NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 14/12/2015

Débutants

Identité

d'Euler

Nombres premiers

Glossaire

Nombres

premiers

 

Répartition

 

 

 

Index des pages

Nombres premiers

 

>>> INDEX

 

 

En bref

Identité d'Euler

Hypothèse de Riemann

Débutant

Fonction zêta d'Euler

Zêta de Riemann

Démo. de l'identité

Approches modernes

Fonction de Möbius

 

Sommaire de cette page

>>>  Fonction de Riemann

>>>  Zéros

>>>  Historique

 


 

 

L'hypothèse de Riemann est la longitude des mathématiques. En la résolvant, on ouvre la perspective d'établir la carte des eaux brumeuses du vaste océan des nombres. Cela ne constituerait qu'une étape dans notre compréhension de ce secret de la Nature. Si seulement nous pouvions trouver le secret nous permettant de naviguer sur les nombres premiers, qui sait alors ce que nous trouverions au-delà, n'attendant que nous ?

Marcus du Sautoy

Voir Pensées & humour

 

 

 

HYPOTHÈSE DE RIEMANN

  

Une conjecture relativement simple, émise en 1859, il y a 150 ans et qui, depuis,  résiste aux plus chevronnées des mathématiciens.

Une rage sans pareille pour la démontrer car elle est sans doute la clé du mystère de la répartition des nombres premiers.

Le Graal des mathématiciens ?

 

On la nomme hypothèse de Riemann, plutôt que conjecture, pour signifier que l'on se situe au-delà de la simple "devinette" mathématique.

 

 

FONCTION DE RIEMANN

 

Formulation

 

 

 

*    L'étude de la fonction zêta complexe de Riemann montre qu'elle passe par la valeur zéro. Il existe:

*       des zéros triviaux (sans intérêt) comme -2, -4, -6 … et,

*       des zéros particuliers qui semblent s'aligner sur la droite des réels ½.

*    L'hypothèse ou conjecture de Riemann consiste à affirmer que tous les zéros non triviaux sont sur cette droite ½.

 

Note

*    La relation entre zêta et la distribution des nombres premiers n'est pas évidente. Elle nécessite l'introduction d'une fonction un peu complexe dite de Tchebychev.

Cette fonction à base de logarithmes donne approximativement la quantité de premiers et de leurs puissances inférieures à n.

 

 

 

ZÉROS

 

Non prouvée

*    Tous les zéros sont sur la droite 1/2

Le premier se trouve en
    1/2 + i . 14,13…

*    Toutes les valeurs imaginaires sont irrationnelles.

 

Prouvé

*    Tous les zéros sont situés dans une bande critique entre les parties réelles 0 et 1 (bande bleue).

*    En 1896, Hadamard et la Vallée Poussin indépendamment  donnent une démonstration du théorème des nombres premiers. Ils utilisent et avaient démontré que la droite 1 ne possède aucun zéro.

*    Les zéros sont symétriques par rapport à la droite 1/2, la droite critique.

*    Il existe une infinité de réels sur cette droite – Prouvé par Godfrey Hardy en 1915.

*    Au moins 1/3 des zéros sont sur cette droite.

*    En 1986, les calculs ont donnés plus de 1 500 000 zéros, tous situés sur la droite ½. Aujourd'hui, le milliard est dépassé

*    La vallée-Poussin en 1896, a trouvé toute une zone de la bande critique sans zéro (surface jaune)

 

 

 

 

 

 

 

 

*    D’autre part, Hardy et Littlewood avait démontré dans les années 1920 une région sans zéro de la forme sigma >1 – k ln ln t / ln t

*    Et Vinogradov, dans les années trente, avait obtenu une région sans zéro de la forme sigma > 1 – k / (ln t)3/4

 Merci à Claude P.

Anglais: Critical line and critical strip

 

 

HISTORIQUE

 

Fonctions spéciales 

*    La fonction zêta joue un rôle important en recherches mathématiques.

Elle constitue un premier lien entre arithmétique et analyse.

Elle a été utilisée par Euler, Dirichlet, Tchebychev et Riemann pour étudier la distribution des nombres premiers.

*    La fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet sont des outils analytiques puissants pour étudier la répartition des nombres premiers.

Il semble que ces fonctions soient aussi révélatrices des propriétés les plus cachées de la théorie des nombres.

Elles sont loin d'être bien comprises!

 

En 1737

*    Leonhard Euler (1707-1783) étudie la fonction zêta et découvre l'identité d'Euler entre les nombres premiers et les nombres entiers.

 

En 1859

*    Georg Riemann (1826-1866) émet son hypothèse.
(Même année que la publication par Darwin sur l'origine des espèces).

 

En 1900

*    David Hilbert (1862-1943) place l'hypothèse de Riemann parmi les grands défis mathématiques du XXe siècle (n°8).

 

Depuis 1920,

*    La théorie des nombres et la géométrie algébrique tendent à être unifiées.

Ces fonctions ne sont peut être que les éléments fragmentaires d'une théorie plus générale à découvrir.

Dedekind a généralisé ces fonctions et relations aux idéaux entiers et idéaux premiers.

 

En1927

*    L'Allemand Edmund Landau a supposé la conjecture de Riemann vraie, et a montré qu'un grand nombre de conclusions en seraient tirées.

 

En 1935

*    Une centaine de zéros sont connus grâce au calcul automatique: E. Titchmarsh.

*    Puis rapidement, on en connaît des milliers.

 

Pourcentage sur la droite critique

 

En 1942, Selberg

Il démontre qu'au moins une certaine fraction de zéros est sur la droite ½.

Mais sa fraction est inférieure à 1%.

 

En 1974, Norman Levinson

Il fait passer cette fraction à 1/3.

 

En 1989, Conrey

Il la fait monter à 40%

Nous en sommes là!

 

 

Approches modernes

*    Un autre angle d'attaque consiste à reporter le problème:

*       trouver une théorie dont découlerait automatiquement la preuve de la conjecture de Riemann.

*       c'est l'approche avec les fonctions de Möbius.

Suite en Approches modernes

  

En 2000, le Clay Mathematics Institute of Cambridge (Massachusetts)

*    Cet Institut offre 1 million de dollars  à quiconque pourra apporter une réponse à l'hypothèse de Riemann.

 

 

 


 

Suite

*    Zêta de Riemann

*    Démonstration de l'identité d'Euler

*    Approches modernes de la démonstration

*    Fonction multiplicative lambda de Liouville

Voir

*    Calcul et calcul mental

*    Divisibilité

*    EulerIndex 

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*    Série Harmonique

*    Théorie des nombresIndex 

Site

*    Edmund Georg Hermann Landau

Livres

La symphonie des nombres premiers – Marcus du Sautoy – Points Science (Héloïse d'Ormesson) – 2005.
Superbe! Livre de poche de 500 pages qui se lit comme un roman. Raconte toute cette recherche pour prouver la conjecture de Riemann tout en faisant quelques détours mathématiques intéressants. Appréciable aussi, l'atmosphère du monde des chercheurs en mathématiques. 

 

*    Karl Sabbagh – Dr. Riemann's zeros

The search for the $ 1 million solution to the greatest problem in mathematics

– Atlantic book London – 2003

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Riemann.htm