NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 14/01/2013

Débutants

Identité

d'Euler

Nombres premiers

Glossaire

Nombres

premiers

 

Répartition

 

 

 

Index des pages

Nombres premiers

 

>>> INDEX

 

 

En bref

Identité d'Euler

Hypothèse de Riemann

Débutant

Fonction zêta d'Euler

Zêta de Riemann

Démo. de l'identité

Approches modernes

Fonction de Möbius

 

Sommaire de cette page

>>> Fonction zêta

>>> Allure générale

>>> Les zéros

>>> Autour du premier zéro

>>> Les zéros jusqu'à 100

 


 

 

FONCTION ZÊTA de Riemann

 

 

d'Euler avec des puissances en nombres réels.

 

de Riemann avec des puissances en nombres complexes.

 

 

FONCTION ZÊTA

 

Formulation

 

 

*    Égalité valable en complexe avec z = a + ib avec a > 1.

 

 

 

ALLURE GÉNÉRALE

 

*    Comparée à la fonction zêta d'Euler, celle de Riemann fait appel aux nombres complexes:

s = z = x + iy

 

 

Petite subtilité de représentation

*    Nous souhaitons représenter la valeur de  (z) en fonction de x et de y

*    Il serait possible de mettre x en abscisse et y en ordonnées.

*    Mais la difficulté est que  (z) est aussi un nombre complexe qui nécessite deux axes pour le représenter.

*    Il faudrait une représentation en quatre dimensions. Ce qui est irréalisable.

*    L'astuce consiste à ne représenter que le module de (z) ou son carré M²
qui vaut  x² + y².

 

 

Zoom sur x de -5 à +5

*    Qui fait apparaître un pic autour de x = 1 et y = 0.

 

Zoom sur x de 0,45 à 0,5

*    Qui fait apparaître une feuille pliée.

*    Elle semble approché du fond pour certaines valeurs de y.

 

Zoom sur x de 0,495 à 0,5

*    Et pour y de 10 à 26.

*    Faisant apparaître les trois premiers zéros.

 

 

Zoom sur x de 0,4 à 0,6

*    Et pour y de 14 à 14,25.

*    Montant nettement la cuvette du zéro.
En fait de la tangence.

 

 

 

 

 

LES ZÉROS

Voici trois courbes donnant

 

Le module M² en ordonnées avec b en abscisse de -10 à + 50 pour trois valeurs de a:

 

a = 1/2  - 0,3 en bleu

a = 1/2          en rouge

a = 1/2 + 0,3 en noir

Zéros en                    14,13   21,02  25,01  30,42  32,93 …

La célèbre hypothèse de Riemann énonce que tous les zéros sont sur la droite a = 1/2.

Le premier zéro se révèle en b = 14, 134725 …

Il en existe une infinité d'autres pour b plus grand.

 

 

AUTOUR DU PREMIER ZÉRO

Zoom sur le premier zéro

Même conditions que ci-dessus avec:

 

a = ½ - 0,02 en bleu

a = ½          en rouge

a = ½ + 0,02 en noir

Zéros en                                 14,134 725 …

 

 

 

LES ZÉROS JUSQU'À 100

 

Allure de la courbe au raz du 0

 

Les premières valeurs

 

Rang

Valeur de la partie imaginaire

1

14, 13472 51417 34

2

21, 02203 96387 71

3

25, 01085 75801 45

4

30, 42487 61258 59

5

32, 93506 15877 39

6

37, 58617 81588 25

7

40, 91871 90121 47

8

43, 32707 32809 15

9

48, 00515 08811 67

10

49, 77383 24776 72

11

52, 97032 14777 14

12

56, 44624 76970 63

13

59, 34704 40026 02

14

60, 83177 85246 09

15

65, 11254 40480 81

16

67, 07981 05294 94

17

69, 54640 17111 74

18

72, 06715 76744 81

19

75, 70469 06990 83

20

77, 14484 00688 74

21

79, 33737 50202 49

22

82, 91038 08540 86

23

84, 73549 29805 17

24

87, 42527 46131 25

25

88, 80911 12076 34

26

92, 49189 92705 50

27

94, 65134 40405 19

28

95, 87063 42282 45

29

98, 83119 42181 93

 

 


 

Suite

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Voir

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