NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Énigmes de Pesées

 

Débutants

Général

BILLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux, énigmes

 

Débutants

Introduction

Dix Sacs

Six poids

9 billes (mono)

4 billes (ambi)

Poids-étiquettes

Autres pesées

12 par dichotomie (ambi)

12 par combinaisons (ambi)

12 billes (++)

 

Sommaire de cette page

>>> Énigme des neuf pièces – Historique

>>> Énigme des neuf pièces – Solution

>>> Généralisation

>>> Problème des huit billes – Deux méthodes

>>> Bilan

 

Mono: une bille est plus lourde (ou plus légère)

Ambi: une bille  est plus lourde ou plus légère sans que nous le sachions a priori

 

 

 

Énigme de la pesée des NEUF PIÈCES

ou BILLES, BOULES, BALLES

 

Exemple de pesée très simple avant d'aborder la résolution des énigmes plus complexes avec douze billes.

Vous savez trouvez l'intrus parmi trois billes, vous savez le faire pour toute puissance de 3 comme 3x3 = 9.

 

 

Avec cette énigme, l'intrus est un objet que nous savons être plus lourd (ou plus léger). Avec l'énigme des douze balles, nous ne savons pas si l'objet est plus lourd ou plus léger.

 

 

 

 

Énigme des neuf pièces – Historique

 

Cas du problème des neuf pièces

Le problème des neuf pièces apparait dans la littérature en 1945 dans American Mathematical Monthly par E. D. Schell. Les neuf pièces pèsent la même chose, sauf une qui est plus lourde et qu'il faut isoler en deux pesées.

Il se trouve que deux pesées est le minimum de pesées pour trouver une pièce fausse parmi neuf et neuf est d'ailleurs le maximum.

Une pièce de plus et il faudra trois pesées.

 

 

Énigme des neuf pièces – Solution

 

Le défi

Parmi neuf billes visuellement identiques, une seule est légèrement plus lourde.

La retrouver en deux pesées.

 

 

 

Le principe

En une pesée, il est possible de discriminer entre trois groupes de k billes du fait des trois mouvements possibles de la balance:

*    elle penche à droite,

*    elle penche à gauche ou

*    elle reste en équilibre.

Dans le cas de neuf billes, on formera trois groupes de trois billes.

 

Solution illustrée

 

Explications

Première pesée 
Plus lourd à gauche

La bille lourde est parmi les billes 1, 2 et 3

Première pesée 
Équilibre

La bille lourde est parmi les billes de 1 à 6 pèsent le même poids.

La bille la plus lourde est parmi 7, 8 et 9.

Première pesée 
Plus lourd à droite

La bille lourde est parmi les billes 4, 5 et 6

Seconde pesée

À l'issue de la première pesée, nous connaissons le groupe de trois billes parmi lesquelles se trouve la bille lourde.

La pesée permet de trouver laquelle est plus lourde.  

 

 

Généralisation

La méthode vue ci-dessus marche pour toute quantité de billes jusqu'à 9 en deux pesées.

La généralisation est possible avec les autres puissances de 3.

 

Problème des quatre-vingts billes

Ainsi pour 80 billes, par exemple, il faudra quatre pesées en commençant avec trois groupes de billes:  27, 27 et 26.

 

Il est possible de détecter une bille plus lourde parmi k en n pesées:

 

k

n

3

1

9 = 32

2

27 = 33

3

81 = 34

4

etc.

 

 

Voir Puissances de 3

 

 

Problème des huit billes dont une est plus lourde

Solution par dichotomie

La résolution est immédiate avec ce que nous avons vu.

Pourquoi 8 et pas 9 ? Mystère

En tout cas, on utilise la tactique de groupement en 3 + 3 + 2 = 8

 

Deux groupes de trois pièces

*      si équilibre, la bille fautive est dans les deux restantes et une nouvelle pesée fait l'affaire.

*      sinon, la bille fautive est sur le plateau qui descend et une nouvelle pesée détermine la quelle des trois est plus lourde.

 

 

Solution par combinaisons

La solution par combinaisons consiste, en utilisant le même groupement (3,3 ,2), à faire deux pesées consécutives avec des combinaisons de billes différentes.

La bille fautive émergera selon les trois issues réalisées deux fois pour deux pesées, soit 23 = 8 combinaisons

Ça tombe bien pour trouver une bille parmi huit

 

Lecture de la table des issues

Ligne 1: si le plateau gauche descend lors de la prière pesée et aussi lors de la seconde pesée, la bille 1 est la plus lourde.

Ligne 2: si le plateau gauche penche à droite puis à gauche, la bille responsable est la 3.

Etc.

Ligne 8: si le plateau gauche descend et que la seconde pèse donne l'équilibre, la bille 5 est la plus lourde.

 

Voir Méthode par combinaisons

 

 

 

 

Bilan

 

On trouve sur Internet la question pour une bille plus lourde (ou plus légère)  pour 26 billes ou 80 billes ou …. Elles sont aussi faciles à résoudre que celle-ci.

 

C'est une autre histoire lorsque la bille est soit plus lourde, soit plus légère, sans qu'on le sache a priori. >>>

 

 

 

 

 

Retour

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*       Autres types de problèmes de pesées

*       Poids et étiquettes mélangées

Suite

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