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Suite Q d'Hofstadter

 

Sommaire de cette page

>>>  Douglas Richard Hofstadter

>>> Suite Q d’Hofstadter

>>> Programmation

>>> Extrait du livre d'Hofstadter

 

 

 

 

SUITE Q d'HOFSTADTER

 

Une suite originale sur le modèle de celle de Fibonacci. Elle a été introduite par Hofstadter dans son livre célèbre: Gödel, Bach et Escher. Nous traitons de la suite Q; il en existe d'autres comme la suite G (Voir les références in fine).

 

Douglas Richard Hofstadter (né en 1945)

 

Auteur du livre incroyable et volumineux: Gödel, Escher et Bach (1979). Livre que l'on peut télécharger sur Internet.

 

"Tous les vingt ou trente ans un auteur inconnu nous offre un livre dont la profondeur, la clarté, la portée, l'humour, la beauté et l'originalité le font immédiatement reconnaître comme un événement littéraire majeur. Gödel Escher Bach est l'un de ces livres."

Martin Gardner, Scientific American

 

Loi de Hofstadter  ou du glissement de planning

Il faut toujours plus de temps que prévu, même en tenant compte de la Loi de Hofstadter.

Très  souvent exacte en recherche et développement, notamment de logiciel.

Voir Loi de Murphy

 

 

Suite Q d’Hofstadter

 

Définition

Q(1) = Q(2) = 1

Pour n > 2 :

Q(n) = Q{ n – Q(n – 1) } + Q{ n – Q(n – 2) }

 

Principe

Suite du même type que celle de Fibonacci, mais au lieu d’appeler les nombres précédents, celle-ci fait appel à un calcul sur les rangs précédents.

En fait, on ne connait pas grand-chose du comportement de cette suite.

Elle semble assez erratique ; plutôt croissante, mais avec de nombreux retours en arrière.

 

 

Formation

 

Q(3) = Q(3 – Q(2)) + Q(3 – Q(1))

         = Q(3 – 1) + Q(3 – 1)

         = Q(2) + Q(2) = 2

 

Q(4) = Q(4 – Q(3)) + Q(4 – Q(2))

         = Q(4 – 2) + Q(4 – 1)

         = Q(2) + Q(3) = 3

 

 

 

Programme Maxima

 

 

Commentaires

La suite H est initialisée avec les deux premières valeurs.

Boucle d’itération en i des calculs.

Calcul des indices r1 et r2.

Calcul du nouveau nombre h.

Introduction d ce nouveau nombre dans la liste H.

Impression

Note : la boucle for se termine doublement avec une parenthèse fermée et le symbole $

 

Résultat du traitement.

Voir ProgrammationIndex

 

 

Les 200 premiers nombres de la suite Q d’Hofstadter

[1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 16, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 20, 17, 17, 20, 21, 19, 20, 22, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 32, 24, 25, 30, 28, 26, 30, 30, 28, 32, 30, 32, 32, 32, 32, 40, 33, 31, 38, 35, 33, 39, 40, 37, 38, 40, 39, 40, 39, 42, 40, 41, 43, 44, 43, 43, 46, 44, 45, 47, 47, 46, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 64, 41, 52, 54, 56, 48, 54, 54, 50, 60, 52, 54, 58, 60, 53, 60, 60, 52, 62, 66, 55, 62, 68, 62, 58, 72, 58, 61, 78, 57, 71, 68, 64, 63, 73, 63, 71, 72, 72, 80, 61, 71, 77, 65, 80, 71, 69, 77, 75, 73, 77, 79, 76, 80, 79, 75, 82, 77, 80, 80, 78, 83, 83, 78, 85, 82, 85, 84, 84, 88, 83, 87, 88, 87, 86, 90, 88, 87, 92, 90, 91, 92, 92, 94, 92, 93, 94, 94, 96, 94, 96, 96, 96, 96, 96, 96, 128, 72, 96, 115, 100, 84, 114, 110, 93]

 

Liste des non-Q-Hofstadter jusqu’à 100

[7, 13, 15, 18, 27, 29, 34, 36, 49, 51, 59, 67, 70, 74, 81, 89, 95, 97, 98, 99]

 

 

Comportement – Chaque courbe représente une tranche de 20 valeurs

 

 

 Extrait du livre d'Hofstadter

 

 

 

Suite

*         Exemples de suites de Steinhaus

Voir

*         Boucle infernale

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

*         GéométrieIndex

Sites

*         Suites de Douglas Hofstadter – Jeux et Mathématiques – Jean-Paul Davalan

*         Hofstadter – Wikipédia – Avec d'autres suites du même type

*         Hofstadter sequence – Wikipedia

*         Hofstadter G-Sequence – Wolfram MathWorld

*         OEIS A005185 – Hofstadter Q-sequence: a(1) = a(2) = 1; a(n) = a(n-a(n-1)) + a(n-a(n-2)) for n > 2.

*         OEIS A005206 – Hofstadter G-sequence: a(n) = n - a(a(n-1))

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Hofstadt.htm