NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres – Caractéristiques

 

Débutants

Nombres

EULER

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Euler

 

Nombre et leurs représentations

Gamma

Phi

Nombre sécant

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Constante d'Euler – Mascheroni

>>> Fraction continue

>>> Interprétation – Illustration

>>> Quantité de diviseurs

>>> Relations avec dzêta & premiers

>>> Généralisation de la fonction gamma

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

CONSTANTE D'EULER-MASCHERONI

 

Constante, calculée par Leonhard Euler avec 15 décimales et qu'il a nommée gamma en 1781 puis utilisée par Lorenzo Mascheroni en 1790 avec 19 décimales. En 2009, de l'ordre de 30 milliards de décimales sont connues.

 = 0, 577 ...

 

Limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel.

Son nom ne provient ni d'Euler ni de Mascheroni mais fut donné plus tard (1835) du fait de sa relation avec la fonction gamma.

 

L'exponentielle unité (e) est parfois appelée la constante d'Euler ou nombre d'Euler.

 

 

 

Approche

 

Idée 

 

*    On s'intéresse à la suite des fractions 1/1, 1/2, 1/3....1/n.

Cette suite est connue sous le nom de série harmonique:

On calcule la somme

*    On veut la caractériser par une fonction connue

On arrive vite sur la fonction logarithmique: ln (n)

 

Allure des deux fonctions

 

*    On constate un écart qui semble être constant !  Il est vite inférieur à 1 et se stabilise. 

*    La limite de la différence étant une constante, la série harmonique comme la fonction logarithme sont divergentes mais asymptotiques, comme on le sait par ailleurs.

 

 


 
Comparaison numérique

 

 

*    En effet, l'écart converge vers une limite: 0, 577 ...

Hn – ln(n) = Constante pour n infini.

*    Cette constante est notée   ou c lorsque la lettre grecque n'est pas disponible.
La lettre c est la notation d'Euler qui fut le premier à définir cette constante (1735); la lettre gamma est la notation de Mascheroni (1790)

 

 

 

 

CONSTANTE D'EULER – MASCHERONI

 

100 décimales


 
0,

5772156649 0153286060 6512090082 4024310421 5933593992

3598805767 2348848677 2677766467 0936947063 2917467495

...

 

Record: 7 286 255 décimales  en 1998 par Xavier Gourdon avec 47 heures de calcul.

Voir Mnémotechnique

Expressions

 

Limite formulée simplement

 

 

Avec Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4... série harmonique.

 

 

Limite en somme abrégée

 

 

Série

 

Nature

 

On ignore toujours si cette constante d'Euler (1781) est

*    rationnelle ou irrationnelle,

*    algébrique ou transcendante.

 

Si, un jour, on trouvera une fraction rationnelle (gamma = a/b),
alors b est supérieur à 10 244 663

 

Puissances

 

  = 1, 781 072 417 990 197 985 3...

 

 = 0, 561 459 483 566 885 169 82 ...

 

Approximations

 

Cas en racine de 3 – Curiosité

Relation

Soit un écart avec gamma de 0,000648…

Formule due à Eric Weisstein

 

Calcul

 

À chaque calcul, avec la formule donnant gamma, le nombre de décimales supplémentaires est faible. En effet la série harmonique diverge, mais très, très lentement.

Young a montré que la convergence est linéaire en n.

Euler a utilisé une autre formule un peu plus rapide (Sommation d'Euler-Maclaurin).

On connaît des formule donnant  avec quadruplement des décimales à chaque itération (Borweins' quartically convergent AGM algorithm ).

Pour gamma , on ne connaît même pas un algorithme qui doublerait le nombre de décimales.

 

 

 

Propriétés

 

On connaît de nombreuses de nombreuses séries infinies donnant gamma. De même que des intégrales définies.

 

Gamma intervient aussi en probabilité: Quelle est la probabilité que deux facteurs irréductibles d'un polynôme F(x) ne soient pas de même degré pour p aussi grand que l'on veut ?

C'est  = 0,561…

 

Voir Toutes ces formules impliquant la constante d'Euler par Xavier Gourdon.

 

Voir Algorithme

 

 

Fraction continue

 

*    Dix termes développés de la fraction continue produisant gamma:

 

*    Cent termes en version linéaire

 

[0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 5, 1, 3, 6, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 16, 8, 1, 1, 2, 16, 6, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 13, 5, ...]

 

*    Réduites de gamma
 

 

 

 

  

INTERPRÉTATION – ILLUSTRATION

 

*    On peut donner une représentation géométrique de cette constante.

 

*    Pour cela, on compare:

Smax = Sh

Smin = Sh – 1

ln (n) – ln (n – 1)

*    On trace les trois courbes:

 


 
Autre illustration 

 

*    S max est représentée par le grand rectangle S;

*    S min est représentée par les petits rectangles S':

*    Les tranches de la fonction logarithmique (delta ln) sont données en jaune.

*    Smin minore et Smax majore

En fait,

*    On majore de 0,577, qui est la constante d'Euler. 

 

 

 

QUANTITÉ DE DIVISEURS

 

 Dirichlet

*    En 1838, il prouve que la quantité moyenne de diviseurs des nombres jusqu'à n est:

 

Nd = ln n + 2  – 1

 

 Voir formule donnant la quantité de diviseurs d'un nombre.

  

Exemple

n = 250

il y a 1421 diviseurs

Nd = 1421/250 =

5,684

ln n + 2 – 1 =

5,676

 

 

Premier 

*    En 1898, De la Vallée Poussin prouve que si un grand nombre n est divisé par tous les nombres premiers jusqu'à n, on trouve  de la manière suivante: on prend la moyenne de la différence entre le résultat de la division et le nombre entier immédiatement supérieur.

 

Exemple 43

Premiers

2

3

5

7

11

13

*    Division

21,5

14,333

8,6

6,142

3,909

3,307

*    En fraction

21 1/2

14 1/3

8 3/5

6 1/7

3 10/11

3 4/13

*    Entier supérieur

22

15

9

7

4

4

*    Écart

1/2

2/3

2/5

6/7

1/11

9/13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Moyenne

17

19

23

29

31

37

41

18,307

2,529

2,263

1,869

1,482

1,387

1,162

1,048

5,348

2 9/17

2 5/19

1 20/23

1 14/29

1 12/31

1 6/37

1 2/41

5,348

3

3

2

2

2

2

2

5,923

8/17

14/19

3/23

15/29

19/31

31/37

39/41

0,574

 

 

 

 

RELATIONS AVEC DZÊTA & PREMIERS

 

Avec dzêta de Riemann

 

Voir Riemann 

 

Avec les nombres premiers: Formule de Mertens

 

 

*    x nombre réel positif,

*    p entier premier.

*    Formule valable pour x tendant vers l'infini.

 

 

 

 Autre formule

Avec la dérivée de la fonction factorielle généralisée

 

 

 

 

 

 

GÉNÉRALISATION DE LA FONCTION GAMMA

 

Gamma ( k )

 

*    Gamma(n) = limite de la relation suivante pour m tendant vers l'infini.

*    Gamma(0) = constante d'Euler - Mascheroni

 

 

 

 

Valeurs

k

Gamma ( g )

0

+

0,

 

5772156649...

1

-

0,

0

7281584548...

2

-

0,

00

9690363193...

3

+

0,

00

2053834420...

4

+

0,

00

2325370065...

5

+

0,

000

7933238173...

6

-

0,

000

2387693454...

7

-

0,

000

5272895671...

8

-

0,

000

3521233538...

9

-

0,

0000

3439477442...

10

+

0,

000

2053328149...

 

 

 

 

English corner

 

*    The Euler–Mascheroni constant (also called Euler's constant) is a mathematical constant defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm.

*    This constant is usually denoted by the lowercase Greek letter gamma
 

 

 

 

Suite

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*    Nombre de Neper ou d'Euler (e)

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*    Euler – Biographie + Index

Voir

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*    Suite de Farey

*    Théorèmes

DicoNombre

*    Nombre 0,577 …

Sites

*    Euler-Mascheroni Constant – Wolfram MathWorld

*    A001620 – Decimal expansion of Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma.

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/ConEuler.htm