fonction zêta complexe

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22 Novembre 2025

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/01/2026 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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FONCTION ZÊTA de Riemann

d'Euler avec des puissances en nombres réels.

de Riemann avec des puissances en nombres complexes.

FONCTION ZÊTA

Formulation

Égalité valable en complexe avec z = a + ib avec a > 1.

ALLURE GÉNÉRALE

Comparée à la fonction zêta d'Euler, celle de Riemann fait appel aux nombres complexes:

s = z = x + iy

Petite subtilité de représentation

Nous souhaitons représenter la valeur de (z) en fonction de x et de y

Il serait possible de mettre x en abscisse et y en ordonnées.

Mais la difficulté est que (z) est aussi un nombre complexe qui nécessite deux axes pour le représenter.

Il faudrait une représentation en quatre dimensions. Ce qui est irréalisable.

L'astuce consiste à ne représenter que le module de (z) ou son carré M²
qui vaut x² + y².

Zoom sur x de -5 à +5

Qui fait apparaître un pic autour de x = 1 et y = 0.

Zoom sur x de 0,45 à 0,5

Qui fait apparaître une feuille pliée.

Elle semble approché du fond pour certaines valeurs de y.

Zoom sur x de 0,495 à 0,5

Et pour y de 10 à 26.

Faisant apparaître les trois premiers zéros.

Zoom sur x de 0,4 à 0,6

Et pour y de 14 à 14,25.

Montant nettement la cuvette du zéro.
En fait de la tangence.

LES ZÉROS
Voici trois courbes donnant Le module M² en ordonnées avec b en abscisse de -10 à + 50 pour trois valeurs de a: a = 1/2 - 0,3 en bleu a = 1/2 en rouge a = 1/2 + 0,3 en noir	Zéros en 14,13 21,02 25,01 30,42 32,93 …
La célèbre hypothèse de Riemann énonce que tous les zéros sont sur la droite a = 1/2. Le premier zéro se révèle en b = 14, 134725 … Il en existe une infinité d'autres pour b plus grand.

AUTOUR DU PREMIER ZÉRO

Zoom sur le premier zéro

Même conditions que ci-dessus avec:

a = ½ - 0,02 en bleu

a = ½ en rouge

a = ½ + 0,02 en noir

Zéros en 14,134 725 …

LES ZÉROS JUSQU'À 100

Allure de la courbe au raz du 0

Les premières valeurs

Rang	Valeur de la partie imaginaire
1	14, 13472 51417 34
2	21, 02203 96387 71
3	25, 01085 75801 45
4	30, 42487 61258 59
5	32, 93506 15877 39
6	37, 58617 81588 25
7	40, 91871 90121 47
8	43, 32707 32809 15
9	48, 00515 08811 67
10	49, 77383 24776 72
11	52, 97032 14777 14
12	56, 44624 76970 63
13	59, 34704 40026 02
14	60, 83177 85246 09
15	65, 11254 40480 81
16	67, 07981 05294 94
17	69, 54640 17111 74
18	72, 06715 76744 81
19	75, 70469 06990 83
20	77, 14484 00688 74
21	79, 33737 50202 49
22	82, 91038 08540 86
23	84, 73549 29805 17
24	87, 42527 46131 25
25	88, 80911 12076 34
26	92, 49189 92705 50
27	94, 65134 40405 19
28	95, 87063 42282 45
29	98, 83119 42181 93

Suite	Hypothèse de Riemann Approches modernes Programme de Langlands
Voir	Calcul et calcul mental Divisibilité Euler – Index Géométrie – Index Identités remarquables Isopérimètre Nombres premiers Série Harmonique Théorie des nombres – Index
Livre
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