NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 13/02/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Nombres complexes

 

Débutants

Complexe

CALCULS

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

 

Types de Nombres

Conjugués

Factorisation

Puissances

Conjugués Entiers

Calculs avec i

Somme de carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Identités remarquables en complexe

>>> Avec des radicaux

>>> Polynômes en x

>>> Polynôme de degré 2

>>> Polynôme de degré 3

 

 

 

 

FACTORISATION avec les COMPLEXES

 

Théorème fondamental de l'algèbre

 

 

Tous les polynômes sont factorisables en utilisant les nombres complexes. Un polynôme de degré n aura n facteurs.

 

 

 

 

IDENTITÉS REMARQUABLES en complexe

x² + 1

x3 + x² + x + 1

x3  x² + x – 1

x4 + 1

=

=

=

=

(x – i)   (x + i)

(x + 1)  (x + i)  (x – i)

(x – 1)  (x + i)  (x – i)

(x² + i)  (x² – i)

x² + 1

x² + 4

4x² + 1

=

=

=

(x – i)  (x + i)

(x – 2i)  (x + 2i)

(2x – i)  (2x + i)

x3 + x

x3 + 2x² + x + 1

x3 + 2x² + x + 2

x3 + 3x² + x + 3

=

=

=

=

(x + 0)  (x + i)  (x – i)

(x + 1)  (x + i)  (x – i)

(x + 2)  (x + i)  (x – i)

(x + 3)  (x + i)  (x – i)

x4 + 1

x6 + 1

=

=

(x² + i) (x² – i)

(x3 + i) (x3 – i)

x5 + x4 + x + 1

x5 – x4 + x – 1 

=

=

(x + 1) (x² + i) (x² – i)

(x – 1) (x² + i) (x² – i)

x6 + x4 + x² + 1

=

(x² + 1) (x² + i) (x² – i)

Voir Identités remarquables

 

 

Avec des radicaux

Voir Calculs autour de i

 

 

 

POLYNÔMES en x (* est le signe multiplication)

Polynôme & sa factorisation

=>

Réelle

Complexe

x² + 1

=

 

(x + i)  (x – i)

x² – 1

=

(x + 1)  (x – 1)

 

x² + x  + 1

=

 

(x + 0,5 + 0,866i*I)

(x + 0,5 – 0,866*I)

x² + x  – 1

=

(x + 1,618)

(x – 0,6180) 

 

x² – x  – 1

=

(x – 1,618)

(x + 0,6180)

 

x3 + 1

=

 

(x + 1)

(x – 0,5 + 0,866*I)

(x – 0,5 – 0,866*I)

x3 – 1

=

 

(x – 1)

(x + 0,5 + 0,866*I)

(x + 0,5 – 0,866*I)

x3 + x

=

 

(x + 0)  (x + i)  (x – i)

x3 – x

=

(x –1) x (x + 1)

 

x3 + x + 1

=

 

(x + 0,682)

(x – 0,341 + 1,162*I)

(x – 0,341 – 1,162*I)

x3 + x – 1

=

 

(x – 0,682)

(x + 0,341 + 1,162*I)

(x + 0,341 – 1,162*I)

x3 + x² + x + 1

=

 

(x + 1)  (x + i)  (x – i)

x3 + x² + x – 1

=

 

(x – 0,543)

(x + 0,771 + 1,11*I)

(x + 0,771 – 1,11*I)

x3 + x² – x – 1

=

(x + 1)² (x – 1)

 

x3  x² + x – 1

=

 

(x – 1) (x + i) (x – i)

x4 + 1

=

 

(x² + i) (x² – i)

x4 + x + 1

=

 

(x + 0,727 + 0,43*I)

(x + 0,727 – 0,43*I)

(x – 0,727 + 0,934*I)

(x – 0,727 – 0,934*I)

x4 + x² + x + 1

=

 

(x + 0,547 + 0,585*I)

(x + 0,547 – 0,585*I)

(x – 0,547 + 1,121*I)

(x – 0,547 – 1,121*I)

x4 + x3 + x² + x + 1

=

 

(x + 0,809 + 0,587*I)

(x + 0,809 – 0,587*I)

(x – 0,309 + 0,951*I)

(x – 0,309 – 0,951*I)

x5 + 1

=

 

(x + 1)

(x + 0,309 + 0,951*I)

(x + 0,309 – 0,951*I)

(x – 0,809 + 0,587*I)

(x – 0,809 – 0,587*I)

x5 + x4 + x + 1

=

 

(x + 1) (x² + i) (x² – i)

x5 + x4 + x3

+ x² x + 1

=

 

(x + 1,25)

(x + 0,315 + 1,051*I)

(x + 0,315 – 1,051*I)

(x – 0,440 + 0,6863*I)

(x – 0,440 – 0,6863*I)

x6 + 1

=

 

(x3 + i) (x3 – I)

x6 + x4 + x² + 1

=

 

(x² + 1) (x² + i) (x² – i)

 

 

Explicitation des nombres ci-dessus

0,8660254040…

=

1,618033989…

Nombre d'or

=

0,6823278040… =

0,6823278040…

=

A/6 - 2 /A

0,3411639019…

=

A/3 - 1/A

1,161541400 …

=

A/3 + 1/A

0,5436890125…

=

A/3 - 2/3A - 1/3

-0,7718445065

=

-A/6 + 1/3A - 1/3

-1,115142508

=

- (A/3 + 2/3A ) Ö3/2

 

Nous avons atteint la puissance 3

Avec les puissances supérieures les expressions sont plus compliquées!

Ce qui montre que les factorisations données ci-dessus ne sont pas très faciles à calculer

 

 

POLYNÔME DE DEGRÉ 2

 

x² + 1       =     (x + 1,000000000*I)  (x - 1,000000000*I)

x² + 2       =     (x + 1,414213562*I)  (x - 1,414213562*I)

x² + 3       =     (x + 1,732050808*I)  (x - 1,732050808*I)

x² + 4       =     (x + 2,000000000*I)  (x - 2,000000000*I)

x² + 5       =     (x + 2,236067977*I)  (x - 2,236067977*I)

x² + 6       =     (x + 2,449489743*I)  (x - 2,449489743*I)

x² + 7       =     (x + 2,645751311*I)  (x - 2,645751311*I)

x² + 8       =     (x + 2,828427125*I)  (x - 2,828427125*I)

x² + 9       =     (x + 3,000000000*I)  (x - 3,000000000*I)

x² + 10     =     (x + 3,162277660*I)  (x - 3,162277660*I)

 

 

 

POLYNÔME DE DEGRÉ 3

 

x3 + 1   = (x + 1)         (x - 0,5       + 0,866*I)  (x - 0,5       - 0,866*I)

x3 + 2   = (x + 1,260)  (x - 0,6300 + 1,091*I)  (x - 0,6300 - 1,091*I)

x3 + 3   = (x + 1,442)  (x - 0,7211 + 1,249*I)  (x - 0,7211 - 1,249*I)

x3 + 4   = (x + 1,587)  (x - 0,7937 + 1,375*I)  (x - 0,7937 - 1,375*I)

x3 + 5   = (x + 1,710)  (x - 0,8550 + 1,481*I)  (x - 0,8550 - 1,481*I)

x3 + x2 + 4   = (x+2)  (x - 0,5 + 1,323*I) (x - 0,5 - 1,323*I)

 

 

 

 

Suite

*              Trois Algèbres

*               ComplexeIndex

Voir

*               Identités remarquables

*               Inventaire des types de nombres

*               Machine des frères Carisan

*               Nombre de Gauss

*               NombresGlossaire et index

*               Nombres réels

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagFact.htm