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NOMBRES -
Curiosités, théorie et us Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 19/03/2009 |
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-Ý- Rubrique: Symétries |
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Groupes |
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Somm >>> APPROCHE pour
les b >>> ISOMÉTRIES >>> GROUPES DE
SYMÉTRIE |
P ·
Méandres |
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SYMÉTRIES
des FRISES ou des bandes décorées § Prendre un motif § Essayez de le reproduire
sur la bande § En le déplaçant, en le
retournant … Vous ne trouverez que 7 possibilités § Et, même les combinaisons
de ces opérations seront l'une des 7 opérations |
Voir Nombre 7
-Ý- APPROCHE pour les b
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§ On considère un motif qui
se répète sur une bande § Sans changer ni de forme
ni de taille § Selon le mouvement donné § Les mouvements donnés
s'appellent les isométries (car toutes les mesures restent
identiques) |
Exemples
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-Ý- ISOMÉTRIES
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§
TRANSLATION |
Glissement
du motif |
d'un module dont il faut préciser la longueur |
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§
RÉFLEXION
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Motif
vu d |
par rapport à un axe de symétrie: horizontale, verticale … |
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§
ROTATION
|
Pivotement
du motif |
par rapport à un axe de rotation: quart de tour, demi-tour, … |
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§ RÉFLEXION GLISSÉE |
Motif
sép |
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Exemple de réfléchi glissé
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Combinaisons
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§ Ces mouvements de base
peuvent être effectuées séparément ou en combinaison § Le nombre de combinaisons
est limité § Certaines redonnent les
mêmes résultats § On trouve donc des
catégories de résultats, dits groupes de symétries § Symétrie est utilisé au sens
mathématique: ce terme regroupe toutes les isométries possibles et pas
simplement une symétrie de type miroir |
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§ Il y a sept groupes de symétries et seulement sept
pour tout modèle de bande décorée § Chacun a les propriétés
mathématiques d'un groupe |
-Ý- GROUPES DE SYMÉTRIE
Noms
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§ Une notation russe devenue
quasi-internationale est utilisée en cristallographie § Chaque groupe de symétrie
est baptisé par 4 caractères § Les lettres utilisées
définissent le mouvement |
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o premier caractère |
p |
translation |
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o deuxième |
m |
symétrie |
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1 |
pas
de symétrie |
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o troisième |
m |
si
la réflexion horizontale est une symétrie du motif |
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a |
si
la réflexion glissée est une symétrie |
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1 |
dans
les autre cas |
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o quatrième |
2 |
rotation
e 180° |
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1 |
sinon |
Les 7 groupes
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Type |
Nom |
Exemple |
Autre |
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§ Translation |
p111 |
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§ Réflexion verticale |
pm11 |
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§ Réflexion glissée |
p1a1 |
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§ Rotation de 180° |
p112 |
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§ Rotation et réflexion
verticale |
pma2 |
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§ Réflexion horizontale |
p1m1 |
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§ Réflexion horizontale et
verticale |
pmm2 |
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Avec les couleurs
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§ En introduisant les
variations avec les couleurs et avec une certaine logique (coordination) § On obtient 24 groupes de
symétries o les 7 d'origine o et 17 avec des inversions
de couleurs sur les groupes d'origine |
Exemple pour la translation
: deux cas seulement
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Type |
Nom |
Exemple |
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§ Translation |
p111
- 1 |
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p111
- 2 |
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On ne considère que le cas d'un
changement de couleur.
Quelles que soient ces
couleurs