NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puissances

 

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Glossaire

Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Somme de puissances

Th de Pythagore

Th de Fermat-Wiles

Démonstration du théorème

Carré somme de cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Une belle suite d'identités

>>> Formules

>>> Illustration

>>> Démonstration

>>> Valeurs

 

 

 

 

 

 

CARRÉ SOMME DE CUBES

 

Un mariage des carrés et des cubes.

Avec les nombres successifs.

C'est particulièrement joli!

Voir Carré = Somme de cubes

 

 

Approche

 

Observation

9 = 3 x 3 = 13 + 23

 

Volume de la tour: 1 + 23

Hauteur de la tour: 3

Surface occupée par les cubes de la tour, mis à plat :

1 + 8 = 9 = 3²

 

Tous les cubes se rangent dans un carré dont le côté est égal à la hauteur de la tour. Ce cas n'est pas particulier. Il est généralisable à toutes les tours.

 

Tour n°

Hauteur

Volume

 

Surface

 

 

1

1

1

=

1

=

1

2

3

1 + 23

=

(1 + 2)²

=

9

3

6

1 + 23 + 33

=

(1 + 2 + 3)²

=

36

4

10

1 + 23 + 33 + 43

=

(1 + 2 + 3 + 4)²

=

100

5

15

1 + 23 + 33 + 43 + 53

=

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

=

225

 

 

 

 

 

 

n

n (n + 1)/2

1 + 23 + 33 + ... + n3

=

(1 + 2 + 3 + ... + n

 

 

  

 

 

Une belle suite d'égalités et une formule

Carrés

Cubes

Total

(1)2

(1 + 2)2

(1 + 2 + 3)2

(1 + 2 + 3 + 4)2

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)2

Etc.

= 13

= 13 + 23

= 13 + 23 + 33

= 13 + 23 + 33 + 43

= 13 + 23 + 33 + 43 + 53

= 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63

= 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73

= 1

= 9

= 36

= 100

= 225

= 441

= 784

(n)2                                          =        n3

 

 

FORMULES

 

Somme cubes = carré

 

( 1 + 2 + 3 +  … + n )2   =  13 + 23 + 33 + … +  n3

 

 

 

La somme des cubes  des nombres successifs

est le carré de la somme de ces nombres

 

 

Rappel

(1 + 2 + 3 +  … + n )

= Somme des entiers successifs

= Nombres triangulaires

= 1/2 n (n + 1)

 

En remplaçant

S = ( 1 + 2 + 3 +  … + n )2

   =   {  1/2 n (n + 1)  

   =   1/4 {  (n + 1)²  }

 

Formule générique

 

S = ( 1 + 2 + 3 +  … + n )2

   =  13 + 23 + 33 + … +  n3

   = 1/4 (n4 + 2n3 + n2 )

   = 1/4 { n² (n+1)² }

   = Tn2

 

En résumé

 

Carré de la somme des nombres

= carré du nombre triangulaire = somme des cubes.

 

 

 

ILLUSTRATION

 

Premier regard sur le grand carré

 

Calcul de l'aire du grand carré

 

Second regard sur le grand carré

 

Calcul de l'aire de chaque équerre

 

 

 

 

Démonstration par récurrence

Valeur de la formule pour n= 1

 

 

13

=

On suppose l'égalité exacte

 

 

13 + 23 + 33 + ... + n3

=

=

(1 + 2 + 3 + ... + n )²

{ n (n + 1) / 2 

On ajoute (n+1)3 de chaque côté

 

 

13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n+1)3

 

 

 

 

=

=

=

=

=

(n (n+1)/2)² + (n+1)3

n² (n+1)² / 4 + (n+1)(n+1)2

(n+1)² (n² + 4n + 4) / 4

(n+1)² (n+2)² / 4

( (n+1) (n+2) / 2 )²

 On retombe sur la formule pour n+1

=

(1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1)

Conclusion:    On a démontré que:

si la relation est vraie pour n ,

elle l'est aussi pour  n+1

Or,  elle est vraie

pour n = 1

Donc

Elle est donc toujours vraie

Voir Démonstration par récurrence

 

 

Démonstration de la formule de base

*         Rappel de la formule pour n-1, n et n+1.

4 Sn-1     =       (n - 1)²        (n)²

4 Sn       =       (n)²             (n + 1)²

4 Sn+1         =       (n + 1)²       (n + 2)²      

*         Notre problème: supposant l'une des formules vraie, il faut démontrer la suivante.

Choix de la formule: on imagine aisément qu'il sera plus facile de passer de n-1 à n que de n à n+1, car dans ce dernier cas, interviendrait (n+2) sans doute plus difficile à manipuler.

*         La formule est vraie pour n = 1 et même, si cela ne vous convainc pas, elle l'est aussi avec n = 2.

4 S1 = 1² x 2 ² =  4  = 4 ( 13 )

4 S2 = 2² x 3 ² = 36 = 4 ( 13 + 23 )

*         Supposons la formule vraie pour n - 1 et calculons 4Sn

4 Sn =

4 (Sn-1 + n3 )

 

= (n - 1)² (n)² + 4n3

*         En développant

Et apparaît la formule en Sn

CQFD

 

= (n - 1)² (n)² + 4n . n²

= (n² - 2n + 1 – 4n ) n²

= (n + 1)² n²

 

 

 

Tableau donnant le total de la somme …

 

 … du carré de la somme des entiers successifs, et par là-même

de la somme des cubes des entiers successifs

 

Exemples de lecture

Dizaines 0 et Unités 3 =>  S3  = 13 + 23 + 33            =     36  = (1 + 2 + 3)2

Dizaines 1 et Unités 3 =>  S13 = 13 + 23 + … + 133 = 8 281 = (1 + 2 + … + 13)2

 

 

Unités

Dizaines

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

1

9

36

100

225

441

784

1296

2025

1.

3025

4356

6084

8281

11025

14400

18496

23409

29241

36100

2.

44100

53361

64009

76176

90000

105625

123201

142884

164836

189225

3.

216225

246016

278784

314721

354025

396900

443556

494209

549081

608400

4.

672400

741321

815409

894916

980100

1071225

1168561

1272384

1382976

1500625

5.

1625625

1758276

1898884

2047761

2205225

2371600

2547216

2732409

2927521

3132900

6.

3348900

3575881

3814209

4064256

4326400

4601025

4888521

5189284

5503716

5832225

7.

6175225

6533136

6906384

7295401

7700625

8122500

8561476

9018009

9492561

9985600

8.

10497600

11029041

11580409

12152196

12744900

13359025

13995081

14653584

15335056

16040025

9.

16769025

17522596

18301284

19105641

19936225

20793600

21678336

22591009

23532201

24502500

10.

25502500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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