NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 08/06/2008

Débutants

Général

RUBRIQUE NOMBRES COMPLEXES

Glossaire Général

SOMME DE DEUX CARRÉS

§ Introduction

§ Complexes

§ Quaternions

§ Octavions

§ Historique

§ Factorisation

§ Trois Algèbres

§ Cyclotomique

§ Somme carrés

§

§

§

Présentation de cette page		Sommaire de cette page
Amusement avec les nombres imaginaires pour former des sommes de deux carrés	Où un passage par les complexes donne un résultat réel	>>> APPROCHE >>> IDENTITÉ >>> EXPLICATIONS >>> TABLE

Voir page semblable: Identité de Brahmagupta – Fibonacci

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Approche

-Ý-

§ Voyez ce tableau

Ø Deux nombres (10 et 20) somme de deux carrés

Ø Leur produit (200) est une somme de deux carrés

		Calcul de la somme des carrés
10	= 1² + 3²	(1 x 2 + 3 x 4)²	+ (2 x 3 – 4 x 1)²
20	= 2² + 4²	(2 + 12)²	+ (6 – 4)²
ß
200	Þ	= 14²	+ 2²

200 = 14² + 2² = 10 x 20 = (1² + 3²) (2² + 4²)

§ En appliquant la recette indiquée, cela marche à tout coup!

17	= 1² + 4²	(1 x 2 + 4 x 5)²	+ (2 x 4 – 5 x 1)²
29	= 2² + 5²	(2 + 20)²	+ (8 – 5)²
493	Þ	= 22²	+ 3²

493 = 22² + 3² = 17 x 29 = (1² + 4²) (2² + 45²)

Identité		-Ý-
§ La somme des carrés de deux nombres réels est égale au produit de deux nombres complexes conjugués Ø La magie de la recette donnée ci-dessus tient à cette identité!	a² + b² = (a + ib) (a – ib) En effet (a + ib) (a – ib) = a² + i ab –iab – i² b² = a² + b²

Voir Identités remarquables

Explications		-Ý-
§ Utilisons l'identité pour les deux petites sommes de carrés § Puis multiplions les résultats en groupant de la façon indiquée § On effectue le calcul des produits à droite et à gauche § On se souvient que i² = +1 § Et pour finir, on réutilise notre identité pour transformer le produit des conjuguées en une somme de deux carrés	1² + 3² = (1 + i 3) (1 – i 3) 2² + 4² = (2 + i 4) (2 – i 4) (1² + 3²) (2² + 4²) = (2 + i 4) (1 – i 3) (2 – i 4) (1 + i 3) = (2 + i 4 – i 6 – i² 12) (2 – i 4 + i 6 – i² 12) = (14 – i 2) (14 + i 2) = 14² + 2²

TABLE de quelques valeurs (<101)

-Ý-

(a² + b²) (c² + d²) = N = E² + F² a b c d N E F 1 1 1 2 10 3 1 1 1 1 3 20 4 2 1 2 1 2 25 4 3 1 1 2 3 26 5 1 1 1 1 4 34 5 3 1 1 2 4 40 6 2 1 2 2 2 40 1 1 3 4 50 7 1 1 2 1 3 50 5 5 1 1 1 5 52 6 4 1 1 2 5 58 7 3 1 2 2 3 65 8 1 65 7 4 1 1 3 5 68 8 2 1 1 1 6 74 7 5 1 1 2 6 80 8 4 1 3 2 2 80 1 1 4 5 82 9 1 1 2 1 4 85 7 6 85 9 2 1 1 3 6 90 9 3 1 2 3 3 90 1 1 1 7 100 8 6 1 1 5 5 100 1 2 2 4 100 1 3 1 3 100 En italique, cas où E ou F = 0 (possible si N est un carré) En rouge, première présentation double

Voir Suite de la table jusqu'à 500 / Table complète

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-Ý-	Voir	§ Somme de deux carrés – présentation § Somme de deux carrés – théorie
	Aussi	§ Tables de nombres
	Sites	§