NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Construction

>>> Impairs

>>> Propriétés

>>> Historique

 

 

 

 

 

SUITE DE STEINHAUS

ou la disparition des chiffres 9, 7, 5 & 0

 

Une suite en forme de jeu qui réserve quelques surprises. Elle boude certains chiffres.

 

 

 

Construction

 

Principe

 

*    On prend deux chiffres au hasard.

*    On multiplie les deux premiers chiffres.

*    On place le résultat à la suite des chiffres déjà trouvés.

 Exemple

2 3

 

 

2 x 3 =

6

 

 

 

2 3 6

 

Construction

 

Les 100 premiers chiffres de cette suite

 

 

Voir Exemples de suites de Steinhaus

 

 

Pairs & impairs

 

*    On observe que les nombres impairs sont rares. Pratiquement que des pairs à partir d'un certain rang.

En fait: Il n'y a jamais deux impairs de suite.

 

 

Matériaux nécessaires à la démonstration

Le produit de deux chiffres est toujours un nombre à 2 chiffres.

Produit maximum:

9 x 9 = 81

De deux chiffres consécutifs l'un est le chiffre des unités, l'autre peut être unité ou dizaine.

d  u

u  d

u u

Le chiffre des unités d'un produit est impair seulement si les 2 facteurs sont impairs.

On sent déjà une sorte de supériorité des pairs.

P x P = P

P x I = P

I x P = P

I x I = I

 

 

Démonstration

 

Exploration: Deux chiffres PAIRS au départ

3 cas se présentent

a) 1 chiffre x 1 chiffre = 1 chiffre

p.p = p

=> pair

2 x 4 = 8

b1) 1 chiffre x 1 chiffre = 2 chiffres

p.p = pp

=> deux pairs

6 x 4 = 24

b2) 1 chiffre x 1 chiffre = 2 chiffres

p.p = ip

=> dizaine impair, unité pair

2 x 8 = 16

 

Conclusion: Seule possibilité pour un impair:

*    Être le chiffre des dizaines, ou

*    coincé entre deux pairs unités.

 

Seule possibilité: pip

 

 

Deux chiffres PAIR & IMPAIR au départ

3 cas se présentent

a) 1 chiffre x 1 chiffre = 1 chiffre

i.p = p

p.i = p

=> pair

3 x 2 = 6

b1) 1 chiffre x 1 chiffre = 2 chiffres

i.p = pp

=> deux pairs

3 x 8 = 24

b2) 1 chiffre x 1 chiffre = 2 chiffres

i.p = ip

=> dizaine impaire, unité paire

3 x 4  = 12

 

Conclusion: Seule possibilité pour un impair:

*    Être le chiffre des dizaines, ou

*    coincé entre deux pairs unités.
 

Seule possibilité: pip

 

 

Deux chiffres IMPAIRS au départ

3 cas se présentent

a) 1 chiffre x 1 chiffre = 1 chiffre

i.i = i

=> impair

Sauf avec la suite 1, 1, tôt ou tard, on trouvera un résultat à deux chiffres et on sera dans le cas b1 ou b2.

3 x 3 = 9

b1) 1 chiffre x 1 chiffre = 2 chiffres

i.i = ii

=> deux impairs

Là aussi, il adviendra un moment où une multiplication donnera deux chiffres dont l'un pair, soit le cas b2

5 x 7 = 35

b2) 1 chiffre x 1 chiffre = 2 chiffres

i.i = pi

=> dizaine impaire, unité paire

Dans ce cas, le "germe" pair est injecté, et, à partir d'un certain moment, on se retrouve dans le cas d'un produit de deux chiffres non tous les deux impairs, vus ci-dessus.

3 x 7  = 21

 

Conclusion: Seule possibilité pour un impair:

Même en partant de deux chiffres impairs, la suite ne comportera pas deux chiffres impairs successifs

À partir d'un certain moment, les seuls impairs seront en position de dizaine, suite à une multiplication donnant deux chiffres.

 

Seule possibilité: pip

 

 

Conclusion générale: Seule possibilité pour un impair:

À partir d'un certain moment, les seuls impairs seront en position de dizaine, suite à une multiplication donnant deux chiffres

Seule possibilité: pip

 

 

 

Propriétés

 Cas du 9

 

Dizaine

Le plus grand produit est:

9 x 9 = 81

Le 9 sera jamais engendré en tant que dizaine.

Unité

Seuls produits se terminant par 9:

3 x 3 = 9

7 x 7 = 49

Impossible, car une succession de deux impairs n'existe pas.

Le 9 sera jamais engendré en tant qu'unité.

 

À partir d'un certain rang, le 9 n'existe pas dans la suite.

 

Cas du 7

 

Dizaine

Le seul produit donnant 7 en dizaine

9 x 8 = 72

Or le 9 n'existe pas

Le 7 sera jamais engendré en tant que dizaine.

Unité

Seuls produits se terminant par 7

3 x 9 = 27

Or le 9 n'existe pas.

Le 7 sera jamais engendré en tant qu'unité.

 

À partir d'un certain rang, le 7 n'existe pas dans la suite.

 

Cas du 5

 

Dizaine

Seuls produits donnant 5 en dizaine

6 x 9 = 54

7 x 8 = 56

Or 7 et 9 n'existent pas

Le 5 sera jamais engendré en tant que dizaine.

Unité

Seuls produits se terminant par 5

n x 5 = …5

Le 5 sera jamais engendré en tant qu'unité que s'il est un des deux chiffres du départ.

 

Le 5 n'existe que s'il y est au départ.

Alors il n'y aura pas de 0 non plus.

Mais si le 5 est présent alors les 5 et 0 sont très nombreux

 

Voir les exemples

 

 

Historique

 

Hugo Dyonizy STEINHAUS

1887 – 1972

Polonais

 

Il a écrit : cent problèmes élémentaires de mathématiques résolus (1965).

Il est connu pour ses suites itératives et pour ses réseaux, et aussi pour le théorème de Banach-Steinhaus en topologie.

Voir: Irrégularité des distributions limitée à 17.

 

Voir site sur sa Biographie

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Exemples de suites de Steinhaus

Voir

*         Boucle infernale

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

*         GéométrieIndex

Références

Cette page est largement inspirée du livre de Jean-Pierre Boudine

La géométrie de la chambre à air.

Particulièrement intéressant et abordable par tous. Fait le tour d'un grand nombre de sujets mathématiques d'actualité. Ce sujet est peu abordé sur les sites Internet et dans la littérature.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Steinhau.htm