NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/09/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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HYPOTHÈSE DE RIEMANN

Approches modernes

Au départ, une série qui donne la somme des inverses des nombres élevés à une puissance .

En passant dans le monde des complexes (s = z), elle est devenue une fonction très prometteuse, pour expliquer la répartition de nombres premiers.

La conjecture qui lui est associée, consiste "tout simplement" à montrer que tous les zéros de cette fonction sont situés sur la droite des réels ayant pour valeur ½.

Cette conjecture, du fait de ses nombreuses conclusions en théorie des nombres, est l'enjeu majeur des mathématiciens.

Du même ordre que l'était le désormais théorème de Fermat - Wiles

La conjecture de Riemann est le 8^e des problèmes de Hilbert posés en 1900, et le seul non résolu en 2010.

Comme souvent en mathématiques, on a trouvé une autre conjecture équivalente (par exemple, faisant intervenir la fonction de Möbius) qui, si elle est démontrée, prouve également celle de Riemann.

Voir ce que nous connaissons sur les zéros de la fonction zêta de Riemann

APPROCHES CLASSIQUES
Le calcul des racines Calculs opérés pour plus de 1,5 millions de racines. Elles sont toutes en 1/2 + i b. Mais, évidemment, il est impossible de les calculer toutes (elles sont en nombre infini). Riemann avait une méthode astucieuse pour les calculer; Siegel l'a redécouverte. C'est la formule de Riemann-Siegel. Démonstration directe Aucune trouvée à ce jour.

APPROCHES INDIRECTES

Opérateur Trouver une transformation qui mettrait plus facilement en lumière tous les zéros de la fonction de Riemann: faire glisser la ligne de zéros, concentrer les zéros … Approche du Français Louis de Branges Trouver une transformation du type de la transformée de Fourier qui ferait ressortir les zéros, à la manière des raies dans une analyse spectrale. Analogie De manière surprenante, certaines formules impliquées dans l'étude de la fonction zêta de Riemann ressemblent à des formules de la mécanique quantique. D'une certaine manière l'univers quantique se comporterait comme s'il était régit par la répartition des zéros de la fonction zêta! Matrices aléatoires infinies Recherche sur des matrices infinies (nombre de ligne et de colonne infini). Détermination des valeurs caractéristiques. Ces valeurs interviennent lorsqu'une matrice carrée A est multipliée par une matrice colonne B. Qui produit une nouvelle matrice colonne C. Et que C est égale à B à un facteur d'échelle k près. Ce facteur k et la valeur caractéristique ou eigenvalue. Or, pour les matrices infinies, il existe une infinité de facteurs k et de matrices C. L'une d'entre elles pourrait correspondre exactement aux zéros de la fonction de Riemann.

APPROCHES ACTUELLES

Fonctions équivalentes Fonctions L, qui, comme celle de Riemann, sont des suites infinies. En étudiant l'ensemble de la famille, on espère mieux comprendre chacun des individus. La conjecture de Katz-Sarnak englobe celle de Riemann, mais elle semble encore plus difficile à résoudre. Alain Connes, un grand mathématicien français travaille sur ce sujet Autres Nombreux travaux d'André Weil. Ses conjectures ont été prouvées par Deligne en 1973, mais l'hypothèse de Riemann reste une hypothèse. Fonction de Möbius La fonction de Möbius caractérise la quantité de facteur des nombres. La conjecture de Mertens était une piste, elle s'est avérée fausse. Les recherches se poursuivent avec la fonction de Möbius.

Page réalisée à partir notamment du livre, librement interprété, de

Karl Sabbagh – Dr. Riemann's zeros >>>

Approche QUANTIQUE

La répartition des nombres premiers semble n'être régie par aucune loi simple. Cependant, les valeurs pour lesquelles la fonction zêta de Riemann s'annule pourraient apporter des informations sur cette répartition. Ces valeurs apparaissent aussi dans des systèmes quantiques complexes, mais on ignore en 2012 pourquoi ces systèmes semblent liés aux nombres premiers. L'histoire remonte à 1972 quand Freeman Dyson (physicien) et Hugh Montgomery (Théoricien des nombres) se rencontrent. Ils découvrent une similitude manifeste entre: une bande de zéros sur la ligne critique de Riemann, et les mesures des niveaux d'énergie d'un gros noyau atomique, (par exemple: Erbium de N°68) Il existe une importante séquence de nombres appelés les moments de la fonction zêta de Riemann. Les mathématiciens peinaient à calculer les nombres qui permettent le calcul de ces moments. En 1920, on détermina que les deux premiers étaient 1 et 2. C'est seulement en 1992 que les mathématiciens conjecturent que le suivant est 42. De fait, l’obtention des coefficients b3 = 42/9! et b4 = 24024/16! exige de longs calculs. Depuis Jon Keating et Nina Snaith (Bristol), en utilisant la théorie des matrices aléatoires, ont réussi à élaborer une formule explicite qui permet de calculer les moments de la fonction zêta. Avec ces valeurs la comparaison avec les données quantiques est devenue encore plus manifeste. Voir la publication de Philippe Biane en référence

D'après Les dossiers de La Recherche – N°50 – Août 2012

Pour en savoir plus, voir la publication de Philippe Biane en référence

Merci à Laurent Guémappe pour ses remarques

Suite	Hypothèse de Riemann Fonction de Möbius Passage aux polynômes – André Weil
Voir	Calcul et calcul mental Divisibilité Euler – Index Géométrie – Index Identités remarquables Isopérimètre Nombres premiers Série Harmonique Théorie des nombres – Index
Site	Edmund Georg Hermann Landau La fonction zêta de Riemann et les probabilités – Philippe Biane
Livres	La symphonie des nombres premiers – Marcus du Sautoy – Points Sciences (Héloïse d'Ormesson) – 2005. Superbe! Livre de poche de 500 pages qui se lit comme un roman. Raconte toute cette recherche pour prouver la conjecture de Riemann tout en faisant quelques détours mathématiques intéressants. Appréciable aussi, l'atmosphère du monde des chercheurs en mathématiques. Karl Sabbagh – Dr. Riemann's zeros The search for the $ 1 million solution to the greatest problem in mathematics – Atlantic book London – 2003
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/RiemAppr.htm