NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre             Rubriques            Nouveautés       Édition du: 24/02/2013

Orientation générale         DicoMot Math           Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                                

     

Nombres premiers

 

Débutants

Identité

d'Euler

Répartition

 

Glossaire

Nombres

premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

En bref

Identité d'Euler

Fonction zêta d'Euler

F. de Möbius

Démo. de l'identité

Zêta de Riemann

Approches modernes

Hypothèse de Riemann

 

Sommaire de cette page

>>>  Fonction zêta

>>>  Valeurs de zêta; nombres d'Apery

>>>  Fonction zêta - allure générale

>>>  Historique

 

 

 

 

FONCTION ZÊTA ()

 

 

d'Euler avec des puissances en nombres réels,

ou

de Riemann avec des puissances en nombres complexes.

On peut dire dzêta ou zêta, sixième lettre de l'alphabet grec

 

FONCTION ZÊTA

 

Formulation

 

 

*    Égalité valable pour les nombres entiers si a > 1

*    Et, même en complexe avec s = a + ib avec a > 1

 

*    Cette fonction est potentiellement un outil puissant d'études de la répartition des nombres premiers.

 

The zeta function is based on adding the reciprocals of all the whole numbers raised to a certain power.

 

 

 

VALEURS de ZÊTA – NOMBRES D'APERY

 

Cas s = 1 : Série harmonique

Pour s = 1, la série est divergente: c'est la Série Harmonique

 

Cas s > 1 :  Nombre d'APÉRY

 

s =

 (s) =

 

Irrationnel

Transcendant

2

1,644 934 066 ...

=  ² / 6

Oui

Oui

3

1,202 056 903 ...

 

Oui*

?

4

1,082 323 233 ...

=  4 / 90

Oui

Oui

5

1,036 927 755 ...

 

?

?

6

1,017 343 061 ...

=  6 / 945

Oui

Oui

7

1,008 349 277 ...

 

?

?

8

1,004 077 356 ...

=  8 / 9 450

Oui

Oui

9

1,002 008 393…

 

?

?

10

1,000 994 577…

=  10 / 93 555

Oui

Oui

...

 

 

2k

 

= f ( 2k )**

Oui

Oui

2k+1

 

pas de formule

?

?

Voir Cent décimales / Formules donnant Pi

 

* Apéry en 1978.

** fait intervenir les nombres de Bernoulli (un peu compliqué!).

 

Valeurs négatives

*    La fonction zêta est définie dans le demi-plan des réels positifs.

*    On peut aussi la définir dans le demi-plan négatif

par une extension analytique.

*    Ce n'est donc plus la même formule (sinon, elle divergerait)

Voici la fonction zêta pour quelques valeurs négatives

 

s =

 (s) =

Valeur décimale

-10

  0

  0

  -9

-1/132

- 0,007575757576

  -8

  0

  0

  -7

  1/240

  0,004166666667

  -6

  0

  0

  -5

-1/252

- 0,003968253968

  -4

  0

  0

  -3

  1/120

  0,008333333333

  -2

  0

  0

   -1

-1/12

- 0,08333333333

    0

-1/2

- 0,5000000000

- 2k

  0

  0

 

Autour de 1

s =

 (s) =

0

- 0,5000000000

0,1

- 0,6030375199

0,2

- 0,7339209249

0,3

- 0,9045592573

0,4

-1,134797784

0,5

-1,460354509

0,6

-1,952661448

0,7

-2,778388446

0,8

-4,437538416

0,9

-9,430114019

1

Singularité - pôle

1,1

10,58444846

1,2

5,591582441

1,3

3,931949212

1,4

3,105547278

1,5

2,612375349

1,6

2,285765666

1,7

2,054288757

1,8

1,882229618

1,9

1,749746435

2

1,644934068

  

 

 

 

FONCTION ZÊTA – ALLURE GÉNÉRALE

 

Allure générale de la fonction zêta

de -10 à +10

 

 

 

Allure de la fonction zêta en positif

de 1 à 6

 

 

Allure de la fonction zêta en négatif

de -10 à 0

 

 

 

Allure de la fonction zêta en fortement négatif

de -32 à -10

 

 

 

 Allure de la fonction zêta autour du pôle 1

de 0,9 à 1,1

  

 

 

 

Historique

 

*    1644 – Pietro Mengoli (1626-1686): il montre que la série harmonique (somme des inverse des entiers) diverge et se demande quelle serait la valeur de la même série mais avec des carrés. Il montre aussi que la série alternée converge vers ln 2

*    1734 – Leonhard Euler (1707-1783) introduit les nombres zêtas. Il calcule zêta(2) = Pi² / 6 = 1, 644…. Il montre que les pairs sont des multiples de puissances de Pi. Il envisage les multizêtas.

*    1977 – Roger Apéry (1916-1994) calcule zêta(3) = 1,202…, le premier cas impair. Il montre que ce nombre est irrationnel.

*    1990 – Don Zagier (1951- ) et Hofmann remettent à jour les nombres multizêtas.

*    2012 – Francis Brown démontre une conjecture (de Deligne et Ihara) faisant intervenir les multizêtas.
 

 

 

MULTIZÊTAS

 

*    Une extension des nombres zêtas en posant au dénominateur des produits de puissance.

 

Exemple

 

*    Ces nouveaux nombres permettent de définir une nouvelle algèbre

 

Exemples

 

 

*    Certaines valeurs sont connues

 

Exemple

 

Valeur conjecturée par Zagier sur la base d'expérimentations numériques, et prouvée par Broadhurst en 1996.

 

*    Applications théorie des nœuds, diagrammes de Feynman, théorie quantique des champs …

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Zêta de Riemann

Voir

*    Calcul et calcul mental

*    Divisibilité

*    EulerIndex 

*    GéométrieIndex 

*    Identités remarquables

*    Isopérimètre

*    Nombres premiers

*    Série Harmonique

*    Théorie des nombresIndex 

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Zeta.htm