Approche

 

*        Chaque fois que nous parlons d'un appartement, d'une maison, d'un manoir, voire même d'une caravane, un certains nombre de propriétés viennent à notre esprit: ce sont des espaces habitables.

 

Ils ont un toit, des murs, des chambres, des sanitaires, de l'eau, l'électricité …

 

*        En mathématique, chaque fois que l'on veut exprimer le fait que, dans une transformation, les distances sont conservées, on parle d'isométrie, et cela recouvre toute une panoplie de propriétés.

 

On dit parfois que les figures sont égales; il vaut mieux dire isométriques.

 

 

 

Espaces habitables

 

 

 

 

 

 

 

Deux figures isométriques

Les distances sont conservées

Les formes sont conservées

Voir Isométrie – Débutant  / Notion d'égalité

 

 

 

Définition

 

*        On appelle isométrie toute application du plan dans lui-même (ou de l'espace dans lui-même)  qui conserve les distances.

Quels que soient deux points A et B et leurs images A' et B', alors d(A', B') = d(A, B).

 

*        Les transformations suivantes sont des isométries:

la transformation identité,

la translation,

la rotation,

la symétrie orthogonale.

 

Propriétés

 

*        Par une isométrie

*    l'image d'une droite est une droite;

*    l'image d'un plan est un plan;

*    l'image d'un cercle est un cercle;

*    etc.

*        Une isométrie conserve

*    les distances, les aires, les volumes;

*    le barycentre;

*    le produit scalaire;

*    les angles, le parallélisme, l'orthogonalité;

*    etc.

*        En fait, une isométrie conserve les angles en valeur absolue.

 

Si l'angle orienté est conservé, il s'agit d'un déplacement; cas de la translation et de la rotation.

Les figures sont alors directement isométriques ou congruentes ou directement égales (à éviter).

 

Si l'angle orienté change de signe, il s'agit d'un antidéplacement; cas de la symétrie orthogonale.

Les figures sont inversement isométriques ou inversement égales (à éviter).

 

 

 

 

Famille

 

*        Toute isométrie est une application affine.

*        L'application réciproque (qui fait repasser de l'image vers la figure initiale) d'une isométrie est une isométrie.

*        La composée de deux isométries est une isométrie.

*    La composée de deux déplacements est un déplacement;

*    La composée de deux antidéplacements est un déplacement;

*      La composée d'un déplacement et un antidéplacement est un antidéplacement.

*        Toute isométrie est une bijection, donc une transformation.

*        L'ensemble des isométries muni d'une loi de composition des applications forme un groupe.

*        Les symétries orthogonales sont des isométries involutives (appliquée deux fois de suite, on retombe sur la figure d'origine).

*        Toute isométrie peut être décomposée en le produit d'au plus trois symétries orthogonales par rapport à des droites distinctes.

 

 

 

Anglais

 

*        If P and Q are points in the plane, |PQ| denotes the distance between P and Q.

*        An isometry is a transformation of the plane that preserves the distances between points.

*        It is a transformation with the property that, if P and Q are mapped to P' and Q', then P'Q' = PQ.

Examples of isometries are translations, rotations and reflections.

*        Two figures are congruent if there is an isometry that maps one onto the other.

 

En savoir plus

Voir suite en cliquant sur les mots de l'en-tête

 

*        GéométrieIndex

*        Égalité

*        Éléments de géométrie

*        Frises

*        Similitude

*        DicoMot