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Théorème de Nicomaque Un mariage des carrés et des cubes. Avec les nombres successifs. C'est particulièrement joli! |
Voir Carré = Somme de cubes / Somme de cubes consécutifs / Nicomaque
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13
+ 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 36
= 6² 33
= (1 + 2 + 3)² – (1 + 2)² 27
= 36 – 9 |
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Écriture
informatique
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Ce type de relations existe pour
tous les cubes
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Observation
9 = 3 x 3 = 13 + 23 Volume
de la tour: 1 + 23 H Surf 1
+ 8 = 9 = 3² Tous
les cubes se rangent dans un carré dont le côté est égal à la hauteur de la
tour. Ce cas n'est pas particulier. Il est généralisable à toutes les tours.
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Somme
cubes = carré ( 1 + 2 + 3 + … + n )2 = 13
+ 23 + 33 + … +
n3
La somme des
cubes des
nombres successifs est le carré de la somme de ces nombres Rappel (1
+ 2 + 3 + … + n ) =
Somme des entiers successifs = 1/2 n (n + 1) En
remplaçant S = ( 1 + 2 + 3 + … + n )2 =
{ 1/2 n (n + 1) }²
= 1/4 { n²(n + 1)²
} Formule
générique S = ( 1 + 2 + 3 +
… + n )2 = 13
+ 23 + 33 + … +
n3 = 1/4 (n4 + 2n3 +
n2 ) = 1/4 { n² (n+1)² } = Tn2 En
résumé Carré
de la somme des nombres =
carré du nombre triangulaire = somme des cubes. |
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Premier
regard sur le grand carré Calcul de l'aire du
grand carré
Second
regard sur le grand carré Calcul de l'aire de
chaque équerre
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Carré = somme cubes: démonstration muette
Chaque carré-diagonale
k² est accompagné de k carrés latéraux formant le cube.
Pour k = 2 et 4, le
carré est composé de deux rectangles k x k/2
Voir Brève
591
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Méthode d'Abu Bakr
al-Karaji (vers 1019) |
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La figure
permet d'établir une formule de récurrence reliant le carré de la somme S²(n)
au carré de la somme S²(n-1) + n3. Ici: (1 + 2 + 3 + 4 + 5)² = (1 + 2
+ 3 + 4)² + 53 En reprenant
la même formule pour n décroisant, on a successivement:
On pourrait, évidemment, reprendre forme
récurrent pour tout n. |
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Cube = Différence de carrés La
relation de récurrence permet d'établir cette relation: Par
exemple: 33
= (1 + 2 + 3)² – (1 + 2)² = 27 = 6² – 3² = 36 – 9 ou encore
(dernière ligne): 203 = (1+2+…+20)²
– (1+2+…+19)² = 8 000 = 210² – 190² = 44 100 – 36 100 Notez que la même relation
permet de définir d'autres égalités, comme:
Ex: 43 + 33 = (1+2+3+4)² –
(1+2)² = 64 + 27 = 100 – 9 = 91 Voir Exemple complet avec 216 dans l'en-tête |
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Voir Cube =
Différence de carrés / Nombre
216 / Nombre
1000 / Brève
573
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Valeur de la formule pour n= 1 |
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13 |
= |
1² |
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On suppose l'égalité exacte |
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13 + 23
+ 33 + ... + n3 |
= = |
(1 + 2 + 3 + ... + n )² { n (n + 1) / 2 }² |
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On ajoute (n+1)3 de chaque côté |
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13 + 23
+ 33 + ... + n3 + (n+1)3 |
= = |
(n (n+1)/2)² + (n+1)3 (
(n+1) (n+2) / 2 )² Voir Détail
du calcul |
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On retombe
sur la formule pour n+1 |
= |
(1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) )² |
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Conclusion: On a démontré que: |
si
la relation est vraie pour n , elle
l'est aussi pour n+1 |
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Or, elle est vraie |
pour
n = 1 |
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Donc |
Elle
est donc toujours vraie |
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Voir Démonstration
par récurrence
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4 Sn-1
= (n - 1)² (n)² 4 Sn
= (n)² (n + 1)² 4 Sn+1 = (n + 1)² (n + 2)² |
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Choix
de la formule: on imagine aisément qu'il sera plus facile de passer de n-1 à
n que de n à n+1, car dans ce dernier cas, interviendrait (n+2) sans doute
plus difficile à manipuler. |
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4 S1 = 1² x 2 ² = 4 =
4 ( 13 ) 4 S2 = 2² x 3 ² = 36 = 4 ( 13
+ 23 ) |
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4 Sn = 4 (Sn-1 + n3 ) |
= (n - 1)² (n)² + 4n3 |
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Et
apparaît la formule en Sn CQFD |
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= (n - 1)² (n)² +
4n . n² = (n² - 2n + 1 – 4n
) n² = (n + 1)² n² |
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… du carré de la somme des entiers
successifs, et par là-même de la somme des
cubes des entiers successifs Exemples
de lecture Dizaines
0 et Unités 3 => S3 = 13 + 23 + 33 = 36
= (1 + 2 + 3)2 Dizaines
1 et Unités 3 => S13 = 13
+ 23 + … + 133 = 8 281 = (1 + 2 + … + 13)2
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Nombres
consécutifs de 1 à n |
Toujours égalité comme vu ci-dessus |
(1 + 2)2 = 13 + 23 = 9 |
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Nombres
consécutifs de k à n |
Aucune égalité |
(3
+ 4 + 5)2 = 289 alors que 33
+ 43 + 53 = 216 |
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Quantité
de termes différente avec même nombre de départ |
Aucune égalité connue |
(3
+ 4)2 = 49 alors que 33
+ 43 + 53 = 216 |
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Quantité
de termes différente avec nombre de départ différents |
Infinité d'égalités avec souvent plusieurs formes du carré |
(4
+ 5 + … + 20)2 =
(22 + 23 + … + 29)2 =
(67 + 68 + 69)2 =
233 + 243 +253 =
41 616 Suite sur tableau ci-dessous |
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Carré
de somme de consécutifs = somme de
cubes consécutifs |
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Égalité
recherchée S = (n + n+1 + … + n+k)2
= m3 + (m+1)3 +…+ (m+h)3 Exemple
de lecture S = 41 616 = 2042 = (4 + 5 + … + 20)2 = (22 + 23 + …
+ 29)2 = (67 + 68 + 69)2 = 233 + 243
+253 Table pour
n, k, m, h jusqu'à 100
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DicoNombre: 204/
312
/ 315
/ 323
/ 504
Merci à
Soufiane D.O.
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On lâche
la contrainte en cherchant des sommes avec de nombres parmi les nombres de 1 à n. Les
solutions sont en nombre infini. |
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Exemples |
9 = 3² = 13 + 23 36 = 6² = (1+5)² = (2+4)² = (1+2+3)² = 13
+ 23 + 33 64 = 8² = (1+7)² = (2+6)² = (3+5)² = (1+2+5)² =
(1+3+4)² = 43 |
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Explications |
Cas général: somme des cubes
consécutifs = carré Pour
toutes les sommes S des cubes de 1 à n consécutifs, on aura un carré n² de la
somme des mêmes nombres (propriétés vue ci-dessus, notée en rouge)). Toutes
les partitions de n avec nombres distincts sont également éligibles (notées
en bleu) Cas particulier: somme de nombres
au cube = carré Il existe
des cas de nombres carrés avec un cube (comme 4) ou une somme de cubes (comme
13 + 23 + 43 + 63 = 289 = 17²). Toutes
les partitions de la racine carrée avec nombres distincts sont éligibles. Exemple pour 289 = 17² 17² = (7+10)² = (8+9)²
= (1+6+10)² = (1+7+9)² = (2+5+10)² = (2+6+9)² ) = (2+7+8)² = (3+4+10)² = (3+5+9)² = 3+6+8)² = (4+5+8)² =
(4+6+7)² |
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Table En jaune les cas réguliers de sommes de cubes
consécutifs (= un carré) Les autres, cas où une somme de cubes
non-consécutif est égale à un carré. Exemples de lecture 13 + 23 = 9 = 3² 43 + 83 = 576 = 24² Rappel Toutes les partitions en nombres distincts (ou
non) de la racine carrée conduit à l'égalité: carré de somme = somme des
cubes. |
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Autres recherches
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Égalité
recherchée S = (n + n+1 + … + n+k)3
= m2 + (m+1)2 +…+ (m+h)2 Exemple
de lecture S = 103 823 = 473 = (23 + 24)3 = 222
+ 232 + … + 682 Table
pour n, k, m, h jusqu'à 100
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Égalité
recherchée S = (n + n+1 + … + n+k)2
= m2 + (m+1)2 +…+ (m+h)2 Exemple
de lecture S = 5 929 = 772 = (8 + 9 + … + 14)3 = 182
+ 192 + … + 282 Table
pour n, k, m, h jusqu'à 100
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DicoNombre: 77
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Égalité
recherchée S = (n + n+1 + … + n+k)3
= m3 + (m+1)3 +…+ (m+h)3 Exemple
de lecture S = 8 0000 = 203 = (2 + 3 + … + 6)3 = 113
+ 123 + 133 + 143 Table
pour n, k, m, h jusqu'à 100
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DicoNombre: 20
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Tables |
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Voir |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/CarSCube.htm
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