NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 28/06/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Suites & Séries

 

Débutants

Général

CLASSIQUES

 

Glossaire

Suites

 

 

INDEX

Suites

 

Général

Harmonique

Suite aliquote

Typiques

De Farey

Séquences numériques

1 / (1 – x)

De Martin-Löf

Thue Morse

xk / (xk – 1)

Engel

 

1 – 1 + 1 – 1 +

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Cas de 1 et 1/2

>>> Généralisation

>>> Cas de 1/10

>>> Inverse des puissances d'un nombre

>>> Développement

 

 

 

 

 

 

SÉRIES en 1 / (1 – x)

 

Notamment pour x < 1.

Voir DicoMot Maths – Suites et Séries

 

 

Approche

*    Quelle est la valeur de certaines sommes infinies?

*    Voyez le tableau. Curieux, non!

 

*         Avec du 1/3 on fabrique du 1/2;

*         Avec du 1/4 on fabrique du 1/3;

*        


 

Voir Fractions unitaires / Développement p-adiques

 

 

 

Cas de 1 et 1/2

*    Pas si paradoxal avec une bonne illustration.

 

*    Découpes successives du carré de côté 1:

 

1 = ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + …

 

 

*    Somme des inverses des puissances de 2.



*    Suite de puissances de ½

 

 

*    Démonstration par sommations:

On écrit la somme que l'on soustrait de son double.

 

 

 

 

 

Généralisation

 

Formulation

 

 

 

pour 0 < x < 1

Condition d'existence de S.

 


 

 

Identité utile: somme jusqu'à n

 

*    Soit la somme limitée au rang n:

Sn = 1 + x + x2 + … + xn

(1 – x) Sn + xn+1 = 1

ce qui donne:

 

Cette formule redonne celle trouvée ci-dessus pour xn+1 tendant vers zéro.

 

Exemple d'application avec x = ¼

*    En développant jusqu'à l'ordre n, il manqué exactement une fois l'ordre suivant (n+1)

pour faire 1:

Illustration avec x = ¼

                                   (Archimède)

 

La figure montre bien les écritures possibles pour 1:

 

1 = 3 x ¼ + ¼

 

1 = 3 x ¼ + 3 x 1/16 + 1/16

 

1 = 3 x ¼ + 3 x 1/16 + 3 x 1/64 + 1/64

 

1 = …

Voir Identités utiles

 

 

Valeurs

 

En mauve, le cycle des nombres périodiques

Voir  Nombres cycliques

 

Cas de 1/10 …

 

Cas où x = 1/10

 

 

 

= 1 /10 + 1/100 + 1/1 000 + 1/ 10 000 + …

= 0, 1 1 1 1 …

 

 

= 1 / 9

 

Multiplications

0,2222 …

0,3333 …

 

= 2 / 9

= 3 / 9

 

Cas où x = 1/100

 

 

 

= 1 /100 + 1/10 000 + …

= 0, 10 10 10 …

 

= 10 / 99

 

Multiplications

0,2020 …

0,3030 …

0,3535 …

 

= 20 / 99

= 30 / 99

= 35 / 99

 

Cas où x = 1/1000

 

= 1 /1 000 + 1/1 000 000 + …

= 0, 100 100 

 

= 100 / 999

 

Multiplications

0,200200 …

0,300300 …

0,305305 …

0,375375 …

 

= 200 / 999

= 300 / 999

= 305 / 999

= 375 / 999

 

 

Curiosité: Chassé-croisé de nombres

 

 

 

 

Somme des inverses des puissances d'un nombre

 

*    En prenant: x = 1 / a  


 

Suite convergence en  Formes en xn / xn+1

 

 

 

Développement: formules générales avec x < 1

 



 Voir Identités remarquables

 

 

 

 

Suite

*    Somme qui fou et encore plus fou

*    Voir en-tête pour autres suites

*    Spectre numérique d'un nombre

Voir

*    Achille et la tortue

*    Énigmes en séquence

*    Fractals

*    Fractions égyptiennes

*    GéométrieIndex

*    JeuxIndex

*    Séquences numériques

*    Série 1 + 2x + 3x² + ... 

*    Somme des entiers, des inverses…

*    Somme des entiers, des inverses…

*    Suite de la copie augmentée

*    Suite des inverses des premiers

*    Suite qui rend fou

*    Suites fractales

*    Théorie des nombresIndex

*    Triangle de Leibniz

Diconombre

*    1  /  1/2  /  1/3   /  1/4  /  1/9

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/Unsurx.htm