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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 05/02/2010

 

  -Ý- RUBRIQUE: EULER

§  Constante

§  Totient

§  Fonction j d'Euler

 

Sommaire de cette page

 

>>> APPROCHE

>>> CONSTANTE D'EULER - MASCHERONI

>>> INTERPRÉTATION - ILLUSTRATION

>>> QUANTITÉ DE DIVISEURS

>>> RELATIONS AVEC DZÊTA & PREMIERS

>>> GÉNÉRALISATION DE LA FONCTION GAMMA

 

 

Pages voisines

 

§  Diviseurs

§  Quantité de diviseurs

§  Premiers entre eux

§  Index Euler

§  Théorèmes

§  Identités

§  Constantes de l'univers

§  Nombres utiles à connaître

 

CONSTANTE D'EULER-MASCHERONI

 

désignée par g  (gamma)

= 0,57721566...

 

Calculée par Euler avec 16 décimales

Nommée gamma par lui en 1781

 

Index EULER voir >>>

 

 

 

 

-Ý-   APPROCHE

 

 

Idée 

 

§  On s'intéresse à la suite des fractions 1/1, 1/2, 1/3....1/n

Ø  Cette suite est connue sous le nom de série harmonique:

Ø  On calcule la somme

§  On veut la caractériser par une fonction connue

Ø  On arrive vite sur la fonction logarithmique: ln (n)

 

Allure des deux fonctions

 

  • On constate un écart qui semble être constant !
  • Il est inférieur à 1 

 

 

 

 

 

 

Comparaison numérique

n

 

S(n)

ln(n)

Delta

1

 

1

0

1

2

 

1,50

0,70

0,81

3

 

1,83

1,10

0,73

4

 

2,08

1,39

0,69

5

 

2,28

1,61

0,67

6

 

2,45

1,79

0,66

7

 

2,59

1,95

0,64

8

 

2,72

2,08

0,64

9

 

2,83

2,20

0,63

10

 

2,93

2,30

0,63

100

 

5,16

4,61

0,55

 1 000

 

7,48

6,90

0,5777

5 000

 

9,09

8,51

0,5773

10 000

 

9,78

9,21

0,57726

100 000

 

12,09

11,51

0,57722

¥

 

 

 

0,57721566...

 

 

  • En effet, l'écart converge vers une limite: 0, 577 ...
  • S(n) - ln(n) = Constante pour n infini
  • Cette constante est notée g
  • ou c lorsque la lettre grecque n'est pas disponible

 

 

 

Conclusion

Pour n infini:

1

+ 1/2

+ 1/3

+ 1/4

+...

+ n

 

 

- 0,577

 

 

= Ln (n)

 Ln = logarithme naturel (ou népérien)

 

 

 

 

 

 

-Ý-   CONSTANTE D'EULER - MASCHERONI

 

 

 Valeur de la constante d'Euler –Mascheroni

 

g 

gamma

= 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431...

= Lim ( Sh -ln(n) )

Avec Sh la série harmonique:

Sh = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4...

 

  = 0, 577 215 664 9…
  • Irrationnel ?
  • Transcendant ?
  • Si g = a/b alors b > 10 10 000

ec

= 1, 781 072 417 990 197 985 3...

e-c

= 0, 561 459 483 566 885 169 82 ...

 

100 décimales

0,

5772156649 0153286060 6512090082 4024310421 5933593992

3598805767 2348848677 2677766467 0936947063 2917467495

...

 

 

 Nature de la constante d'Euler –Mascheroni

  • On ignore toujours si cette constante d'Euler (1781) est

rationnelle ou irrationnelle,

algébrique ou transcendante.

 

  • Si, un jour, on trouvera une fraction rationnelle (gamma = a/b) , alors b est supérieur à 10 244 663

 

  

Record 

  • 7 286 255 décimales 
  • 1998
  • Xavier Gourdon
  • 47 heures de calcul

 

 

 

 

Calcul

  • À chaque calcul, avec la formule donnant gamma, le nombres de décimales supplémentaires est faible
  • En effet la série harmonique diverge, mais très, très lentement
  • Young a montré que la convergence est linéaire en n
  • Euler a utilisé une autre formule un peu plus rapide (Sommation d'Euler-Maclaurin)
  • On connaît des formule donnant p avec quadruplement des décimales à chaque itération (Borweins' quartically convergent AGM algorithm )
  • Pour gamma , on ne connaît même pas un algorithme qui doublerait le nombre de décimales

 

 

Nom

Date

Décimale

Algorithme
  • Euler

1781

16

Sommation d'Euler-Mac Laurin
  • Knuth

1962

1271

Sommation d'Euler-Mac Laurin
  • Sweeny

1963

3683

Développement de l'intégrale exponentielle ei(x)

 

1977

20 700

 
  • Brent & McMillan

1980

30100

Fonctions de Bessel modifiées
  • Jonathan Borwein

1993

172000

Variante de l'algorithme de Brent
  • Xavier Gourdon

1998

7 286 255

 

 

Propriétés

  • On connaît de nombreuses de nombreuses séries infinies donnant gamma
  • De même de que des intégrales définies
  • Gamma intervient aussi en probabilité

Quelle est la probabilité que deux facteurs irréductibles d'un polynôme F(x) ne soient pas de même degré pour p aussi grand que l'on veut ?

C'est e-c = 0,561

 

Voir Toutes ces formules impliquant la constante d'Euler par Xavier Gourdon

 

 

 -Ý-   INTERPRÉTATION – ILLUSTRATION

 

 

  • On peut donner une représentation géométrique de cette constante
  • On compare

Smax = Sh

Smin = Sh - 1

ln (n) - ln (n - 1)

  • On trace les trois courbes:

 

Image1389.gif

 

 

 

Autre illustration 

Image1390.gif

 

  • S max est représentée par les grand rectangles S
  • S min est représentée par les petits rectangles S'
  • Les tranches de la fonction logarithmique (delta ln) sont données en jaune
  • Smin minore
  • Smax majore

En fait,

  • On majore de 0,577, la constante d'Euler 

 

 

 

 

 

 

 

-Ý-   QUANTITÉ DE DIVISEURS

 

 Dirichlet

En 1838, il prouve que

la quantité moyenne de diviseurs des nombres jusqu'à n est

Nd = ln n + 2 c - 1

 Voir formule donnant la quantité de diviseurs d'un nombre

 

 

 

Exemple:

n = 250

il y a 1421 diviseurs

Nd = 1421/250 =

5,684

ln n + 2c -1 =

5,676

 

 

Premier 

  • En 1898,
  • De la Vallée Poussin prouve que si un grand nombre n est divisé par tous les nombres premier jusqu'à n,
  • on trouve c de la manière suivante:
  • on prend la moyenne de la différence entre le résultat de la division et le nombre entier immédiatement supérieur.

 

 

 

Exemple 43

Premiers

2

3

5

7

11

13
  • Division

21,5

14,333

8,6

6,142

3,909

3,307
  • En fraction

21 1/2

14 1/3

8 3/5

6 1/7

3 10/11

3 4/13
  • Entier supérieur

22

15

9

7

4

4
  • Écart

1/2

2/3

2/5

6/7

1/11

9/13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Moyenne

17

19

23

29

31

37

41

18,307

2,529

2,263

1,869

1,482

1,387

1,162

1,048

5,348

2 9/17

2 5/19

1 20/23

1 14/29

1 12/31

1 6/37

1 2/41

5,348

3

3

2

2

2

2

2

5,923

8/17

14/19

3/23

15/29

19/31

31/37

39/41

0,574

 

 

 

 

-Ý-   RELATIONS AVEC DZÊTA & PREMIERS

 

 

Avec dzêta de Riemann

 

Voir Riemann 

 

Avec les nombres premiers: Formule de Mertens

 

 

  • x nombre réel positif
  • p entier premier
  • Formule valable pour x tendant vers l'infini

 

 

 

 Autre formule

Avec la dérivée de la fonction factorielle généralisée

 

 

 

 

 

 

  

 

-Ý-   GÉNÉRALISATION DE LA FONCTION GAMMA

 

 

Gamma ( k )

  • Gamma(n) = limite de la relation suivante pour m tendant vers l'infini
  • Gamma(0) = constante d'Euler - Mascheroni

 

 

 

 

Valeurs

k

Gamma ( g )

0

+

0,

 

5772156649...

1

-

0,

0

7281584548...

2

-

0,

00

9690363193...

3

+

0,

00

2053834420...

4

+

0,

00

2325370065...

5

+

0,

000

7933238173...

6

-

0,

000

2387693454...

7

-

0,

000

5272895671...

8

-

0,

000

3521233538...

9

-

0,

0000

3439477442...

10

+

0,

000

2053328149...

  

 

 

 

 

-Ý-

Voir

§  Totient d'Euler