NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres premiers

 

Débutants

Identité

d'Euler

Répartition

 

Glossaire

Nombres

premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

En bref

Identité d'Euler

Fonction zêta d'Euler

F. de Möbius

Démo. de l'identité

Zêta de Riemann

Approches modernes

Hypothèse de Riemann

 

Sommaire de cette page

>>> Identité

>>> Produit en somme

>>> Prodigieux

>>> Conclusion

 

 

 

 

IDENTITÉ d'EULER

Démonstration

 

Un peu coriace mais se laisse comprendre.

Allons-y! Pas à pas.

 

 

 

 

IDENTITÉ

 

Formulation

 

 

 

Principe de la démonstration

*    La démonstration procède en deux étapes:

*       Transformer le produit infini en somme infinie, et

*       Comparer la nouvelle somme à la somme originelle.

 

 

 

PRODUIT EN SOMME

 

*      Le produit infini a pour facteur élémentaire =>

*      Et chacun de ces facteurs peut être décomposé en une somme infinie de termes.

 

*      Le produit initial est égal au produit de ces termes pour toutes les valeurs de pi premiers.

Voici les premiers facteurs ®

*      Il s'agit d'une multiplication monstrueuse.

*      Elle consiste à prendre un terme dans chaque ligne et de les multiplier entre eux:

*       Le premier terme du résultat sera 1 en prenant tous les 1 de la première colonne.

*       Le suivant sera 1/2s en prenant le 2e terme de la 1ère ligne et le premier de toutes les autres lignes.

*       Etc.

1 +

1

+…+

1

+…+

1

+…+

2s

2s . 3s

2s . 3s . 5s

 

1

+…+

1

+…+

22s . 3s . 5s

23s . 32s . 5s

 

*      Sympathique l'addition ! Mais qu'en faire?

 

*      Tentons un peu d'abstraction pour y voir plus clair.

Donnons une forme générique à chacun des termes T de la somme monstrueuse.

*      Valeur de T
En se souvenant que:

23 .33 = 8 . 27
          = 216 = 63 =  (2 .3)3

T = 2 a . 3 b . 5 c . 7 d

*      Nous arrivons au terme de la première étape.

*      Bien plus avancé?

*       On dispose d'une addition gigantesque en 1 / Ts

*       Qu'il s'agit maintenant de comparer à l'addition beaucoup plus simple en 1 / ns

*       Et si par hasard …

*      Les plus matheux voient venir le coup, j'en suis sûr.

 

 

 

PRODIGIEUX

*      Si vous regardez bien la multiplication monstrueuse vous pourrez trouver les valeurs successives des coefficients

*      En se souvenant que:

a 0 = 1

b 1 = b

a 0 . b1 = 1 . b = b

a = 1, b = 1, c = 1, d = 1 …

a = 2, b = 1, c = 1, d = 1 …

a = 5, b = 1, c = 1, d = 1 …

a = 2, b = 2, c = 1, d = 1 …

et même

a = 1, b = 0, c = 0, d = 0 …

a = 0, b = 1, c = 0, d = 0 …

*      On trouvera ainsi les valeurs de T successives.

*      Tous les entiers sont là sans exception et sans duplication.

T = { 20 , 21 , 31 , 51 ,

         21 . 31 , 22 . 31 ,

         21 . 32 . 51 ,

        

*      Ceci, en vertu du théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier est le produit unique de nombres premiers (facteurs)

*      T prenant la valeur de tous nombres entiers successifs est équivalent à n

CQFD

 

 

CONCLUSION

 

*      Le produit des nombres premiers, nombres à la répartition quasi-aléatoire a été transformé en une somme de nombres entiers qui eux sont répartis régulièrement.

 

*      La démonstration fait simplement appel à une division de polynôme et au théorème fondamental de l'arithmétique.

 

 

 

 

Suite

*    Approches modernes

Voir

*    Calcul et calcul mental

*    Divisibilité

*    EulerIndex 

*    GéométrieIndex 

*    Identités remarquables

*    Isopérimètre

*    Nombres premiers

*    Série Harmonique

*    Théorie des nombresIndex 

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