NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Énigmes de Pesées

 

Débutants

Général

BILLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux, énigmes

 

Débutants

Introduction

Dix Sacs

Six poids

9 billes (mono)

4 billes (ambi)

Poids-étiquettes

Autres pesées

12 par dichotomie (ambi)

12 par combinaisons (ambi)

12 billes (++)

 

Sommaire de cette page

>>> Pesée de 2 billes

>>> Pesée de 3 billes

>>> Pesée de n billes

>>> Tactique

 

Mono: une bille est plus lourde (ou plus légère)

Ambi: une bille  est plus lourde ou plus légère sans que nous le sachions a priori

 

 

 

Énigmes de pesée – Débutants

Il existe de nombreuses énigmes demandant de retrouver un intrus parmi une collection de billes (de balles, de boules de billards, de pièces de monnaie, de bagues, etc.).

Certaines sont très simples et d'autres réputées insolubles ou très difficiles.

Cette page est une introduction à ce type d'énigme et aux principes de leur résolution.

Les billes 1 et 2 sont plus lourdes

que les billes 3 et 4.

 

 

 

Pesée de deux billes

Disposant de deux billes, il s'agit de dire laquelle est la plus lourde.

 

La pesée est effectuée avec une balance à deux plateaux. Qu'elle soit du type Roberval (en haut) ou trébuchet (en bas).

 

La plus lourde est celle qui fait descendre le plateau. Ici, le plateau de gauche. C'est la bille noire qui est la plus lourde.

Ou, autrement-dit, c'est la boule rouge qui est la plus légère.

 

 

Note: dans toutes ces énigmes, la différence de poids est minime et, en tout cas, inférieure au pois d'une bille.
Les pesées impliquent donc, la même quantité de billes sur chaque plateau.

 

 

 

Pesée de trois billes

Effet

Illustration

Notation

On nous présente trois billes identiques, sauf en poids. L'une est plus lourde que les deux autres. Il s'agit de trouver la plus lourde en une seule pesée.

 

On effectue la pesée entre deux boules. Disons la 1 et la 2 et on laisse de côté la 3.

 

Trois possibilités de mouvements des plateaux:

*    Le plateau gauche descend:
la bille 1 est la plus lourde;

*    Le plateau droit descend:
la bille 2 est la plus lourde; ou

*    Les plateaux restent en équilibre et c'est
la bille 3 qui est la plus lourde.

 

Chaque pesée comporte trois issues de pesées. Avec les pesées, on compte par trois  avec la notation classique {–1, 0, +1} du système ternaire.

 

 

Gauche

 

 

+1

Droite

 

 

 –1

Équilibre

 

 

 

Pesée de n billes – Cas du problème des 80 billes

Prenons n = 80 billes. Comment s'y prendre?

On compte par trois; alors, formons trois groupes de billes.

 

80 billes au total

*      27 billes sur le plateau gauche

*      27 billes sur le plateau droit

*      26 billes laissées de côté

 

La première pesée permet de détecter le groupe de billes dans lequel se trouve la bille la plus lourde.

On reforme trois groupes.

 

27 ou 26 billes au total

*      9 billes sur le plateau gauche

*      9 billes sur le plateau droit

*      9 ou 8 billes laissées de côté

 

On effectue la pesée suivante selon le même principe pour arriver finalement et progressivement à la bille fautive.

 

 

9 ou 8 billes au total

*      3 billes sur le plateau gauche

*      3 billes sur le plateau droit

*      3 ou 2 billes laissées de côté

 

Cette méthode de raffinement progressif est dite méthode par dichotomie (ou trichotomie).

Problème général de n billes en k pesées

Suite pour ce type d'énigmes dont le représentant est l'énigme des neuf billes

 

 

 

Tactique de pesée

Avec n billes, comment constituer les trois groupes ?

Actions

Exemple 1

Exemple 1

Prendre M,  le multiple de 3 qui est juste plus grand que n.

n = 80

N = 81 = 3 x 27

n = 28

N = 30 = 3 x 10

Formez deux groupes avec le premier sous-multiple de M.

27 et 27

10 et 10

Le troisième groupe est formé avec ce qui reste.

80 – 2x27 = 26

28 – 2x10 = 8

Bilan

La première pesée s'effectue avec les deux premiers groupes en laissant le troisième de côté.

(27 =? 27)

& 26

(10 =? 10)

& 8

 

 

 

 

 

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Suite

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Voir

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*    Alexandrins longs et courts

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*    Énigmes de transvasements

*    Faire 12 avec cinq fois le même nombre

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