NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Général

GROUPES

 

Glossaire

Symétrie

 

 

INDEX

 

Structures algébriques

 

Introduction

Triangles et carrés

Groupe – Définition

Symétrie

1D - Bande

2D - Papier peint

3D - Cristallographie

 

Sommaire de cette page

>>> Approche pour les bandes

>>> Isométries

>>> Groupes de symétrie

>>> Les sept groupes

>>> Avec couleurs

 

                                                                                                                            

 

 

 

SYMÉTRIES des FRISES

ou des bandes décorées

 

Prendre un motif.

Essayez de le reproduire sur la bande.

En le déplaçant, en le retournant …

Vous ne trouverez que 7 possibilités.

Et, même les combinaisons de ces opérations seront l'une des 7 opérations.

Voir Nombre 7 / Dallage

 

 

APPROCHE pour les bandes

 

On considère un motif qui se répète sur une bande;

Sans changer ni de forme ni de taille;

Selon le mouvement donné au motif, on obtient différents modèles de frises.

Les mouvements (transformations) donnés s'appellent les isométries (car toutes les mesures restent identiques)
 

Exemples

 

 

 

 

ISOMÉTRIES – Quatre types

TRANSLATION

Glissement du motif

d'un module dont il faut préciser la longueur.

RÉFLEXION

Motif vu dans un miroir

par rapport à un axe de symétrie:

horizontale, verticale …

ROTATION

Pivotement du motif

par rapport à un axe de rotation:

quart de tour, demi-tour, …

RÉFLEXION GLISSÉE

 

Motif séparé en morceaux, certains sont réfléchis et translatés.

 

Combinaisons

 

 

Ces mouvements de base peuvent être effectuées séparément ou en combinaison. Le nombre de combinaisons est limité. Certaines redonnent les mêmes résultats. On trouve donc des catégories de résultats, dits groupes de symétries.

 

Symétrie est utilisé au sens mathématique: ce terme regroupe toutes les isométries possibles et pas simplement une symétrie de type miroir.

 

Il y a sept groupes de symétries et seulement sept pour tout modèle de bande décorée. Chacun a les propriétés mathématiques d'un groupe.

 

Voir Quatre opérations fondamentales / Groupes et symétrie du triangle équilatéral

 

 

GROUPES DE SYMÉTRIE

Noms


Une notation russe devenue quasi-internationale est utilisée en cristallographie. Chaque groupe de symétrie est baptisé par quatre caractères. Les lettres utilisées définissent le mouvement.

 

 

 

Les sept groupes

 

 

 

Avec les couleurs

 

En introduisant les variations avec les couleurs et avec une certaine logique (coordination), on obtient 24 groupes de symétries: les sept d'origineet 17 avec des inversions de couleurs sur les groupes d'origine.

 

Exemple pour la translation : deux cas seulement

 


On ne considère que le cas d'un changement de couleur. Quelles que soient ces couleurs.

 

 

 

 

 

 

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