nombres de Keith

§ Choisir un nombre	15
§ Il a deux chiffres		1, 5
§ Nous effectuons la somme des deux chiffres	1 + 5 = 6
§ La séquence se présente comme suit:		1, 5, 6
§ Puis, nous effectuons la somme des deux derniers nombres	5 + 6 = 11
§ Et ajoutons ce nombre à la séquence		1, 5, 6, 11
§ Un de plus		1, 5, 6, 11, 17
Dans cette séquence, le 15 d'origine ne figure pas parmi les nombres trouvés Lorsque le nombre figure dans la séquence, c'est un nombre de Keith

Nombre de Keith

§ Choisir un nombre	197
§ Il a trois chiffres		1, 9, 7
§ Nous effectuons la somme des trois chiffres	1+9+7 = 17
§ La séquence se présente comme suit:		1, 9, 7, 17
§ Somme des trois derniers nombres	9+7+17 =33
§ Et ajoutons ce nombre à la séquence		1, 9, 7, 17, 33
§ Etc.	1, 9, 7, 17, 33, 57 1, 9, 7, 17, 33, 57, 107
§ Bingo!	1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197

-Ý- NOMBRES DE KEITH

Nombres de Keith et nombres de Keith premiers

14	19	28	47	61	75
197	742
1 104	1 537	2 208	2 580	3 684	4 788	7 385
	7 647	7 909
31 331	34 285	34 348	66 604	62 662	86 935	93 993
120 284	129 106	147 940	156 146	174 680	183 186	298 320
	355 419	694 280	925 993
1 084 051	7 913 837
… 74 596 893 730 427 …

Voir Nombres premiers

-Ý- PROPRIÉTÉS DES NOMBRES DE KEITH

§ Il n'existe pas de formule ou méthode pour trouver les nombres de Keith

§ Seule la recherche exhaustive (un par un) est possible

§ Ils sont plus rares que les nombres premiers

Ø Il y en a 52 jusqu'à 10¹⁵

Ø Il y en a 71 jusqu'à 10¹⁹

¨ Ils sont sans doute en nombre infini, mais ce n'est pas prouvé

§ Il n'y a pas de nombre de Keith à 10 chiffres

-Ý- EXPLORATION

Travaux pratiques sur tableur

§ Il est facile de trouver les premiers nombres de Keith à l'aide d'un tableur

ü Prenez le 10

Ø mettre 1 dans une cellule et 0 dans celle de droite

Ø dans la suivante de droite, faire la somme des deux de gauche: A1 + B1

Ø recopiez la formule vers les cellules de droite

ü En dessous du 1 et 0 de 10, placez les valeurs pour les nombres suivants: 12, 13 …

Ø marquez toutes les cellules (ici en jaune)

Ø recopiez cette ligne vers le bas autant que nécessaire

§ ATTENTION avec un nombre à 3 chiffres, la somme doit avoir trois termes

ü Et, d'une manière générale n chiffres, n termes

	A	B	C	D	E
1	1	0	A1 + B1	Recopie de formule de C1	Etc.
2	1	1
3	1	2

	A	B	C	D	E
1	1	0	A1 + B1	recopie de formule de C1	Etc.
2	1	1	Recopie de formules sur la ligne en jaune sur toutes les lignes au-dessous
3	1	2

Tableau des séquences de Keith et nombres de Keith

10 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

11 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

12 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

13 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123

14 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157

15 1 5 6 11 17 28 45 73 118 191

16 1 6 7 13 20 33 53 86 139 225

17 1 7 8 15 23 38 61 99 160 259

18 1 8 9 17 26 43 69 112 181 293

19 1 9 10 19 29 48 77 125 202 327

20 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

21 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76

22 2 2 4 6 10 16 26 42 68 110

23 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

24 2 4 6 10 16 26 42 68 110 178

25 2 5 7 12 19 31 50 81 131 212

26 2 6 8 14 22 36 58 94 152 246

27 2 7 9 16 25 41 66 107 173 280

28 2 8 10 18 28 46 74 120 194 314

29 2 9 11 20 31 51 82 133 215 348

…

195 1 9 5 15 29 49 93 171 313 577 1061

196 1 9 6 16 31 53 100 184 337 621 1142

197 1 9 7 17 33 57 107 197 361 665 1223

198 1 9 8 18 35 61 114 210 385 709 1304

199 1 9 9 19 37 65 121 223 409 753 1385

Autres explorations

§ Si les chiffres de N sont a et b

§ On peut chercher les nombres dans les séquences

Ø a + b => N nombres de Keith

Ø a² + b² => N ou N²

Ø Ö (a² + b²) = N ou Entier

Ø a x b = N ou N²

Ø Etc.

Exemple avec Ö (a² + b²) = Entier

§ Cas où N= 19

Ø 1² + 9² = 82 => Ö82 = 9,05

Ce nombre n'est pas entier

Ø 9² + 9,05² => 9² + 82 = 163 => Ö163 = 12,76

Toujours pas un entier

Ø Etc.

Ø Jusqu'à la 9^e somme qui donne 4 489 et
sa racine est le nombre entier 67

§ Voici le tableau complet

Ø La première ligne donne les racines carrées

Ø Les lignes suivantes montrent les calculs successifs

1 9 9,05 12,76 15,65 20,19 25,55 32,57 41,40 52,67 67

1² + 9² = 82

9² + 82 = 163

82 + 163 = 245

163 + 245 = 408

245 + 408 = 653

408 + 563 = 1 061

563 + 1 061 = 1 714

1 061 + 1 714 = 2 775

1 714 + 2 775 = 4 489

§ Voici la liste des premiers cas avec la notation suivante

19₉67 = > racine 19, il faut 9 sommes, le nombre entier trouvé est 67

¨ 10₁1 10₂1 10₁₂12

¨ 11₁₀12

¨ 12₂3

¨ 13₉23

¨ 19₉67

¨ 20₁1 20₂1 20₁₂12

¨ 22₁₀24

¨ 24₂6

¨ 26₉46

¨ 30₁3 30₂3 30₁₂36

¨ 31₉19

¨ Etc.

Ø Il y en a 58 pour une racine de 10 à 99

-Ý-

Voir

§ Fibonacci

§ Syracuse

§ Pascal

Site

§ Keith Number de MATHWORLD

§ Keith Number de MIKE KEITH avec la liste des nombres de Keith

§ Keith number de WIKIPEDIA

§ Keithing to 2002 de PATRICK DE GEEST