NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 05/11/2006

 

-Ý- Rubrique: ITÉRATIONS, CYCLES

§           Suite de Fibonacci

§           Triangle de Pascal

§           Triangle de Leibniz

§           Procédé de Kaprekar

§           Cycle de Syracuse

§           Cycle des Carrés

§           Nombres Chanceux

§           Suite de Padovan

§           Suite de Steinhaus

 

Sommaire de cette page

 

>>> TRIANGLE DE LEIBNIZ ou Suite Harmonique

>>> CONSTRUCTION de la Suite Harmonique

>>> MOYENNE Harmonique

 

Pages voisines

§         Théorie des nombres

§         Calcul mental

§         Géométrie

§         Boucle infernale

 

  

 

-Ý- TRIANGLE DE LEIBNIZ ou Suite Harmonique

 

 

§        Harmonique parce que, en musique, si on coupe une corde en 2

on passe à l'octave au-dessus, en 3 à la quinte au-dessus, etc.

Voir Moyenne harmonique 

 

Divergente?

 

§        Nicole Oresme (1323-1382) a eu l'idée de cette factorisation dans laquelle chaque parenthèse est supérieure à 1/2.

§        Donc la suite diverge.

§        On peut la rendre aussi grande que l'on veut en prenant le nombre de parenthèses qu'il faut.

§        Cependant, pour ajouter 1/2 (ou à peu près), il faut doubler la quantité de nombres dans les parenthèses.

§        Il en faut beaucoup pour croître peu.

 

§        Pour arriver à 20 il faut:  272 400 600 nombres

 

-Ý- CONSTRUCTION de la Suite Harmonique

 

1/1

 

 

1/2

 

1/2

 

 

1/3

 

1/6

 

1/3

 

 

1/4

 

1/12

 

1/12

 

1/4

 

 

1/5

 

1/20

 

1/30

 

1/20

 

1/5

 

 

1/6

 

1/30

 

1/60

 

1/60

 

1/30

 

1/6

1/7

 

1/42

 

1/105

 

etc.

 

 

 

 

 

 

 

On liste la suite harmonique à gauche.

Chaque terme est la différence entre celui du dessus à gauche et celui qui est sur le même niveau à gauche:

1/3 - 1/4 = 1/12

 

Chaque terme est aussi la somme des deux nombres du dessous:

1/20 + 1/30 = 1/12

 

La somme d'une diagonale infinie donne le terme initial du dessus:

1/4 = 1/5 + 1/30 + 1/105 + ...

 

Relation avec le triangle de Pascal:

 

Chaque terme est égal à la fraction initiale à gauche,

divisé par les coefficients du triangle de Pascal.

 

 

Exemple pour 1/4:

Pascal

1

3

3

1

1/4 de Pascal

1/(4x1)

1/(4x3)

1/(4x3)

1/(4x1)

= Leibniz

= 1/4

= 1/12

= 1/12

= 1/4

 

Alors que le triangle de Pascal a beaucoup d'applications

(algèbre et probabilités),

 celui de Leibniz en a très peu.

 

Voir Triangle de Pascal

 

 

-Ý- MOYENNE Harmonique

Sa définition est la suivante:

1 / M = 1 / A + 1 / B

 

Utilisée pour les calculs avec des vitesses ou, en électricité pour les résistances.

 

 

Exemple:

 

Cas 1

Cas 2

Hypothèses

1h à 120 km/h

et 1h à 80 km/h

100 km à 120 km/h

et 100 km à 80 km/h

Calcul

200 km

200 km en T heures

 

en 2 h

T= 100/120 + 100/80

= 0,83 + 1,25 =2,08 h

Vitesse

V= 200/2 =100 km/h

V = 200/2,08 = 96 km/h

 

Rappel: Longueur = Vitesse. Temps

 

 

Curiosité (évidente!):

 

Soit 3 termes consécutifs de la série harmonique (1/4, 1/5, 1/6),

la moyenne harmonique des 2 extrêmes

est égale au terme du centre.

 

 

-Ý-