NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 28/07/2011

Débutants

Identité

d'Euler

Nombres premiers

Glossaire

Nombres

premiers

 

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Nombres premiers

 

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En bref

Identité d'Euler

Hypothèse de Riemann

Débutant

Fonction zêta d'Euler

Zêta de Riemann

Démo. de l'identité

Approches modernes

Fonction de Möbius

 

Sommaire de cette page

>>>  Identité

>>>  Mieux comprendre

 

 

 

IDENTITÉ d'EULER

 

 

Euler a découvert une relation qui relie d'un côté les nombres entiers et de l'autre les nombres premiers.

 

Un pont magique entre deux mondes si différents!

 

 

IDENTITÉ

 

Formulation

 

 

 

 

 

Lecture de l'identité

*    La fonction zêta de s est égale à

*           la somme, pour n de 1 à l'infini, des inverses des puissances s de n et,

*           au produit, pour tous les premiers p, de la fraction p à la puissance s sur lui-même moins un.

 

*    Cette identité est vraie pour tout nombre réel s supérieur à 1.

Pour la valeur s = 1, il s'agit de la  suite harmonique qui est  divergente.

 

Lecture abrégée

*    Zêta de s est égale à

*           sigma de n de 1 à l'infini, de 1 sur n puissance s, et

*           au produit pour tout p premier, de p puissance s sur p puissance s moins 1;

*           vraie pour tout s supérieur à 1.

 

Expression en anglais

*    Euler discovered a relationship between his zeta function, which uses all whole numbers, and an entirely different series which uses only the prime numbers.

*    If you add together the reciprocals of all the whole numbers squared, for example, this will give the same answer as multiplying together a series of terms involving the primes, each of the form p² / (p² - 1).

 

 

 

MIEUX COMPRENDRE avec les carrés

 

Identité

1

+

1

+

1

+

1

+ …

=

2²

x

3²

x

5²

x

7²

x …

1²

2²

3²

4²

2² - 1

3² - 1

5² - 1

7² - 1

 

Ou, écrit autrement:

 

1

+

1

+

1

+

1

+ …

=

4

x

9

x

25

x

49

x …

1

4

9

16

3

8

24

48

 

 

Convergence

Voici le calcul des premiers termes de l'identité pour le cas des carrés:

 

n

p

S =  1/n²

P =  p² / (p² - 1)

P - S

1

2

1

1

4 / 3

1, 333

0, 333

2

3

5 / 4

1, 250

3 / 2

1, 500

0, 250

3

5

49 / 36

1, 361

25 / 16

1, 562

0, 201

4

7

205 / 144

1, 423

1225 / 768

1, 595

0, 171

5

11

5269 / 3600

1, 463

29645 / 18432

1, 608

0, 144

6

13

 

1, 491

 

1, 617

0, 126

7

17

 

1, 511

 

1, 623

0, 111

8

19

 

1, 527

 

1, 628

0, 100

9

23

 

1, 539

 

1, 631

0, 091

10

29

 

1, 549

 

1, 633

0, 083

…

…

 

 

 

 

 

100

541

 

1, 6349

 

1,6445

0,0095

1 000

7 919

 

1, 6439

 

1, 6449

0,00098

 

 

 

 

Valeurs de  (s)

 

La fonction (2) converge vers 1, 644 934 … qui vaut p² / 6

Voici quelques autres valeurs, avec 100 décimales

 

 (2) = 1,6449340668 4822643647 2415166646 0251892189 4990120679 8437735558 2293700074 7040320087 3833628900 6197587053

 (3) = 1,2020569031 5959428539 9738161511 4499907649 8629234049 8881792271 5553418382 0578631309 0186455873 6093352581

 (4) = 1,0823232337 1113819151 6003696541 1679027747 5095191872 6907682976 2154441206 1618696884 6556909635 9416999172

 (5) = 1,0369277551 4336992633 1365486457 0341680570 8091950191 2811974192 6779038035 8978628148 4560043106 5571333364

 (6) =  1,0173430619 8444913971 4517929790 9205279018 1749003285 3561842408 6640043321 8290195789 7882773977 9385351706

 (7) = 1,0083492773 8192282683 9797549849 7967595998 6356056523 8706417283 1365716014 7831735573 5346096968 9138513240

 (8) = 1,0040773561 9794433937 8685238508 6524652589 6079064985 0020329110 2026525829 5257474881 4395287230 3723719712

 (9) = 1,0020083928 2608221441 7852769232 4120604856 0585139488 8756548596 6159097850 5339025839 8950393069 1271695862

 (10) = 1,0009945751 2781808533 7145958900 3190170060 195315644 77517257788 9946362914 6515191295 43970419686 103856528

 

 

 

 

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