NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puzzles

 

Introduction

123456

Croix

Mul. 5 x 5

9 chiffres

15 chiffres

26 chiffres

LCS 35

 

Sommaire de cette page

>>> Multiplication à 9 chiffres identiques

>>> Multiplication à 10 chiffres identiques

>>> Multiplication à 8 chiffres identiques

>>> Multiplication avec 4 chiffres consécutifs

>>> Dénombrement

 

 

 

 

 

Multiplications à 2 x 2 chiffres

 

Multiplications à deux chiffres par deux chiffres. On se propose de trouver quelles sont les multiplications à deux chiffres qui présentent le maximum de chiffres identiques, y compris dans les produits intermédiaires. Deux détiennent le record de 9 chiffres identiques.

Par ailleurs, aucune ne donne un produit formé de quatre chiffres identiques. Mais, elles sont nombreuses à produire trois chiffres identiques comme 31x36 = 116 ou 31x43 = 1333.

 

 

 

 

Multiplication à 9 chiffres identiques

Puzzle n°1

 

*      Complétez la multiplication avec le même chiffre X et d'autres chiffres pour les autres  places.

*      La solution est unique.

 

 

 

*      Indice: les deux nombres manquants dans le résultat sont identiques. Ce nombre avec les deux manquants forment une tierce.

 

 

Puzzle n°2

 

*      Complétez la multiplication avec le même chiffre X et d'autres chiffres pour les autres  places.

*      La solution est unique.

 

 

 

*      Indice: les deux nombres manquants dans le résultat sont identiques..

 

Ce sont les deux seules multiplications à deux chiffres qui produisent ce record de 9 chiffres identiques.

 

 

Multiplication à 10 chiffres identiques

 

*      La multiplication à 2 x 2 chiffres produisant le plus de fois le même nombre y compris en comptant les résultats intermédiaires est celle montrées ci-contre avec 10 fois le chiffre 1.

*      Ce record trivial est éliminé en imposant que le produit soit un nombre à six chiffres.

 

 

 

Toutes les solutions avec 8 chiffres identiques

 

*      Multiplication à deux chiffres ayant 8 chiffres identiques au moins.

*      Voici les sept solutions à neuf chiffres et les deux solutions record à neuf chiffres (en jaune).

 

               n,           m,         P1,           P2,           R,           

               37,      33,      111,      111,      1221

               19,      69,      171,      114,      1311

               37,      66,      222,      222,      2442

               74,      33,      222,      222,      2442

               51,      55,      255,      255,      2805

               37,      99,      333,      333,      3663

               61,      66,      366,      366,      4026

               74,      66,      444,      444,      4884

               91,      55,      455,      455,      5005

               86,      88,      688,      688,      7568

               99,      91,      99,        891,      9009

 

 

 

Multiplication avec 4 chiffres consécutifs

 

*      Multiplication à deux chiffres ayant un résultat formé de quatre chiffres consécutifs. Voici les 7 solutions.

 

*      Seule solution avec écart de 2.

             67,      35,      335,      201,     2345

             48,      72,      96,        336,     3456

             54,      64,      216,      324,     3456

             96,      36,      576,      288,     3456

             97,      56,      582,      485,     5432

             73,      93,      219,      657,     6789

             89,      86,      534,      712,     7654

 

 

             59,      23,      177,      118,     1357

 

 

 

 

Dénombrement

 

*      De manière que la multiplication soit effectivement une multiplication de deux nombres à deux chiffres, seule la variable b peut prendre la valeur 0.

La variable a varie de 1 à 9 => 9 possibilités.

La variable b varie de 0 à 9 => 10 possibilités.

La variable c varie de 1 à 9 => 9 possibilités.

La variable d varie de 1 à 9 => 9 possibilités.

Chaque variable évoluant indépendamment l'une de l'autre, la quantité totale de possibilité est le produit des possibilités individuelles:

Q = 9 x 10 x 9 x 9 = 7 290

 

*      Pour dénombrer les seules multiplications dont le produit comporte quatre chiffres, la tâche est un peu plus ardue. Le tableau ci-contre montre la quantité Q de multiplications produisant trois chiffres lorsque n vaut 10, 11, 12, … m est le plus grand nombre tel que n.m < 1000.

Exemple: pour 17, le produit juste inférieur à 1000 est 17 x 58 =  986
de 11 à 58 il y a 44 possibilités (4x9 = 36 de 11 à 49 et 8 de 50 à 58).

 

*      La quantité de multiplications à deux chiffres par deux chiffres produisant un résultat à quatre chiffres est:

T = 7 290 – 1 294 = 5 996

 

 

 

 

 

 

n,     m,    Q

10,   99,   81

11,   89,   72

12,   83,   66

13,   76,   60

14,   71,   55

15,   66,   51

16,   62,   47

17,   58,   44

18,   55,   41

etc.

 

 

Somme cumulée sur Q

81 + 72 + 66 + …

= 1 294

 

 

 

 

 

Suite

*    Multiplication à 15 chiffres identiques

*    Cryptogrammes – Multiplication

Voir

*    PuzzlesIndex

*    Multiplication

DicoNombre

*    Nombre 3456

*    Nombre 4 884

 

 

 

Multiplication à 9 chiffres identiques - Solution

 

Puzzle n°1

 

*      La solution est unique

*      Le résultat 4884 est un palindrome sympathique.

 

 

Puzzle n°2

 

*      La solution est unique

*      Le résultat 3664 est  également un palindrome sympathique.

 

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