NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 10/05/2006

 

 

Débutants

- Ý -  Nombre séquence

Glossaire

Sommaire de cette page

 

>>> PROCÉDURE

>>> NOMBRES DE KEITH

>>> PROPRIÉTÉS DES NOMBRES DE KEITH

>>> EXPLORATION

 

Pages voisines

 

§    Fibonacci

§    Syracuse

§    Pascal


 

 

NOMBRE DE KEITH

ou Repfigit

 

Séquence du type Fibonacci

qui met en évidence des nombres particuliers

du genre des nombres premiers

 

Cas avec 15 comme racine

Séquence de Keith

1

5

6

11

17

28

Calculs

1

+ 5

= 6

 

 

 

 

 

5

+ 6

= 11

 

 

 

 

 

6

+ 11

= 17

 

 

 

 

 

11

+ 17

= 28

 

Note: Mike Keith a aussi largement étudié le nombre 666, parfois appelé nombre de Keith

 

 

 

-Ý-   PROCÉDURE

Séquence de Keith

§       Choisir un nombre

15

 

§       Il a deux chiffres

 

1, 5

§       Nous effectuons la somme des deux chiffres

1 + 5 = 6

 

§       La séquence se présente comme suit:

 

1, 5, 6

§       Puis, nous effectuons la somme des deux derniers nombres

5 + 6 = 11

 

§       Et ajoutons ce nombre à la séquence

 

1, 5, 6, 11

§       Un de plus

 

1, 5, 6, 11, 17

Dans cette séquence, le 15 d'origine ne figure pas parmi les nombres trouvés

 

Lorsque le nombre figure dans la séquence, c'est un nombre de Keith

 

Nombre de Keith

§       Choisir un nombre

197

 

§       Il a trois chiffres

 

1, 9, 7

§       Nous effectuons la somme des trois chiffres

1+9+7 = 17

 

§       La séquence se présente comme suit:

 

1, 9, 7, 17

§       Somme des trois derniers nombres

9+7+17 =33

 

§       Et ajoutons ce nombre à la séquence

 

1, 9, 7, 17, 33

§       Etc.

1, 9, 7, 17, 33, 57

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107

§       Bingo!

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197

 

-Ý-   NOMBRES DE KEITH

Nombres de Keith et nombres de Keith premiers

14

19

28

47

61

75

 

197

742

 

 

 

 

 

1 104

1 537

2 208

2 580

3 684

4 788

7 385

 

7 647

7 909

 

 

 

 

31 331

34 285

34 348

66 604

62 662

86 935

93 993

120 284

129 106

147 940

156 146

174 680

183 186

298 320

 

355 419

694 280

925 993

 

 

 

1 084 051

7 913 837

 

 

 

 

 

 74 596 893 730 427 

Voir Nombres premiers

 

 

-Ý-   PROPRIÉTÉS DES NOMBRES DE KEITH

 

§      Il n'existe pas de formule ou méthode pour trouver les nombres de Keith

§      Seule la recherche exhaustive (un par un) est possible

§      Ils sont plus rares que les nombres premiers

Ø     Il y en a 52 jusqu'à 1015

Ø     Il y en a 71 jusqu'à 1019

¨     Ils sont sans doute en nombre infini, mais ce n'est pas prouvé

§      Il n'y a pas de nombre de Keith à 10 chiffres

 

-Ý-   EXPLORATION

Travaux pratiques sur tableur

§       Il est facile de trouver les premiers nombres de Keith à l'aide d'un tableur

ü      Prenez le 10

Ø      mettre 1 dans une cellule et 0 dans celle de droite

Ø      dans la suivante de droite, faire la somme des deux de gauche: A1 + B1

Ø      recopiez la formule vers les cellules de droite

ü      En dessous du 1 et 0 de 10, placez les valeurs pour les nombres suivants: 12, 13 …

Ø      marquez toutes les cellules (ici en jaune)

Ø      recopiez cette ligne vers le bas autant que nécessaire

§       ATTENTION avec un nombre à 3 chiffres, la somme doit avoir trois termes

ü      Et, d'une manière générale n chiffres, n termes

 

 

A

B

C

D

E

1

1

0

A1 + B1

Recopie de formule de C1

Etc.

2

1

1

 

 

 

3

1

2

 

 

 

 

 

 

A

B

C

D

E

1

1

0

A1 + B1

recopie de formule de C1

Etc.

2

1

1

Recopie de formules sur la ligne en jaune

sur toutes les lignes au-dessous

3

1

2

 

Tableau des séquences de Keith et nombres de Keith

10                1      0      1        1        2        3          5          8          13        21

11                1      1      2        3        5        8          13        21        34        55

12                1      2      3        5        8        13        21        34        55        89

13                1      3      4        7        11      18        29        47        76        123

14                1      4      5        9        14      23        37        60        97        157

15                1      5      6        11      17      28        45        73        118       191

16                1      6      7        13      20      33        53        86        139       225

17                1      7      8        15      23      38        61        99        160       259

18                1      8      9        17      26      43        69        112       181       293

19                1      9      10       19      29      48        77        125       202       327

20                1      0      1        1        2        3          5          8          13        21

21                2      1      3        4        7        11        18        29        47        76

22                2      2      4        6        10      16        26        42        68        110

23                2      3      5        8        13      21        34        55        89        144

24                2      4      6        10      16      26        42        68        110       178

25                2      5      7        12      19      31        50        81        131       212

26                2      6      8        14      22      36        58        94        152       246

27                2      7      9        16      25      41        66        107       173       280

28                2      8      10       18      28      46        74        120       194       314

29                2      9      11       20      31      51        82        133       215       348

                                                                                                            

195       1      9      5      15       29      49      93        171      313       577       1061

196       1      9      6      16       31      53      100       184      337       621       1142

197       1      9      7      17       33      57      107       197      361       665       1223

198       1      9      8      18       35      61      114       210      385       709       1304

199       1      9      9      19       37      65      121       223      409       753       1385

 

 

 

Autres explorations

§       Si les chiffres de N sont a et b

§       On peut chercher les nombres dans les séquences

Ø      a + b => N  nombres de Keith

Ø      a² + b²  => N ou N²

Ø      Ö (a² + b²) = N ou Entier

Ø      a x b  = N ou N²

Ø      Etc.

 

Exemple avec Ö (a² + b²) = Entier

§       Cas où N= 19

Ø      1² + 9² = 82 => Ö82 = 9,05

Ce nombre n'est pas entier

Ø      9² + 9,05² => 9² + 82 = 163 =>  Ö163 = 12,76

Toujours pas un entier

Ø      Etc.

Ø      Jusqu'à la 9e somme qui donne 4 489 et
sa racine est le nombre entier 67

§       Voici le tableau complet

Ø      La première ligne donne les racines carrées

Ø      Les lignes suivantes montrent les calculs successifs

 

1        9     9,05    12,76    15,65    20,19    25,55    32,57       41,40       52,67       67

    + 9²    = 82                                                                                               

              + 82    = 163                                                                                   

                   82    + 163    = 245                                                                       

                             163    + 245    = 408                                                           

                                         245    + 408    = 653                                               

                                                     408    + 563    = 1 061                                

                                                                 563    + 1 061    = 1 714                  

                                                                              1 061    + 1 714    = 2 775   

                                                                                            1 714    + 2 775    = 4 489

§       Voici la liste des premiers cas avec la notation suivante

19967  = > racine 19, il faut 9 sommes, le nombre entier trouvé est 67

¨      1011  1021  101212

¨      111012

¨      1223

¨      13923

¨      19967

¨      2011  2021  201212

¨      221024

¨      2426

¨      26946

¨      3013  3023   301236

¨      31919

¨      Etc.

Ø      Il y en a 58 pour une racine de 10 à 99

 

 


 

-Ý-

Voir

§    Fibonacci

§    Syracuse

§    Pascal

 

Site

§    Keith Number de MATHWORLD

§    Keith Number de MIKE KEITH avec la liste des nombres de Keith

§    Keith number de WIKIPEDIA

§    Keithing to 2002 de PATRICK DE GEEST