NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Fraction

 

 

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Règle de trois

Somme 1

Glouton

Construction

Illicites

Inverse

En N/999…

Zig Zag

Identités

Multiplication

Quotient = différence

Sommaire de cette page

>>> Identités

>>> Componendo et dividendo

>>> Démonstration

>>> Démonstration alternative

>>> Démonstration de la réciproque

>>> Application avec radicaux

>>> Application aux équations

>>> Application avec nombres complexes

 

 

 

 

FRACTIONS

Identités

 

Identités remarquables avec les fractions.

Le componendo et dividendo des anglo-saxons.

Pratique pour simplifier des fractions "compliquées".

 

Componendo = composition en latin et en italien.

Dividendo       =  dividende

 

 

Le saviez-vous

Cette identité est utilisée pour expliquer que le développement décimal des fractions est périodique:

 

Voir Propriété des divisions par 9, 99, 999…

 

 

 

Identités remarquables des fractions

Noms en latin

Propriété

Identité de départ

 

                             avec   et

Cette égalité entraîne toutes les égalités suivantes et réciproquement.

Alterando


 

Invertendo

Componendo

Dividendo

Componendo et dividendo

 

 

Componendo et dividendo

 

Formule

 

avec 

 

 

 

 

 

 

 

Exemple

 

 

 

 

 

Attention: la valeur des fractions données n'est pas égale à celle des nouvelles fractions.

 

 

 

Démonstration

 

Componendo

Ajoutons 1 de chaque côté de l'égalité.

 

 

 

Remplaçons 1 par une fraction égale à 1. Légitime car b n'est pas nul.

 

 

Addition des fractions de même dénominateur

 

 

 

 

 

 

Dividendo

Retirons 1 de chaque côté de l'égalité.

 

Remplaçons 1 par une fraction égale à 1

 

 

Addition des fractions de même dénominateur

 

 

 

 

 

 

Componendo et dividendo

Divisons (1) par (2).

Légitime car a-b n'est pas nul.

 

 

 

 

Divisions changée en produit en prenant la fraction inversée.

 

 

En effectuant le produit et en simplifiant 

 

 

 

 

 

 

Démonstration alternative

 

 

Notons n la valeur de la fraction.

 

Alors.

 

Remplaçons dans l'identité finale.

 

 

Les deux fractions sont bien égales et, nous avons sa valeur en fonction du rapport n initial.

 

 

a = b.n  et c = d.n

 

 

 

Démonstration de la réciproque

 

L'identité finale entraîne l'identité initiale.

 

 

Produit en croix.

 

 

 

 

Simplification.

 

 

 

Produit en crois à l'envers.

 

 

(a + b)(c – d) = (a – b)(c + d)

acad+bcbd = ac+ad–bc–bd

 

2bc = 2ad

bc = ad

 

 

 

 

Application avec radicaux

 

 

Résoudre cette équation.

 

 

 

Application de componendo et divendo (C&D).

 

 

 

Calcul.

 

 

 

Produit en croix.

 

 

 

Finalement

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Application aux équations du 2è degré

 

 

Résoudre cette équation.

 

Application de C&D

 

 

Calcul

 

 

 

Produit en croix.

 

 

 

Solution.

Retenue.

 

 

 

 

12x² – 36 = 8x²

4x² = 36

  x² = 9

                     x = 3 ou – 3

                               x =– 3  

Car x = 3 induit un dénominateur nul dans l'identité de départ.

 

 

 

Application avec complexes

 

Fraction avec deux nombres complexes et qui est purement imaginaire.

 

 

 

Quelle est la valeur du module du nombre complexe z  ?

 

Application de componendo et divendo (C&D).

 

 

Calcul.

 

 

 

Inversion du signe.

 

 

Multiplication par le conjugué pour avoir un dénominateur purement réel.

 

 

Calcul du module;

Avec z = a+ib =>

 

Calcul de R.

 

 

Conclusion.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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