NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Procédure: séquence de Keith

>>> Procédure: nombre de Keith

>>> Nombres de Keith

>>> Propriétés des nombres de Keith

>>> Exploration avec tableur

>>> Autres explorations

>>> Programmation

 

 

 

 

 

NOMBRE DE KEITH

ou Repfigit

 

Séquence du type Fibonacci qui met en évidence des nombres particuliers du genre des nombres premiers.

 

Exemple avec 15 comme racine

Séquence de Keith

1

5

6

11

17

28

Calculs

1

+ 5

= 6

 

 

 

 

 

5

+ 6

= 11

 

 

 

 

 

6

+ 11

= 17

 

 

 

 

 

11

+ 17

= 28

 

Note: Mike Keith a aussi largement étudié le nombre 666, parfois appelé nombre de Keith

 

 

 

Procédure: séquence de Keith

Choisir un nombre:

15

 

Il a deux chiffres.

 

1, 5

Nous effectuons la somme des deux chiffres.

1 + 5 = 6

 

La séquence se présente comme suit:

 

1, 5, 6

Puis, nous effectuons la somme des deux derniers nombres:

5 + 6 = 11

 

Et ajoutons ce nombre à la séquence:

 

1, 5, 6, 11

Un de plus.

 

1, 5, 6, 11, 17

 

Dans cette séquence, le 15 d'origine ne figure pas parmi les nombres trouvés. Lorsque le nombre figure dans la séquence, c'est un nombre de Keith.

 

 

Procédure: nombre de Keith

Choisir un nombre:

197

 

Il a trois chiffres.

 

1, 9, 7

Nous effectuons la somme des trois chiffres.

1+9+7 = 17

 

La séquence se présente comme suit:

 

1, 9, 7, 17

Somme des trois derniers nombres.

9+7+17 =33

 

Et ajoutons ce nombre à la séquence:

 

1, 9, 7, 17, 33

§  Etc.

1, 9, 7, 17, 33, 57

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107

§  Bingo!

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197

 

Nombre de Keith: nombre de la suite de Keith qui aussi sa racine (supérieur à 9).

 

 

 

Nombres de Keith & Premiers de Keith

 

14

19

28

47

61

75

 

197

742

 

 

 

 

 

1 104

1 537

2 208

2 580

3 684

4 788

7 385

 

7 647

7 909

 

 

 

 

31 331

34 285

34 348

66 604

62 662

86 935

93 993

120 284

129 106

147 940

156 146

174 680

183 186

298 320

 

355 419

694 280

925 993

 

 

 

1 084 051

7 913 837

 

 

 

 

 

 74 596 893 730 427 

 

Liste des nombres de Keith

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607 …

 

Liste des nombres premiers de Keith

[19, 47, 61, 197, 1084051 …

Voir Nombres premiers

 

 

Propriétés des nombres de Keith

Il n'existe pas de formule ou méthode pour trouver les nombres de Keith.

Seule la recherche exhaustive (un par un) est possible.

Ils sont plus rares que les nombres premiers.

*    Il y en a 52 jusqu'à 1015

*    Il y en a 71 jusqu'à 1019

*    Ils sont sans doute en nombre infini, mais ce n'est pas prouvé;

*    Il n'y a pas de nombre de Keith à 10 chiffres.

 

 

 

Exploration – Travaux pratiques sur tableur

 

Il est facile de trouver les premiers nombres de Keith à l'aide d'un tableur.

Prenez le 10:

*    mettre 1 dans une cellule et 0 dans celle de droite;

*    dans la suivante de droite, faire la somme des deux de gauche: A1 + B1;

*    recopiez la formule vers les cellules de droite.

 

 

 

A

B

C

D

E

1

1

0

A1 + B1

Recopie de formule de C1

Etc.

2

1

1

 

 

 

3

1

2

 

 

 

 

 

 

A

B

C

D

E

1

1

0

A1 + B1

recopie de formule de C1

Etc.

2

1

1

Recopie de formules sur la ligne en jaune

sur toutes les lignes au-dessous

3

1

2

En dessous du 1 et 0 de 10, placez les valeurs pour les nombres suivants: 12, 13 …

*    marquez toutes les cellules (ici en jaune)

*    recopiez cette ligne vers le bas autant que nécessaire

 

ATTENTION avec un nombre à 3 chiffres, la somme doit avoir trois termes.

Et, d'une manière générale n chiffres, n termes.

 

Tableau des séquences de Keith et nombres de Keith

10           1    0    1      1      2      3       5       8       13     21

11           1    1    2      3      5      8       13     21     34     55

12           1    2    3      5      8      13     21     34     55     89

13           1    3    4      7      11   18     29     47     76     123

14           1    4    5      9      14   23     37     60     97     157

15           1    5    6      11   17   28     45     73     118   191

16           1    6    7      13   20   33     53     86     139   225

17           1    7    8      15   23   38     61     99     160   259

18           1    8    9      17   26   43     69     112   181   293

19           1    9    10    19   29   48     77     125   202   327

20           1    0    1      1      2      3       5       8       13     21

21           2    1    3      4      7      11     18     29     47     76

22           2    2    4      6      10   16     26     42     68     110

23           2    3    5      8      13   21     34     55     89     144

24           2    4    6      10   16   26     42     68     110   178

25           2    5    7      12   19   31     50     81     131   212

26           2    6    8      14   22   36     58     94     152   246

27           2    7    9      16   25   41     66     107   173   280

28           2    8    10    18   28   46     74     120   194   314

29           2    9    11    20   31   51     82     133   215   348

                                                                                     

195   1    9    5    15    29   49   93     171   313   577         1061

196   1    9    6    16    31   53   100   184   337   621         1142

197   1    9    7    17    33   57   107   197   361   665         1223

198   1    9    8    18    35   61   114   210   385   709         1304

199   1    9    9    19    37   65   121   223   409   753         1385

 

 

 

 

Autres explorations

Si les chiffres de N sont a et b, on peut chercher les nombres dans les séquences:

*    a + b => N  nombres de Keith

*    a² + b²  => N ou N²

*    Ö (a² + b²) = N ou Entier

*    a x b  = N ou N²

*    etc.

Exemple avec  (a² + b²) = Entier

Cas où N= 19

*    1² + 9² = 82 => Ö82 = 9,05

Ce nombre n'est pas entier

*    9² + 9,05² => 9² + 82 = 163 =>  Ö163 = 12,76

Toujours pas un entier

*    Etc.

*    Jusqu'à la 9e somme qui donne 4 489 et
sa racine est le nombre entier 67

Voici le tableau complet

*    La première ligne donne les racines carrées

*    Les lignes suivantes montrent les calculs successifs

 

1      9  9,05 12,76         15,65          20,19  25,55  32,57  41,40        52,67         67

  + 9² = 82                                                                          

        + 82 = 163                                                                        

                82 + 163         = 245                                                              

                        163          + 245          = 408                                          

                                  245          + 408            = 653                               

                                           408          + 563  = 1 061                           

                                                     563            + 1 061           = 1 714             

                                                               1 061           + 1 714       = 2 775     

                                                                 1 714      + 2 775      = 4 489

Voici la liste des premiers cas avec la notation suivante.

19967  = > racine 19, il faut 9 sommes, le nombre entier trouvé est 67

¨     1011  1021  101212

¨     111012

¨     1223

¨     13923

¨     19967

¨     2011  2021  201212

¨     221024

¨     2426

¨     26946

¨     3013  3023   301236

¨     31919

¨     Etc.

Il y en a 58 pour une racine de 10 à 99

 

 

Programmation

 

Commentaires

Procédure nommée Keith pour le nombre n.

On élimine les  nombres de 0 à 9 qui sont Keith triviaux.

On place les chiffres de n dans L et dans le bon ordre avec q qui donne la quantité de chiffres.

Tant que (while) vrai (true) n'est pas trouvé, on calcule la somme des q derniers chiffres de L (d'où le (-i)) et on ajoute cette valeur à la liste L.

Si cette valeur s est égale au nombre de départ on déclare la procédure vraie (true). Le prochain calcul va donner s > n et un retour faux, ce qui stoppe la boucle.

Notez que l'on teste d'abord si s>n puis sinon (elif) si s = n.

 

Le programme principal ouvre une liste K et déroule une boucle pour les nombres n de 1 à 100.

Si le retour de Keith(n) est vrai (sous-entendu), alors on ajoute n à la liste K.

 

Résultat de traitement imprimé en bleu.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Suite

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*    Récurrence

*    Théorie des nombres

Sites

*      Keith Numbers – Mike Keith

*      OEIS A007629Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) numbers (or Keith numbers)

*      Keith Number de Mathworld

*      Keith number de Wikipedia

*    Keithing to 2002 de Patrick De Geest

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Keith.htm