premier trinque avec les trois autres. Le deuxième avec les deux qui restent. Le troisième avec le quatrième qui reste. Soit 3 + 2 + 1 = 6.

La quantité de tintements est un nombre triangulaire. Le nombre 45 est le neuvième. Il y a dix convives.

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

Retour

 

 

 

 

 

Suite

Nombres triangles

*    Propriétés (suite)

*    Nomenclature

*    Nombre 271 – Six fois triangulaire + 1

*    TABLE – Triangulaires

*    TABLE – Triangulaires centrés

*    Nombres triangulaires et carré magique

*    Nombre polygonaux centrés (traiteur paresseux)

Voir Nombres géométriques

*    Introduction

*    Valeurs

*    Théorie

*    Pythagore et nombres figurés

Voir aussi

*    Liste des noms de nombres

*    Méthode de Newton

*    Partition & Addition

*    Raisonnement par récurrence

*    Rubick's cube

*    Somme des cubes des entiers

*    Somme des triangulaires

*    Sommes des entiers, carrés, inverses …

*    Triplets primitifs jumeaux

DicoNombre

*    Nombre      6

*    Curiosité 351

*    Nombre  666

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbTrianB.htm