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SUITE de PADOVAN SUITE de PERRIN Nombre plastique Cousine de la suite de Fibonacci. Comme elle, la limite du rapport
de deux termes successifs tend vers une constante; le nombre plastique: 1,324 … Remarquez cette coquetterie: le
nombre commence par les quatre
premiers chiffres. Richard Padovan (né en 1935)
est un architecte. |
Anglais: Padovan sequence / Perrin sequence /
Plastic constant
En bref
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Nombre plastique Une constante qui est l'unique racine réelle de
cette équation du troisième degré. |
= 1,324717957244746026… |
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Nombre de Padovan. Nombre
dit " plastique ". Moins
connu que le nombre d'or, c'est pourtant
son cousin. |
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Expression
Racine
réelle de
x3 – x – 1 |
= 0,9869912062… + 0,3377267509… |
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Autres expressions Rappel: puissance
1/3 |
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Racine continue |
Même type de racine
continue que pour le nombre d'or
avec racine cubique au lieu de racine
carrée. Évaluation avec cinq radicaux (racine cubique = puissance 1/3)
Convergence selon la quantité de radicaux
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Valeur 100 décimales |
1,3247179572 4474602596 0908854478 0973407344 0405690173
3364534015 0503028278 5124554759 4054699347 9817872803 … |
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Les trois racines |
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Voir aussi Nombres
d'argent / Brève
625
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Nom |
Suite de Fibonacci |
Suite de Padovan |
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Définition par récurrence |
FN + 1 = FN + FN – 1 |
PN + 1 = PN – 1 + PN – 2 |
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Initialisation |
avec
F0 = F1 = 1 |
avec
P0 = P1 = P2 =1 |
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Liste des
premiers nombres |
1
1 3 5
8 13 21
34 55 89
… |
1
1 1 2
2 3 4
5 7 9
12 16 21
28 37 49
… |
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Nombre
de convergence |
Nombre d'or |
Nombre de Padovan |
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Valeur |
1,618 |
1,324 |
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Rapport |
= FN+1 /
FN |
= PN+1 /
PN |
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Équation |
Racine de
|
Racine de p3 – p – 1 = 0 |
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Équation équivalente |
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Propriétés |
Propriété qui permet la construction de la spirale de Padovan. |
Exemple 16 = 12 + 4 21 = 16 + 5 |
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Exemple 16 = 2 + 1+1+1+2+2+3+4
= 2 + 14 |
Voir
tableau de famille complet en Famille Fibonacci / Super nombre d'or
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Avec
: 1
1 1 2
2 3 4
5 7 9
12 16 21 … Les triangles
équilatéraux ayant ces nombres pour côté s'enroulent en spirale.
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Une autre
façon de construire la suite de Padovan consiste à utiliser des parallélépipèdes: La
diagonale des faces carrées successives forme une spirale qui reste dans le
même plan. Certains
artistes ont utilisé cette propriété pour construire des sculptures (A. Saint
George) |
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Suite de Perrin C'est une
suite de Padovan en commençant avec: Propriétes La suite
de Perrin converge vers la même constante que la suite de Padovan: 1, 324 … Comme pour
Padovan: |
3,
0, 2, 3,
2, 5, 5,
7, 10, 12,
17, 22, 29,
39, 51, 68,
90, 119, 158,
209, 277, 367,
486, 644, 853,
1130, 1497, 1983,
2627, 3480, 4610,
6107, 8090, 10717,
14197, 18807, 24914,
33004, 43721, 57918,
76725, 101639, 134643,
178364, 236282, 313007... |
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Théorème trouvé par Lucas (1876), puis par Perrin Si n est premier, alors n divise exactement PN. Par
contre, on ne sait pas si n divisant PN,
le nombre n est premier. Si c'est le cas, le nombre est appelé pseudo-premier de Perrin. En 1991,
Steven Arno trouve que, s'ils existent, ces pseudo-premiers ont plus de 15
chiffres. Faux! En 1982,
puis en 1996, les deux plus petits sont découverts (Adams et Shanks, Jeffrey
Shallit, Robert Wilson). |
Exemples
n = 19,
premier or A19 = 209 = 19 x 11 Ce théorème est utilisé pour tester
la non-primalité
d'un nombre.
n =18 et A18 = 158 or 158 / 18 = 8,7 => 18 n'est pas premier. Pseudo-premier de Perrin Les
deux plus petits: Les
suivants:
16 532 714, 24 658 561, 27 422 714, 27 664 033, 46 672 291, 102 690 901 … |
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Voir Nombres pseudo-premiers
Voir références en OEIS A013998 et Perrin sequence de
Wolfram MathWorld
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1,
1, 1, 2,
2, 3, 4,
5, 7, 9,
12, 16, 21,
28, 37, 49,
65, 86, 114,
151, 200, 265,
351, 465, 616,
816, 1081, 1432,
1897, 2513, 3329,
4410, 5842, 7739,
10252, 13581, 17991,
23833, 31572, 41824,
55405, 73396, 97229,
128801, 170625, 226030,
299426, 396655, 525456,
696081, 922111, 1221537,
1618192, 2143648, 2839729,
3761840, 4983377, 6601569,
8745217, 11584946, 15346786,
20330163, 26931732, 35676949,
47261895, 62608681, 82938844,
109870576, 145547525, 192809420,
255418101, 338356945, 448227521,
593775046, 786584466, 1042002567,
1380359512, 1828587033, 2422362079,
3208946545, 4250949112, 5631308624,
7459895657, 9882257736, 13091204281, 17342153393, 22973462017, 30433357674, 40315615410, 53406819691, 70748973084, 93722435101, 124155792775, 164471408185, 217878227876, 288627200960, 382349636061, 506505428836, 670976837021, 888855064897, 1177482265857 …
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Programme Maple
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Commentaires Les trois
nombres de départ sont mis à 1 et une liste est ouverte avec trois valeurs
initiales à 1. Boucle
d'exploration e n de 3 à 1000. Calcul de la
nouvelle valeur qui est placée dans la liste à la suite de ceux qui y sont
déjà. Permutation
des valeurs, prêts pour un nouveau calcul avec la même formule. Impression de
la liste, une fois les calculs terminés. En bleu, le
début de l'affichage. Remarque Pour les cracs: on aurait pu être
plus concis en utilisant les valeurs dans la liste plutôt que de les nommer
séparément. |
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Voir Programmation
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1, 0, 1,
0, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 2, -2, 1, 1, -3, 4, -3, 0, 4, -7, 7, -3, -4, 11, -14,
10, 1, -15, 25, -24, 9, 16, -40, 49, -33, -7, 56, -89, 82, -26, -63 ... |
3, -1, 1, 2, -3, 4, -2, -1, 5, -7,
6, -1, -6, 12, -13, 7, 5, -18, 25, -20, 2, 23, -43, 45, -22, -21, 66, -88,
67, -1, -87, 154, -155, 68, 86, -241, 309, -223, -18, 327, -550 ... |
|
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Suite |
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Voir |
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Diconombre |
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Sites |
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