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Objets fractals

 

 

Sommaire de cette page

>>> Ensemble de Cantor

>>> Propriétés

 

 

 

 

 

 

 ENSEMBLE de CANTOR

Ensemble triadique de Cantor

 

 

Parmi plus simples fractales à dessiner, pas les moins paradoxales!

Anglais: Cantor's dust, Cantor' set,Cantor's triadic set

  

 

 

ENSEMBLE DE CANTOR

 

*              Prendre un segment, lui retirer son tiers central.

*              Prendre chacun des deux segments restants et leur retirer le tiers central.

*              Etc.

 

Etc.

 

 

*              En continuant, on forme une poussière de points.

*              Il y en a une infinité.

*              La longueur totale est nulle.

*              Ces propriétés paradoxales ont perturbé les mathématiciens du XIXe siècle.

*              Si vous lancer une fléchette sur une ligne des plus basses, la probabilité d'atteindre un tiret noir tend vers zéro, car la longueur cumulée des tirets tend vers zéro.

*              La quantité de tirets augmente pourtant jusqu'à devenir indénombrable comme l'infini des nombres réels.

 

Générateur:           3 segments de longueur 1/3

Longueur:            Nulle

Dimension:           log 2 / log 3 = 0,630 9...

 

*              Mandelbrot utilise cet ensemble comme modèle de probabilité d'erreurs sur les lignes de transmission électronique. Il avait observé qu'il y avait des bouffées d'erreurs, et non une continuité d'erreurs, et ce, à toutes les échelles de temps.

 

 

   

 

Propriétés

 

*              Ensemble étudié par Cantor en 1883.

*              Georg Cantor (1845-1918) : mathématicien allemand.

*              L'ensemble de Cantor est à l'origine de nombreuses figures fractales, le carré de Cantor, la courbe de Koch comme le tapis de Sierpinski.

 

*              En ternaire, la construction de cet ensemble consiste à supprimer le 1 central:

 

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

 

*              En géométrie, l'ensemble de Cantor représente les intervalles fermés successifs suivants sur la droite:

Retrait de 1/3

Retrait de 2 x 1/9 = 2/9

 

etc.

 

*              La somme des longueurs des segments retirés est égale à la longueur du segment d'origine.

 

C'est en effet, unaProgression

 géométrique

 de raison 2/3 avec 1/3 pour premier élément; la somme vaut (1/3) / (1-2/3) = 1.

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