NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombre de Padovan

>>> Suite de Padovan 

>>> Illustration

>>> Construction avec des cubes

>>> Suite de Perrin

>>> Liste des nombre de Padovan – Programmation

>>> Padovan et Perrin en négatif

 

 

 

 

SUITE de PADOVAN

SUITE de PERRIN

Nombre plastique

 

Cousine de la suite de Fibonacci. Comme elle, la limite du rapport de deux termes successifs tend vers une constante; le nombre plastique: 1,324 … Remarquez cette coquetterie: le nombre commence par  les quatre premiers chiffres.

Richard Padovan (né en 1935) est un architecte.

Anglais: Padovan sequence / Perrin sequence / Plastic constant

 

 

NOMBRE DE PADOVAN

1,324 179 5...


Racine de F(x) = x3 – x – 1 

Nombre de Padovan.

Nombre dit " plastique ".

Moins connu que le nombre d'or, c'est pourtant son cousin.

 

Expression

 

Racine réelle

de x3 – x – 1

 

 

= 0,9869912062… + 0,3377267509…

 

Autres expressions

 

 

Rappel:

puissance 1/3

= racine cubique

 

 

Valeurs (100 décimales)

1,3247179572 4474602596 0908854478 0973407344 0405690173 3364534015 0503028278 5124554759 4054699347 9817872803 …

Voir aussi  Nombres d'argent

 

 

Suite de Padovan 

Nom

Suite de Fibonacci

Suite de Padovan

Définition par récurrence

FN + 1 = FN + FN – 1

PN + 1 = PN1  + PN – 2

Initialisation

avec F0 = F1 = 1

avec P0 = P1 = P2 =1

Liste des premiers nombres

1   1   3   5   8   13   21   34   55   89 

1   1   1   2   2   3   4   5   7   9   12   16   21   28   37   49 

 

Nombre de convergence

Nombre d'or

Nombre de Padovan

Valeur

1,618

1,324

Rapport

= FN+1 / FN

= PN+1 / PN

Équation

Racine de

² –  – 1   = 0

Racine de

p3 – p – 1  = 0

Équation équivalente

 

Propriétés

 

Propriété qui permet la construction de la spirale de Padovan.

Exemple

16 = 12 + 4

21 = 16 + 5

 

Exemple

16 = 2 + 1+1+1+2+2+3+4

     = 2 + 14

Voir tableau de famille complet en Famille Fibonacci 

 

 

Illustration – Spirale de Padovan

 

Avec : 1   1   1   2   2   3   4   5   7   9   12   16   21 …  

 

Les triangles équilatéraux ayant ces nombres pour côté s'enroulent en spirale. 


 

 

 

Construction avec des cubes

 

Une autre façon de construire la suite de Padovan consiste à utiliser des parallélépipèdes:

La diagonale des faces carrées successives forme une spirale qui reste dans le même plan.

Certains artistes ont utilisé cette propriété pour construire des sculptures (A. Saint George)

 

 

Longueur

2

2

2

3

4

Etc.

Largeur

1

2

2

2

3

 

Profondeur

1

1

2

2

2

 

 

 

 

Voir Les lapins, vie et mort

 

 

 

Suite de Perrin

 

Suite de Perrin

C'est une suite de Padovan en commençant avec:
P0 = 3, P1 = 0 et P2 = 2

 

Propriétes

La suite de Perrin converge vers la même constante que la suite de Padovan: 1, 324 …

 

Comme pour Padovan:
P(n+5) = P(n+4) + P(n)
           = 2 + somme de tous jusqu'à n

 

3,  0,  2,  3,  2,  5,  5,  7,  10,  12,  17,  22,  29,  39,  51,  68,  90,  119,  158,  209,  277,  367,  486,  644,  853,  1130,  1497,  1983,  2627,  3480,  4610,  6107,  8090,  10717,  14197,  18807,  24914,  33004,  43721,  57918,  76725,  101639,  134643,  178364,  236282,  313007...

 

Théorème trouvé par Lucas (1876), puis par Perrin

 

Si n est premier,

alors n divise exactement PN.

 

Pseudo-premier de Perrin

Par contre, on ne sait pas si n divisant PN, le nombre n est premier. Si c'est le cas, le nombre est appelé pseudo-premier de Perrin.

 

En 1991, Steven Arno trouve que, s'ils existent, ces pseudo-premiers ont plus de 15 chiffres. Faux!

 

En 1982, puis en 1996, les deux plus petits sont découverts (Adams et Shanks, Jeffrey Shallit, Robert Wilson).

 

Exemples

      n =  19, premier

or A19 = 209 = 19 x 11

 

Ce théorème est utilisé pour tester la non-primalité d'un nombre.

 

       n =18  et A18 = 158

or 158 / 18 = 8,7

=> 18 n'est pas premier.

 

Pseudo-premier de Perrin

Les deux plus petits:

271 441 et 904 631.

 

Les suivants:

16 532 714, 24 658 561, 27 422 714,

27 664 033, 46 672 291, 102 690 901 …

 

Voir Nombres pseudo-premiers 

Voir références en OEIS A013998 et Perrin sequence de Wolfram MathWorld

 

 

Nombres de Padovan pour n de 0 à 100

 

1,  1,  1,  2,  2,  3,  4,  5,  7,  9,  12,  16,  21,  28,  37,  49,  65,  86,  114,  151,  200,  265,  351,  465,  616,  816,  1081,  1432,  1897,  2513,  3329,  4410,  5842,  7739,  10252,  13581,  17991,  23833,  31572,  41824,  55405,  73396,  97229,  128801,  170625,  226030,  299426,  396655,  525456,  696081,  922111,  1221537,  1618192,  2143648,  2839729,  3761840,  4983377,  6601569,  8745217,  11584946,  15346786,  20330163,  26931732,  35676949,  47261895,  62608681,  82938844,  109870576,  145547525,  192809420,  255418101,  338356945,  448227521,  593775046,  786584466,  1042002567,  1380359512,  1828587033,  2422362079,  3208946545,  4250949112,  5631308624,  7459895657,  9882257736,  13091204281,  17342153393,  22973462017,  30433357674,  40315615410,  53406819691,  70748973084,  93722435101,  124155792775,  164471408185,  217878227876,  288627200960,  382349636061,  506505428836,  670976837021,  888855064897,  1177482265857 …

 

 

 

Programme Maple

 

Commentaires

Les trois nombres de départ sont mis à 1 et une liste est ouverte avec trois valeurs initiales à 1.

Boucle d'exploration e n de 3 à 1000.

Calcul de la nouvelle valeur qui est placée dans la liste à la suite de ceux qui y sont déjà.

Permutation des valeurs, prêts pour un nouveau calcul avec la même formule.

Impression de la liste, une fois les calculs terminés.

 

En bleu, le début de l'affichage.

 

Remarque

Pour les cracs: on aurait pu être plus concis en utilisant les valeurs dans la liste plutôt que de les nommer séparément.

 

Voir Programmation

 

 

Padovan et Perrin en négatif

1, 0, 1, 0, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 2, -2, 1, 1, -3, 4, -3, 0, 4, -7, 7, -3, -4, 11, -14, 10, 1, -15, 25, -24, 9, 16, -40, 49, -33, -7, 56, -89, 82, -26, -63 ...

3, -1, 1, 2, -3, 4, -2, -1, 5, -7, 6, -1, -6, 12, -13, 7, 5, -18, 25, -20, 2, 23, -43, 45, -22, -21, 66, -88, 67, -1, -87, 154, -155, 68, 86, -241, 309, -223, -18, 327, -550 ...

 

 

 

 

 

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Diconombre

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Sites

*    Suite de Padovan – Wikipédia

*    Padovan sequence – Wolfram MathWorld

*    Tales of a neglected number: the plastic number – Ian Stewart

*    Perrin numbers – Steve tate

*    OEIS A000931Padovan sequence

*    OEIS A001608 – Perrin sequence

*    OEIS A013998Unrestricted Perrin pseudoprimes.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Padovan.htm