NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Somme de puissances

Th de Pythagore

Th de Fermat-Wiles

Démonstration du théorème

Carré somme de cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Une belle suite d'identités

>>> Formules

>>> Illustration

>>> Démonstration muette

>>> Méthode d'Abu Bakr al-Karaji

>>> Démonstration par récurrence

>>> Valeurs

>>> Carré de somme = somme des cubes: consécutifs

>>> Idem non-consécutifs

>>> Cube de somme = somme des carrés

>>> Carré de somme = somme des carrés

>>> Cube de somme = somme des cubes

 

 

 

 

 

CARRÉ SOMME DE CUBES

Théorème de Nicomaque

 

Un mariage des carrés et des cubes.

Avec les nombres successifs.

C'est particulièrement joli!

Voir Carré = Somme de cubes / Somme de cubes consécutifs / Nicomaque

 

 Formules et exemples

13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2

36 = 6²

33 = (1 + 2 + 3)² – (1 + 2)²

27 = 36 – 9

Écriture informatique

Ce type de relations existe pour tous les cubes

 

 

Approche

 

Observation

9 = 3 x 3 = 13 + 23

 

Volume de la tour: 1 + 23

Hauteur de la tour: 3

Surface occupée par les cubes de la tour, mis à plat :

1 + 8 = 9 = 3²

 

Tous les cubes se rangent dans un carré dont le côté est égal à la hauteur de la tour. Ce cas n'est pas particulier. Il est généralisable à toutes les tours.

 

Tour n°

Hauteur

Volume

 

Surface

 

 

1

1

1

=

1

=

1

2

3

1 + 23

=

(1 + 2)²

=

9

3

6

1 + 23 + 33

=

(1 + 2 + 3)²

=

36

4

10

1 + 23 + 33 + 43

=

(1 + 2 + 3 + 4)²

=

100

5

15

1 + 23 + 33 + 43 + 53

=

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

=

225

 

 

 

 

 

 

n

n (n + 1)/2

1 + 23 + 33 + ... + n3

=

(1 + 2 + 3 + ... + n)²

 

 

  

 

 

Une belle suite d'égalités et une formule

Carrés

Cubes

Total

Voir Nombre 36 / Nombre 100

 

 

 

FORMULES

 

Somme cubes = carré

 

( 1 + 2 + 3 +  … + n )2   =  13 + 23 + 33 + … +  n3

 

 

La somme des cubes  des nombres successifs

est le carré de la somme de ces nombres

 

Rappel

(1 + 2 + 3 +  … + n )

= Somme des entiers successifs

= Nombres triangulaires

= 1/2 n (n + 1)

 

En remplaçant

S = ( 1 + 2 + 3 +  … + n )2

   =   {  1/2 n (n + 1)  

   =   1/4 {  n²(n + 1)²  }

 

Formule générique

 

S = ( 1 + 2 + 3 +  … + n )2

   =  13 + 23 + 33 + … +  n3

   = 1/4 (n4 + 2n3 + n2 )

   = 1/4 { n² (n+1)² }

   = Tn2

 

En résumé

 

Carré de la somme des nombres

= carré du nombre triangulaire = somme des cubes.

 

 

 

ILLUSTRATION

 

Premier regard sur le grand carré

 

Calcul de l'aire du grand carré

 

Second regard sur le grand carré

 

Calcul de l'aire de chaque équerre

 

 

 

Carré = somme cubes: démonstration muette

Chaque carré-diagonale k² est accompagne de k carrés latéraux formant le cube.

Pour k = 2 et 4, le carré est composé de deux rectangles k x k/2

Voir Brève 591

 

 Méthode d'Abu Bakr al-Karaji (vers 1019)

La figure permet d'établir une formule de récurrence reliant le carré de la somme S²(n) au carré de la somme S²(n-1) + n3.

Ici: (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

   = (1 + 2 + 3 + 4)²     + 53

En reprenant la même formule pour n décroisant, on a successivement:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)²  =

 

 

(1 + 2 + 3 + 4)²     + 53

 

(1 + 2 + 3 )² +   43 + 53

 

(1 + 2)²  +  33 + 43 + 53

 

(1 )² + 23 + 33 + 43 + 53

 

  13  + 23 + 33 + 43 + 53

 On pourrait, évidemment, reprendre forme récurrent pour tout n.

 

Cube = Différence de carrés

La relation de récurrence permet d'établir cette relation:

 

Par exemple:

33 =  (1 + 2 + 3)² – (1 + 2)²

= 27 = 6² – 3² = 36 – 9

 

ou encore (dernière ligne):

203 = (1+2+…+20)² (1+2+…+19)²

= 8 000 = 210² 190²

= 44 100 – 36 100

 

Notez que la même relation permet de définir d'autres égalités, comme:

 

Ex: 43 + 33 = (1+2+3+4)² – (1+2)²

                    = 64 + 27 = 100 – 9 = 91

Voir Exemple complet avec 216 dans l'en-tête

 

Voir Cube = Différence de carrés / Nombre 216 / Nombre 1000 / Brève 573

 

 

Démonstration par récurrence

Valeur de la formule pour n= 1

 

 

13

=

On suppose l'égalité exacte

 

 

13 + 23 + 33 + ... + n3

=

=

(1 + 2 + 3 + ... + n )²

{ n (n + 1) / 2 

On ajoute (n+1)3 de chaque côté

 

 

13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n+1)3

=

=

(n (n+1)/2)² + (n+1)3

 ( (n+1) (n+2) / 2 )²

 

Voir Détail du calcul

 On retombe sur la formule pour n+1

=

(1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1)

Conclusion:    On a démontré que:

si la relation est vraie pour n ,

elle l'est aussi pour  n+1

Or,  elle est vraie

pour n = 1

Donc

Elle est donc toujours vraie

Voir Démonstration par récurrence

 

Détail du calcul

 

Démonstration de la formule de base

*         Rappel de la formule pour n-1, n et n+1.

4 Sn-1     =       (n - 1)²        (n)²

4 Sn       =       (n)²             (n + 1)²

4 Sn+1         =       (n + 1)²       (n + 2)²      

*         Notre problème: supposant l'une des formules vraie, il faut démontrer la suivante.

Choix de la formule: on imagine aisément qu'il sera plus facile de passer de n-1 à n que de n à n+1, car dans ce dernier cas, interviendrait (n+2) sans doute plus difficile à manipuler.

*         La formule est vraie pour n = 1 et même, si cela ne vous convainc pas, elle l'est aussi avec n = 2.

4 S1 = 1² x 2 ² =  4  = 4 ( 13 )

4 S2 = 2² x 3 ² = 36 = 4 ( 13 + 23 )

*         Supposons la formule vraie pour n - 1 et calculons 4Sn

4 Sn =

4 (Sn-1 + n3 )

 

= (n - 1)² (n)² + 4n3

*         En développant

Et apparaît la formule en Sn

CQFD

 

= (n - 1)² (n)² + 4n . n²

= (n² - 2n + 1 – 4n ) n²

= (n + 1)² n²

 

 

 

Tableau donnant le total de la somme …

 

 … du carré de la somme des entiers successifs, et par là-même

de la somme des cubes des entiers successifs

 

Exemples de lecture

Dizaines 0 et Unités 3 =>  S3  = 13 + 23 + 33            =     36  = (1 + 2 + 3)2

Dizaines 1 et Unités 3 =>  S13 = 13 + 23 + … + 133 = 8 281 = (1 + 2 + … + 13)2

 

 

Unités

Dizaines

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

1

9

36

100

225

441

784

1296

2025

1.

3025

4356

6084

8281

11025

14400

18496

23409

29241

36100

2.

44100

53361

64009

76176

90000

105625

123201

142884

164836

189225

3.

216225

246016

278784

314721

354025

396900

443556

494209

549081

608400

4.

672400

741321

815409

894916

980100

1071225

1168561

1272384

1382976

1500625

5.

1625625

1758276

1898884

2047761

2205225

2371600

2547216

2732409

2927521

3132900

6.

3348900

3575881

3814209

4064256

4326400

4601025

4888521

5189284

5503716

5832225

7.

6175225

6533136

6906384

7295401

7700625

8122500

8561476

9018009

9492561

9985600

8.

10497600

11029041

11580409

12152196

12744900

13359025

13995081

14653584

15335056

16040025

9.

16769025

17522596

18301284

19105641

19936225

20793600

21678336

22591009

23532201

24502500

10.

25502500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Carré de somme = somme des cubes

Nombres consécutifs de 1 à n

Toujours égalité comme vu ci-dessus

(1 + 2)2 = 13 + 23 = 9

Nombres consécutifs de k à n

Aucune égalité

(3 + 4 + 5)2 = 289

alors que

33 + 43 + 53 = 216

Quantité de termes différente avec même nombre de départ

Aucune égalité connue

(3 + 4)2 = 49

alors que

33 + 43 + 53 = 216

Quantité de termes différente avec nombre de départ différents

Infinité d'égalités avec souvent plusieurs formes du carré

(4 + 5 + … + 20)2

= (22 + 23 + … + 29)2

= (67 + 68 + 69)2

= 233 + 243 +253

= 41 616

 

Suite sur tableau ci-dessous

 

 

Carré de somme de consécutifs =  somme de cubes consécutifs

 

Égalité recherchée

S = (n + n+1 + … + n+k)2 = m3 + (m+1)3 +…+ (m+h)3

Exemple de lecture

S = 41 616 = 2042 =

 (4 + 5 + … + 20)2 = (22 + 23 + … + 29)2 = (67 + 68 + 69)2

= 233 + 243 +253

Table pour n, k, m, h jusqu'à 100

DicoNombre: 204/ 312 / 315 / 323 / 504

Merci à  Soufiane D.O.

 

 

Carré de somme =  somme de cubes (non consécutifs)

On lâche la contrainte en cherchant des sommes avec de nombres parmi les nombres de 1 à n.

Les solutions sont en nombre infini.

Exemples

9 = 3² = 13 + 23

36 = 6² = (1+5)² = (2+4)²  = (1+2+3)² = 13 + 23 + 33

64 = 8² = (1+7)² = (2+6)² = (3+5)² = (1+2+5)² = (1+3+4)² = 43

Explications

 

Cas général: somme des cubes consécutifs = carré

Pour toutes les sommes S des cubes de 1 à n consécutifs, on aura un carré n² de la somme des mêmes nombres (propriétés vue ci-dessus, notée en rouge)).

Toutes les partitions de n avec nombres distincts sont également éligibles (notées en bleu)

 

Cas particulier: somme de nombres au cube = carré

Il existe des cas de nombres carrés avec un cube (comme 4) ou une somme de cubes (comme 13 + 23 + 43 + 63 = 289 = 17²).

Toutes les partitions de la racine carrée avec nombres distincts sont éligibles.

 

Exemple pour 289 = 17²

17² = (7+10)² = (8+9)² = (1+6+10)² = (1+7+9)² = (2+5+10)² = (2+6+9)² ) = (2+7+8)² =  (3+4+10)² = (3+5+9)² = 3+6+8)² = (4+5+8)² = (4+6+7)²
= 13 + 23 + 43 + 63

 

Table

 

En jaune les cas réguliers de sommes de cubes consécutifs (= un carré)

Les autres, cas où une somme de cubes non-consécutif est égale à un carré.

 

Exemples de lecture

13 + 23 = 9 = 3²

43 + 83 = 576 = 24²

 

Rappel

Toutes les partitions en nombres distincts (ou non) de la racine carrée conduit à l'égalité: carré de somme = somme des cubes.

Voir Carrés = somme de cubes

 

 

Autres recherches

Cube de somme de consécutifs =  somme de carrés consécutifs

 

Égalité recherchée

S = (n + n+1 + … + n+k)3 = m2 + (m+1)2 +…+ (m+h)2

Exemple de lecture

S = 103 823 = 473

= (23 + 24)3 = 222 + 232 + … + 682

Table pour n, k, m, h jusqu'à 100

DicoNombre: 47 / 65

 

Carré de somme de consécutifs =  somme de carrés consécutifs

 

Égalité recherchée

S = (n + n+1 + … + n+k)2 = m2 + (m+1)2 +…+ (m+h)2

Exemple de lecture

S = 5 929 = 772

= (8 + 9 + … + 14)3 = 182 + 192 + … + 282

Table pour n, k, m, h jusqu'à 100

DicoNombre:  77

 

Cube de somme de consécutifs =  somme de cubes consécutifs

 

Égalité recherchée

S = (n + n+1 + … + n+k)3 = m3 + (m+1)3 +…+ (m+h)3

Exemple de lecture

S = 8 0000 = 203

= (2 + 3 + … + 6)3 = 113 + 123 + 133 + 143

Table pour n, k, m, h jusqu'à 100

DicoNombre:  20

 

 

 

 

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Sites

*      Somme ces n premiers cubes – Wikipédia

*      Sum of Cubes is Square of Sum - Edward Barbeau, Samer Seraj – 2013

*      Al-Karaji: Calcul de polynômes – Wikipédia

*      Sums of Powers of Positive Integers –Janet Beery

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/CarSCube.htm