NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 23/05/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Théorie des Nombres

 

Débutants

Nombres figurés

Nombres figurés

 

Glossaire

Nombres figurés

 

 

INDEX

 

Sommaire

 

Nombres figurés

 

Carrés

 

Accueil

Pair et Impair

Carrés

Nombres géométriques

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres TRIANGULAIRES

>>> Nombres PRONIQUES

>>> Nombres CARRÉS

>>> RELATIONS

>>> Nombres CUBIQUES

>>> Théorèmes sur les nombres figurés

 

 

                                                                                                                                                 

 

 

 

Nombres FIGURÉS

ou GÉOMÉTRIQUES

ou POLYGONAUX

 

Nombres qui se prêtent à une représentation géométrique.

Nom officiel; nombres figurés (figurate numbers); on trouve aussi nombres géométriques. Les nombres polygonaux sont les nombres dont la figure géométrique de représentation est un polygone, généralement régulier. Les nombres polyèdraux sont représentés par des figures dans l'espace

Quantité des propriétés de ces nombres étaient connues des Grecs et, en particulier de Pythagore.

 

 

Cool !  Je suis débutant

Voir 100 est un phénomène géométrique / Liste des noms des nombres figurés

 

 

NOMBRES TRIANGULAIRES

 

Quantité de points disposés en forme de triangle équilatéral.

 

Tn = {1, 3, 6, 10, 15, 21 …}

 

Un nombre triangulaire Tn est égal à la somme des n premiers nombres.

 

Démonstration

Voir Démonstration par récurrence

 

 

 

Illustration

 

T1 = 1      T2 = 3           T3 = 6  

 

Observez les boules ajoutées

à chaque étape:

  

   T1 =  1

   T2 =  1     + 2

   T3 =  1     + 2        + 3  

 

Voir Tables de nombre triangulaires

 

 

 

NOMBRES PRONIQUES

Aussi appelé "oblongs". Quantité de points dans un rectangle de côté n et n+1.

 

On = {2, 6, 12, 20, 30, 42 …}

 

Un nombre pronique On est égal à la somme des n premiers nombres pairs.

 

Démonstration

Autre propriété

Pronique = 2 x Triangulaires

 

On = Tn + Tn

 

 

Illustration

 

O1 = 1x2      O2 = 2x3     O3 = 3x4  

Observez les boules ajoutées

à chaque étape:

   O1 =  2

   O2 =  2     + 4

   O3 =  2     + 4        + 6  

 

Somme de deux triangulaires

 

 

 

NOMBRES CARRÉS

 

Un nombre carré, "square number" en anglais, est la quantité de points disposés dans un carré (ou un losange)

 

Sn = {1, 4, 9, 16, 25, 36 …}

 

Un nombre carré Sn est égal à la somme des n premiers nombres impairs.

 

Démonstration

L'illustration géométrique parle d'elle-même:

1 + 3 + 5 +… + n =

OK! Mais je voudrais une démonstration

 

 

Illustration

 

S1 = 1x1      S2 = 2x2     S3 = 3x3  

Observez les boules ajoutées

à chaque étape:

   S1 =  1

   S2 =  1     + 3

   S3 =  1     + 3        + 5  

 

Un nombre carré est égal à la somme de deux triangulaires: son homologue et le précédent.

 

Démonstration

Tn + Tn – 1  = 1/2 { n(n+1) + (n–1)n }

                = 1/2 { n² + n   + n² – n  }

                = = Sn

 

 

Sn = Tn + Tn-1

 

n

1

2

3

4

5

T

1

3

6

10

15

S

1

4

9

16

25

 

6 + 1 0 = 16

 

Un nombre carré (n²) est égal à la somme du carré précédent (n–1)² et des deux nombres correspondants n et (n–1).

 

Démonstration

(n – 1)² + n + (n – 1)

= (n² – 2n + 1) + n + (n – 1)

= n²  

 

 

Sn = Sn–1 + n + (n–1)

 

n

1

2

3

4

S

1

4

9

16

 

9 + 3 + 4 = 16

 

Un nombre carré est égal à huit fois un triangulaire plus 1.

 

Démonstration

8 . Tn + 1 =  8 { n(n+1) / 2 } + 1

                =  4 { n² + n } + 1

                =  4n² + 4n  + 1

                = (2n + 1)² = S2n+1

 

S2n+1 = 8 . Tn +  1

 

 

8 x 3 + 1 = 25

 

 

 

 

Relations

 

Carré, triangulaire et pronique sont liés par les relations indiquées.

 

 Démonstration

T2n = 1/2 { (2n)(2n+1) } = 2n² + n

On    = n(n+1) = n² + n

T2n+1 - On  = n² = Sn

 

T2n+1 = 1/2 { (2n+1)(2n+2) } = 2n² + 3n + 1

On    = n(n+1) = n² + n

T2n+1 - On  = n² + 2n + 1 = (n+1)² = Sn+1

 

 

Sn    = T2n    – On

Sn+1 = T2n+1 – On

 

Tableau exprimant cette relation

 

10 = 4 + 6     T4 = S2 + O2

15 = 9 + 6     T5 = S3 + O2

 

 

Carrés et proniques sont liés par les relations indiquées.

S2n+1 = 2 On + Sn + Sn+1

S2n   = 2 Sn + On + On-1

Illustration avec la

 

Table de multiplication ordinaire.

 

 

La diagonale donne les carrés et de chaque côté du carré les proniques.

 

S2x2+1 = 25 =  6 + 6 + 4 + 9

 

 

S2x3 = 36 = 2 x 9 + 6 + 12

 

 

 

NOMBRES CUBIQUES

 

Quantité de points disposés dans un cube.

 

1, 8, 27, 64, 125, 216 …

 

On peut calculer les cubes à partir des nombres impairs.

 

 

 

On écrit la suite des nombres impairs. Chaque ligne en contient une quantité égale au nombre objet du calcul du cube. Ainsi 33 est la somme de trois impairs.

 

 

 

 

Théorèmes sur les nombres figurés

Entier

Somme de 3 triangulaires, de 4 carrés, de 5 pentagonaux, etc.

>>>

Polygonaux

En progression arithmétique

>>>

Polygonaux

Produit en croix

>>>

Pronique

Somme des nombres pairs; il est pair

>>>

Pronique

Somme des inverses tend vers 1

>>>

Triangulaire

Somme des entiers

>>>

Triangulaire

Demi-pronique

>>>

Triangulaire

Un sur deux est hexagonal; ceux de rang impair

>>>

Triangulaire centré

Carré

>>>

Carré

Somme de deux triangulaires

>>>

>>>

Carré

Somme des impairs

>>>

Carré centré

Quatre fois triangulaire  plus un

>>>

Oblong

Somme des pairs

>>>

 

 

 

Pentagonal

Tiers de triangulaire

 

Hexagonal

Aussi triangulaire

 

Heptagonal centré

Sept fois triangulaire plus un

>>>

 

 

 

 

 

Retour

Suite

*         Carrés

*         Nombres géométriques (avancé)

En savoir plus

*         Nombres géométriquesFamiliarisation

*         Nombre figurés - Valeurs  et Formules

*         Théorie des nombresIndex

Références

*         DicoMot

*         DicoNombre

*         Glossaire mathématique

Voir

*         CalculIndex

*           Conjecture de Goldbach

*         Jeux et puzzlesIndex

*         Nombres modulo

*         Nombres par leur petit nom

*         Systématique Index

*           Théorie des NombresIndex

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/NbGeom.htm