NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/11/2011 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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CARRÉ SOMME DE CUBES

Un mariage des carrés et des cubes

Avec les nombres successifs

C'est particulièrement joli !

Voir Carré = Somme de cubes

Approche

Observation

9 = 3 x 3 = 1³ + 2³

Volume de la tour: 1 + 2³

Hauteur de la tour: 3

Surface occupée par les cubes de la tour, mis à plat :

1 + 8 = 9 = 3²

Tous les cubes se rangent dans un carré dont le côté est égal à la hauteur de la tour. Ce cas n'est pas particulier. Il est généralisable à toutes les tours.

Tour n°	Hauteur	Volume		Surface
1	1	1	=	1	=	1
2	3	1 + 2^3	=	(1 + 2)²	=	9
3	6	1 + 2^3 + 3^3	=	(1 + 2 + 3)²	=	36
4	10	1 + 2^3 + 3^3 + 4^3	=	(1 + 2 + 3 + 4)²	=	100
5	15	1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3	=	(1 + 2 + 3 + 4 + 5)²	=	225
…
n	n (n + 1)/2	1 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3	=	(1 + 2 + 3 + ... + n)²

Une belle suite d'égalités et une formule
Carrés	Cubes	Total
(1)^2 (1 + 2)^2 (1 + 2 + 3)^2 (1 + 2 + 3 + 4)^2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)^2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)^2 Etc.	= 1^3 = 1^3 + 2^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3	= 1 = 9 = 36 = 100 = 225 = 441 = 784
(n)^2= n^3

FORMULES

Somme cubes = carré ( 1 + 2 + 3 + … + n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 La somme des cubes des nombres successifs est le carré de la somme de ces nombres Rappel (1 + 2 + 3 + … + n ) = Somme des entiers successifs = Nombres triangulaires = 1/2 n (n + 1) En remplaçant S = ( 1 + 2 + 3 + … + n )^2 = { 1/2 n (n + 1) }² = 1/4 { n²(n + 1)² } Formule générique S = ( 1 + 2 + 3 + … + n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = 1/4 (n^4 + 2n^3 + n^2 ) = 1/4 { n² (n+1)² } = Tn^2 En résumé Carré de la somme des nombres = carré du nombre triangulaire = somme des cubes.

ILLUSTRATION
Premier regard sur le grand carré Calcul de l'aire du grand carré Second regard sur le grand carré Calcul de l'aire de chaque équerre

Démonstration par récurrence
Valeur de la formule pour n= 1
1^3	=	1²
On suppose l'égalité exacte
1^3 + 2^3+ 3^3+ ... + n^3	= =	(1 + 2 + 3 + ... + n )² { n (n + 1) / 2 }²
On ajoute (n+1)^3de chaque côté
1^3+ 2^3+ 3^3+ ... + n^3+ (n+1)^3	= = = = =	(n (n+1)/2)² + (n+1)^3 n² (n+1)² / 4 + (n+1)(n+1)^2 (n+1)² (n² + 4n + 4) / 4 (n+1)² (n+2)² / 4 ( (n+1) (n+2) / 2 )²
On retombe sur la formule pour n+1	=	(1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) )²
Conclusion: On a démontré que:	si la relation est vraie pour n , elle l'est aussi pour  n+1
Or, elle est vraie	pour n = 1
Donc	Elle est donc toujours vraie

Voir Démonstration par récurrence

Démonstration de la formule de base
Rappel de la formule pour n-1, n et n+1.	4 Sn-1 = (n - 1)² (n)² 4 Sn = (n)² (n + 1)² 4 Sn+1 = (n + 1)² (n + 2)²
Notre problème: supposant l'une des formules vraie, il faut démontrer la suivante. Choix de la formule: on imagine aisément qu'il sera plus facile de passer de n-1 à n que de n à n+1, car dans ce dernier cas, interviendrait (n+2) sans doute plus difficile à manipuler.
La formule est vraie pour n = 1 et même, si cela ne vous convainc pas, elle l'est aussi avec n = 2.	4 S1 = 1² x 2 ² = 4 = 4 ( 1^3 ) 4 S2 = 2² x 3 ² = 36 = 4 ( 1^3 + 2^3 )
Supposons la formule vraie pour n - 1 et calculons 4Sn	4 Sn = 4 (Sn-1 + n^3 )	= (n - 1)² (n)² + 4n^3
En développant Et apparaît la formule en Sn CQFD		= (n - 1)² (n)² + 4n. n² = (n² - 2n + 1 – 4n ) n² = (n + 1)² n²

Tableau donnant le total de la somme …

… du carré de la somme des entiers successifs, et par là-même

de la somme des cubes des entiers successifs

Exemples de lecture

Dizaines 0 et Unités 3 => S₃ = 1³ + 2³ + 3³ = 36 = (1 + 2 + 3)²

Dizaines 1 et Unités 3 => S₁₃ = 1³ + 2³ + … + 13³ = 8 281 = (1 + 2 + … + 13)²

Unités Dizaines	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	9	36	100	225	441	784	1296	2025
1.	3025	4356	6084	8281	11025	14400	18496	23409	29241	36100
2.	44100	53361	64009	76176	90000	105625	123201	142884	164836	189225
3.	216225	246016	278784	314721	354025	396900	443556	494209	549081	608400
4.	672400	741321	815409	894916	980100	1071225	1168561	1272384	1382976	1500625
5.	1625625	1758276	1898884	2047761	2205225	2371600	2547216	2732409	2927521	3132900
6.	3348900	3575881	3814209	4064256	4326400	4601025	4888521	5189284	5503716	5832225
7.	6175225	6533136	6906384	7295401	7700625	8122500	8561476	9018009	9492561	9985600
8.	10497600	11029041	11580409	12152196	12744900	13359025	13995081	14653584	15335056	16040025
9.	16769025	17522596	18301284	19105641	19936225	20793600	21678336	22591009	23532201	24502500
10.	25502500

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