NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 05/03/2006

 

Débutants

-Ý- RUBRIQUE: Suites & Séries

Glossaire

§         Général

§         Harmonique

§         Suite aliquote

§         Typiques

§         De Farey

§         Séquences numériques

§         1 / (1 - x)

§         De Martin-Löf

§         Thue Morse

§         xk / (xk – 1)

§          

§          

Sommaire de cette page

 

>>> EXPRESSIONS

>>> CALCUL

>>> VALEURS

Pages voisines

§         Suite qui rend fou

§         Fonctions génératrices

§         Conjecture de Syracuse

§         Suites fractales

 


xk / (xk – 1)

 

Que vaut un nombre à une certaine puissance

divisé par lui-même diminué de un ?

 

Utile dans la démonstration de l'identité d'Euler

 

 

-Ý-   EXPRESSIONS

Diverses formulations

§     Ces expressions sont équivalentes

§     Nous allons chercher une autre manière de les exprimer en utilisant un développement en série

 

 

 

-Ý-  CALCUL

Développement en série

§     Nous allons effectuer la division

 

   xk

xk - 1

- (xk – 1)

1 + 1/xk + 1/x2k + 1/x3k + …

   0   + 1

 

        - (1 – 1/xk )

 

                0 + 1/xk

 

             - (1/xk - 1/x2k )

 

                 0    + 1/x2k

 

 

 

 

 

§     Résultat

 

 

 

§     Série des inverses du nombre aux puissances multiples de k

Ø     Puissance en progression géométrique de raison k

 

 

 

 

 

-Ý-  VALEURS

Quelques valeurs

§     Calcul pour x = 2 et k = 2
Voici les dix premières itérations de la série:

 

5 / 4                                  1, 250000000

21 / 16                              1, 312500000

85 / 64                              1, 328125000

341 / 256                          1, 332031250

1365 / 1024                      1, 333007812

5461 / 4096                      1, 333251953

21845 / 16384                  1, 333312988

87381 / 65536                  1, 333328247

349525 / 262144              1, 333332062

1398101 / 1048576          1, 333333015

 

§     Valeur selon x et k

x

2

3

4

5

k = 2

4/3 = 1, 333333333

9/8 = 1, 125000000  

16/15 = 1, 066666667

25/24 = 1, 041666667

k = 3

8/7 = 1, 142857143

27/26 = 1, 038461538

64/63 = 1, 015873016

125/124 = 1, 008064516

k = 4

16/15 = 1, 066666667

81/80 = 1, 012500000

256/255 = 1, 003921569

625/624 = 1, 001602564

 

 

 

 

 

 

Voir Démonstration de l'identité d'Euler

 


 

-Ý-

Voir

§         Divisibilité

§         Petit théorème de Fermat 

§         Théorie des nombres

§         Calcul mental

§         Géométrie