NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 21/09/2011
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FONCTION ZÊTA ()

d'Euler avec des puissances en nombres réels,

ou

de Riemann avec des puissances en nombres complexes.

On peut dire dzêta ou zêta, sixième lettre de l'alphabet grec

FONCTION ZÊTA
Formulation Égalité valable pour les nombres entiers si a > 1 Et, même en complexe avec s = a + ib avec a > 1 Cette fonction est potentiellement un outil puissant d'études de la répartition des nombres premiers. The zeta function is based on adding the reciprocals of all the whole numbers raised to a certain power.

VALEURS de ZÊTA – NOMBRES D'APERY

Cas s = 1 : Série harmonique

Pour s = 1, la série est divergente: c'et la Série Harmonique

Cas s > 1 : Nombre d'APÉRY

s =	(s) =		Irrationnel	Transcendant
2	1,644 934 066 ...	= ² / 6	Oui	Oui
3	1,202 056 903 ...		Oui*	?
4	1,082 323 233 ...	= ^4 / 90	Oui	Oui
5	1,036 927 755 ...		?	?
6	1,017 343 061 ...	= ^6 / 945	Oui	Oui
7	1,008 349 277 ...		?	?
8	1,004 077 356 ...	= ^8 / 9 450	Oui	Oui
9	1,002 008 393…		?	?
10	1,000 994 577…	= ^10 / 93 555	Oui	Oui
...
2k		= f ( ^2k )**	Oui	Oui
2k+1		pas de formule	?	?

Voir Cent décimales / Formules donnant Pi

* Apéry en 1978.

** fait intervenir les nombres de Bernoulli (un peu compliqué!).

Valeurs négatives

La fonction zêta est définie dans le demi-plan des réels positifs.

On peut aussi la définir dans le demi-plan négatif

par une extension analytique.

Ce n'est donc plus la même formule (sinon, elle divergerait)

Voici la fonction zêta pour quelques valeurs négatives

s =	(s) =	Valeur décimale
-10	0	0
-9	-1/132	- 0,007575757576
-8	0	0
-7	1/240	0,004166666667
-6	0	0
-5	-1/252	- 0,003968253968
-4	0	0
-3	1/120	0,008333333333
-2	0	0
-1	-1/12	- 0,08333333333
0	-1/2	- 0,5000000000
- 2k	0	0

Autour de 1

s =	(s) =
0	- 0,5000000000
0,1	- 0,6030375199
0,2	- 0,7339209249
0,3	- 0,9045592573
0,4	-1,134797784
0,5	-1,460354509
0,6	-1,952661448
0,7	-2,778388446
0,8	-4,437538416
0,9	-9,430114019
1	Singularité - pôle
1,1	10,58444846
1,2	5,591582441
1,3	3,931949212
1,4	3,105547278
1,5	2,612375349
1,6	2,285765666
1,7	2,054288757
1,8	1,882229618
1,9	1,749746435
2	1,644934068

FONCTION ZÊTA – ALLURE GÉNÉRALE
Allure générale de la fonction zêta de -10 à +10 Allure de la fonction zêta en positif de 1 à 6 Allure de la fonction zêta en négatif de -10 à 0 Allure de la fonction zêta en fortement négatif de -32 à -10 Allure de la fonction zêta autour du pôle 1 de 0,9 à 1,1

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