NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

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Complexes

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Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Conjugués

Factorisation

Puissances

Conjugués Entiers

Calculs avec i

Somme de carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Conjugué et inverse

>>> Propriétés avec le conjugué

>>> Propriétés avec l'inverse

>>> Exemple de calcul

 

 

 

 

Nombres complexes

Conjugué et inverse

 

 

Conjugué et inverse

 

Nombre complexe
 


z = a + i.b

Son conjugué

 = a – i.b 

Ou noté z* en cas de non accès au surlignement.

Son opposé

zOpposé = –a – i.b

Pas de symbole car peu utilisé.

Son inverse

z-1 = 1 / (a + i.b)

 

 

Propriétés avec le conjugué

Conjugué du conjugué

Addition et soustraction

Multiplication

Conjugué d'une somme

Conjugué d'un produit

Conjugué d'un quotient

Module

 

 

Propriétés avec l'inverse

 

Division

 

 

 

 

Exemple de calcul

 

Résoudre l'équation:

 

 

Passons à la forme développée de z:

(x + iy)² + (x – iy) = 0

x² – y² + 2ixy + x – iy = 0

(x² – y² + x) + i (2xy – y) = 0

Rappel:

Un nombre complexe est nul si, à la fois, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Traitons la partie imaginaire:

y (2x – 1) = 0

y = 0 ou x = 1/2

Partie réelle
avec y = 0

x² + x = 0

x (x + 1) = 0

x = 0 ou x = –1 

Partie réelle
avec x = 1/2

1/4 – y² + 1/2 = 0

y² = 3/4

  ou   

Les quatre solutions:

{0, 0}, {– 1, 0}, {, }, {, },

 

 

 

 

Suite

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