NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Nombres

 

Sommaire de cette page

>>> NOMBRES

>>> Calculs

>>> Irrationnels

>>> Décimal

>>> Système métrique

>>> NOUVEAUX ESPACES

>>> Géométries

>>> Infinis

>>> STRUCTURATION

>>> Ensembles

>>> Ensemble des ensembles

>>> Théorie incomplète

>>> COMPLEXITÉ

>>> Fractales

>>> Chaos

>>> CONFINS

>>> Fermat-Wiles

 

 

 

 

 

 

Bouleversements & Crises

en MATHÉMATIQUES

 

 

Quelques découvertes étonnantes:

*    Qui ont fait progresser ou,

*    Qui ont remis en cause les certitudes de l'époque.

 

 

 

 

Puisque vous étudiez la géométrie et la trigonométrie, je vais vous soumettre un problème: un bateau vogue sur l'Océan. Il a quitté Boston avec un chargement de laine. Il jauge 200 tonneaux. Il se dirige vers Le Havre. Le grand mât est cassé, le garçon de cabine est sur le pont, il y a douze passagers à bord. Le vent souffle E-NE. L‘horloge marque 3h¼. On est au mois de mai. Quel est l'âge du capitaine?

Gustave Flaubert (1821-1880) dans une lettre à sa sœur (1841), se moque ici des problèmes posés aux élèves de son époque. En effet ce problème est ridicule et, évidemment insoluble. L'expression "l'âge du capitaine " est restée.

Voir Pensées & humour

 

 

 

NOMBRES

Cailloux

Calculs

*    Très loin dans le passé, pour "compter":

*    Les hommes enfermaient autant de cailloux (calculi)  dans une bourse d'argile.

*    Pour en connaître le contenu, l'idée vint de faire autant de marques sur l'extérieur.

*    Puis, on a abandonné les cailloux et adopté les marques.

*    La notation des nombres était née et
les
abaques à calculi avec eux.

 >>>

Nombres irrationnels

*    Pythagore et son école expliquaient le monde

*    avec les nombres entiers principalement

*    et aussi les rationnels.

Voir Décade de Pythagore

*    Quelle surprise de découvrir que:

*    la longueur de la diagonale du carré n'est pas exprimable par un nombre rationnel.

Romain: MCMXCIX

Décimal: 1999

*    Les chiffres romains étaient bien compliqués

*    pour compter, et

*    surtout, pour calculer.

*    Les Indiens et les Arabes connaissaient une méthode bien plus simple:

*    la numération de position

*    avec usage du zéro.

*    Il a fallu attendre les années 1300 pour adopter cette numération de position en Europe.

*    Et pas sans mal, dans un contexte de dispute entre

*    Les abacistes : chiffres romains et abaques, et

*    Les algoristes: calcul écrit et usage des chiffres arabes.

Puissance de dix

Système métrique

*    Utilisant une base 10 pour compter

*    Il est plus facile d'utiliser des unités en

*    multiples de 10, ou

*    diviseurs de 10.

*    C'est la Convention qui fait adopter le système métrique en France.

Voir Unités de longueur / Unités SI

 

 

 

Et les Américains?

Un des rares pays à être réfractaire au système métrique. Chez eux, il ya encore 12 pouces dans un pied, 36 pieds dans un yard et 1 760 yards dans un mile.

 

"J'ai la vague impression, bien que cela ne repose sur rien de concret, que ce qui empêche vraiment l'Amérique de passer au mètre, c'est le terrain de football américain, avec le sacro-saint quantum de la ligne des dix yards".

Natale Angier – Petit cours de sciences – Dunod

 

 

 

NOUVEAUX ESPACES

 

Géométries

Par un point ne passe qu'une seule droite parallèle à une autre.

 

La somme des angles du triangle est de 180°.

 

PAS toujours VRAIS!

*    Le 5e Postulat d' Euclide affirme:

Deux parallèles ne se rencontrent jamais.

*    Nicolaï Lobatchevski au XIXe siècle annonce:

*    On peut tout aussi bien accepter ou refuser le Postulat d'Euclide, et

*    Construire de nouvelles géométries dites non-euclidiennes.

 

 

Les infinis

 

 

 

Il y a une infinité d'infinis

*    Cette définition de Cantor n'est pas suffisante:

Ensemble : groupement d'objets bien distincts de notre intuition et de notre pensée.

*    L'infini des nombres pairs est-il plus petit que l'infini de tous les nombres, pairs et impairs ?

*    Ces deux ensembles sont "égaux" vis-à-vis de l'infini;

*    Ils sont équipotents;

*    Paradoxe de l'hôtel de Hilbert.

*    L'ensemble infini des nombres entiers est plus petit que l'ensemble infini des nombres réels.

*    Ces deux ensembles ne sont pas équipotents.

*    Il existe beaucoup de fractions; mais, il existe encore plus de nombres qui ne laissent pas mettre sous la forme de fractions.

*    Preuve de l'existence des nombres transcendants sans les expliciter: diagonale de Cantor.

*    Nouvelle arithmétique des divers types d'infinis: les transfinis.

 

 

STRUCTURATION

 

Les ensembles

Définition d'objets structurés ayant des "dénominateurs communs".

Tous possèdent les mêmes propriétés.

*    Galois à 20 ans et, en une nuit, il

*    simplifie les raisonnements en introduisant la notion de groupe, et

*    fait entrer l'algèbre dans sa phase moderne.

*    Regroupement de divers objets sous la même structure avec  définitions, et propriétés.

*    Qui, pour toutes les collections semblables, sont reconnues une fois pour toute:

*    Ensembles et leurs propriétés générales;

*    Groupes, anneaux, corps;

*    Propriétés générales des nombres et de leurs opérations.

 

L'ensemble des ensembles est-il un ensemble ?

 

*    Paradoxes de Russel :

Le barbier: "je rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes". Qui rase le barbier ?

Le catalogue des catalogues qui ne sont pas catalogués est-il dans ce catalogue ?

Voir aussi Phrases paradoxales

*    Force est d'admettre que:

Une classe d'ensembles n'est pas nécessairement un ensemble.

Voir Ensemble- Glossaire

 

 

Théories

 

Une théorie n'est jamais complète.

Il existe toujours une part d'indécidable.

 

*    Gödel démontre que:

*    Inconsistance: Il se peut que dans certains cas, on puisse démontrer une chose et son contraire;

*    Incomplétude: Il existe des vérités mathématiques qu'il est impossible de démontrer.

*    C'est le cas pour l'hypothèse du continu.

*    On peut admettre tout aussi bien que l'infini des entiers est suivi directement par l'infini des réels ou que non.

 

 

COMPLEXITÉ

 

Fractales

 

Une complexité proche de celle du monde réel avec une formulation si simple.

 

*    Certains, comme Poincaré, avaient approché la notion de fractales, Mandelbrot les a étudiées. Ce sont:

 

Des structures auto-similaires qui contiennent des copies d'elles-mêmes sans fin.

 

Chaos

 

La moindre petite différence au départ et tout change profondément.

*    Laplace pensait que:

les conditions initiales connues, tout le passé et le futur étaient connus.

*    Poincaré faisait l'hypothèse que:

les incertitudes initiales sont amplifiées au cours du temps.

*    Lorenz avec son "effet papillon", dit que:

les battements des ailes du papillon provoquent des effets 6 mois plus tard à l'autre bout de la planète.

*    Les calculs avec les ordinateurs ont permis la mise en évidence de ce phénomène de chaos et, la mise en évidence des attracteurs … étranges.

 

 

 

CONFINS des maths d'aujourd'hui

Théorie des nombres

 

 

x 2 + y 2 = z 2 oui

x n + y n = z n non (n>2)

 

Formulation simple

Démonstration très sophistiquée

*    Le théorème de Pythagore est connu et démontré depuis l'Antiquité

*    On peut trouver des nombres entiers tels que:

x 2 + y 2 = z 2

*    Dont le célèbre triplet:

3² + 4² = 5²

*    Par contre, avec n > 2, il n'existe aucun triplet tel que

x n + y n = z n

*    C'est le théorème de Fermat-Wiles

qui n'a été démontré que très récemment et à grand renfort de techniques modernes de la théorie des nombres.

 

 

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