NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Symétrie

 

 

INDEX

 

Structures algébriques

 

Introduction

Triangles et carrés

Groupe – Définition

Symétrie

1D - Bande

2D - Papier peint

3D - Cristallographie

 

Sommaire de cette page

>>> Approche – La ronde enfantine

>>> Symétrie

>>> Les 4 opérations fondamentales

>>> Historique

 

 

 

 

 SYMÉTRIES

*    Symétrie fait penser à image dans un miroir

ou alors aux deux parties d'un visage ou d'un museau (voir illustration à droite).

 

*    Les mathématiciens qui ont le goût de la généralisation y voient beaucoup plus.

 

*    Les papiers peints et les frises de décoration sont une bonne approche des symétries.

*    Savez-vous que le nombre de types de décorations est limité

à   7 pour les frises et,

à 17 pour le papier peint ?

 

*    La cristallographie s'intéresse à toutes les symétries possibles en 3 dimensions.

 

http://www.shelterpub.com/_symmetry_online/tiger_199W.gif

 

 

 

 

 

 

Approche – La ronde enfantine

 

Les deux combinaisons d'opérations conduisent au même résultat.

 

Un pas en avant

Un tour complet

Un pas en avant

Un tour complet

Un pas en avant

Un pas en avant

 

 

 

Les deux combinaisons d'opérations NE conduisent PAS au même résultat.

 

Un pas en avant

Un demi-tour complet

Un pas en avant

Un demi-tour complet

Un pas en avant

Un pas en avant

 

 

 

Symétries

 

*    Avec des mouvements de base de cette sorte, on déplace le point rouge.

*    On peut faire la même chose avec des motifs de papier peint. Les dimensions du motif sont conservées. On le transforme par déplacement (translation), par rotation, par utilisation de l'image miroir, etc.

*    Ces mouvements de base peuvent être effectuées séparément ou en combinaison. Le nombre de combinaisons est limité. Certaines redonnent les mêmes résultats.

 

*    On trouve donc des catégories de résultats, dits groupes de symétries.


 
Le mot symétrie est utilisé au sens mathématique.

Ce terme regroupe toutes les isométries possibles

et pas simplement une symétrie de type miroir.

 

 

 

 

 

-Ý- LES 4 OPÉRATIONS FONDAMENTALES

Translation

§  Répétition du motif

Réflexion

§  Motif vu dans un miroir vertical

http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/symmetry/images/f1.gif

http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/symmetry/images/f2.gif

http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/symmetry/images/f3.gif

http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/symmetry/images/f4.gif

Réflexion glissée 1

§  Motif vu dans un miroir horizontal, et décalé

Rotation

§  Motif après un demi-tour

 

Note 1  La réflexion est celle obtenue avec un miroir horizontal: le F image serait en bas du F de départ
En fait, on le fait glisser pour le remettre dans la bande de la frise

 

 

Anglais

Translation

Reflection

Glide reflection

Rotation

 

 

-Ý- HISTORIQUE

§  Les décorations sur les bâtiments, les tissus …existent depuis longtemps

§  Les motifs et leurs dispositions ont été élaborés au fil du temps

§  C'est la cristallographie qui a conduit à déterminer toutes les manières possibles de répéter des motifs sur 3 dimensions

§  Ces études commencèrent au XIXe siècle

§  1891 : E.S. Federov donne une liste de 230 formes possibles en 3D et 17 en 2D

§  1935: H.J. Woods publie une étude sur les symétries des motifs à couleurs des textiles

§  1927: G. Polya et A. Speiser, mathématiciens, rapprochent les types cristallographiques et groupes de symétries

§  1952: H. Weyl publie un ouvrage devenu un classique sur les symétries

§  1960: développements mathématiques sur la symétrie

§  1981: J.D. Jarratt et R.L.E. Schwarzenberger publient « Colored frieze groups », et démontrent que le nombre de bandes différentes est 7 pour n impair, 17 lorsque n =- 2 (mod 4), et 19 pour n =- 0 (mod 4).

§  1987: H.S.M. Coxeter, dans « A simpler introduction to colored symmetry », donne une preuve simple de ces théorèmes

 

 

 

 

 

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Livre

*           Mathématiques d'ailleurs - Marcia Ascher

Sites

*           The 17 Wallpaper Groups - de Xah Lee, spécialiste des groupes de symétries

*           17 Wall Paper Symmetry Groups to Create a Regular Division of the Plane   - Hans Kuiper's Computer Art Pictures

*           Symmetry and Tessellations - Plus de 150 sites sur la symétrie et le pavage

*           Reflection in water  -Animations

*           Tour of Symmetry Groups - Éducation & exercices

*           About Symmetry and Pattern - Introduction à un exposé sur les tapis

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Symetrie.htm