NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Énigmes de Pesées

 

Débutants

Général

BILLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux, énigmes

 

Débutants

Introduction

Dix Sacs

Six poids

9 billes (mono)

4 billes (ambi)

Poids-étiquettes

Autres pesées

12 par dichotomie (ambi)

12 par combinaisons (ambi)

12 billes (++)

 

Sommaire de cette page

>>> Types d'énigmes de pesées

>>> Noms de ces énigmes

>>> Énigmes de pesée – Historique

>>> Dénombrement

>>> Type de solutions

>>> Anglais

>>> Références

 

Mono: une bille est plus lourde (ou plus légère)

Ambi: une bille  est plus lourde ou plus légère sans que nous le sachions a priori

 

 

 

 

Énigmes de pesée – Introduction

Les problèmes de balance ou de pesée sont des énigmes logiques qui demandent à trouver une pièce, une bille, une balle ou une boule qui serait plus lourde ou plus légère que toutes les autres et ceci à l'aide d'une balance à plateaux (Roberval) en un nombre donné de pesées. Aucun poids n'est admis.

Le fameux problème des douze billes,

réputé insoluble.

 

 

Devinette

19 balles de 10, 20, 30,  … 190 grammes, de trois types.

Les 9 en ivoire pèsent 900 grammes de plus que les 9 en plastique. Il en reste une en bois dont on demande quel est son poids.

Solution

 

 

Types d'énigmes de pesées

Énigmes de pesées avec poids connus

Quelle est la combinaison de poids qui permet toutes les pesées jusqu'à k kilogrammes.

Elles s'apparentent aux énigmes de transvasements.

Énigmes de pesées avec poids inconnus

Poids avec étiquettes de poids mélangées

 

Dans tous les types d'énigmes de pesée sans poids

On utilise une balance à plateau pour détecter un intrus.

Tous les objets sont visuellement identiques.

L'un d'eux n'a pas le même poids.

Voir Débutants

Nature de l'intrus et
type de question posée

L'intrus est présent, et:

*    il est plus lourd (ou plus léger);

    trouver l'intrus

*    il est plus lourd ou plus léger (on ne sait pas, a priori).

    trouver l'intrus et dire sa nature, ou

    simplement trouver l'intrus.

Il est présent ou non:

    dire s'il est présent et si oui, dire lequel et préciser sa nature.

Deux intrus de même nature

Les deux intrus sont présents, ils tous deux plus lourds ou plus légers.

Avec trois pesées, on détecte deux intrus dans un maximum de cinq pièces. La méthode par dichotomie est la seule applicable. Pas de solution pas combinaisons.

Extension multi-balance

Un intrus plus lourd ou moins lourd; Deux balances à plateau sont utilisées en parallèle (extension à k balances). Chaque pesée dure une minute. Quel est le plus grand nombre n de billes desquelles trouver la bille fautive. Puzzle de Konstantin Knop – 2012

 

Noms de ces énigmes dans la littérature et sur Internet

Énigmes des douze billes

Énigmes des neuf boules

Énigmes des quatre billes

Pesée des douze pièces

Problème de la fausse pièce de monnaie

Problème des 80 billes

Problème des douze pièces

Problème des quatre boules

Les sacs et une seule pesée

Les fausses pièces

Les sacs de pièces d'or

A fake among eight coins

Balance puzzle

Coin puzzle, coin problem

Coin-weighing puzzle

Single counterfeit coin problem (SCCP)

Six misnamed coins, two weighings

The famous 12 balls problem

The nine balls problem

Weighing puzzle

Weighing 10 bags puzzle

 

 

 

Énigmes de pesée – Historique

 

Cas du problème des neuf pièces

Le problème des neuf pièces apparait dans la littérature en 1945 dans American Mathematical Monthly par E. D. Schell. Les neuf pièces pèsent la même chose, sauf une qui est plus lourde et qu'il faut isoler en deux pesées.

Il se trouve deux pesées est le minimum de pesées pour trouver une pièce fausse parmi neuf et neuf est d'ailleurs le maximum. Une pièce de plus et il faudra trois pesées.

 

Cas du problème des douze billes

Ce problème m'a été soumis par mon voisin de siège d'avion lors d'un voyage de retour d'Australie en 1981. J'avais alors trouvé la solution indiquée sur ces pages

Cette énigme m'avait été proposée avec des boules de billard.

Elle passait, pour la communauté de celui qui me la posait, pour impossible à résoudre.

 

 

Beaucoup plus tard, j'ai découvert le texte de Jacques Lacan relatant que ce problème avait été inventé par  François Le Lionnais, célèbre mathématicien et rapporté par Raymond Queneau.

Sous sa forme originelle, le problème est relatif à la pesée de pièces de monnaie dont une est une fausse pièce.

Martin Gardner dans le Scientific American résous ce problème en utilisant la base ternaire de numération.

La solution a été utilisée par des magiciens pour déterminer la fausse pièce en trois pesées sous les yeux ébahis des spectateurs …

De nombreux mathématiciens amateurs de jeux mathématiques ont donné leurs propres solutions:  Dyson et Lyness, Conway, Bundy, Steinhaus

 

 

 

Dénombrements pour n billes en k pesées

 

Dénombrement

Pour pouvoir effectuer une pesée, la quantité de billes doit être supérieure à 1, évidemment.

 

Le tableau montre le maximum de billes impliquées dans une énigme de n billes en k pesées.

 

On retrouve (jaune) les deux énigmes classiques:

 

*      Le problème des neuf billes dont l'une est plus lourde, en deux pesées, et

 

*      L'énigme des douze pièces dont l'une est plus lourde ou plus légère, en trsois pesées.

 

 

 

Tableau pour les deux types d'énigmes

 

Évidemment, qui peut le plus peut le moins. Par exemple,  le problème des 80 billes exige quatre pesées.

 

 

Formalisation

 

Énigme
sans préciser la nature

 

On sait que la bille fautive est plus lourde ou plus légère et on demande de trouver laquelle sans préciser la nature.

Alors, la formule devient:

Soit, une bille de plus que pour le cas où il faut préciser la nature. Ainsi avec trois pesées, on peut discriminer la fautive parmi treize.

En fait on peut résoudre le sous-défi de 12 billes et y trouver l bille fautive et sa nature comme d'habitude. Si on le l'a pas trouvée (trois équilibres de suite), c'est que c'est la treizième qui est fautive et on n'a pas de possibilité de pesée pour déterminer sa nature.

Voir Énigme des quatre billes

 

 

 

Types de solutions

 

Deux grandes catégories de solutions à ce genre d'énigmes de pesées. La méthode holistique étant très utile pour résoudre les plus complexes:

 

On procède par pesées successives comportant de moins en moins de billes (méthode séquentielle).

La bille fautive est contenue dans des groupes de billes de plus en plus petits (dichotomie)

On procède aux pesées avec la même quantité de billes à chaque fois, pas les mêmes évidemment (méthode non-séquentielle ou holistique).

La combinaison des issues de pesées conduit à la bille fautive.

 

 

English corner

Balance puzzle

Weighing puzzle

Balance scale

Two-pan balance

Fake coin

Counterfeit coin

Heavier

Lighter

The right pan rises

The scale remains balanced

 

To figure out

To devise

 

A balance puzzle or weighing puzzle is a logic puzzle about balancing items, often coins, to determine which holds a different value, by using balance scales a limited number of times. These differ from puzzles that assign weights to items, in that only the relative mass of these items is relevant.

 

Given 9 coins, one of them fake and lighter, find the fake coin in two weighings on a balance scale.

 

So to minimize the number of weighings, we need to divide all the coins into three piles.

 

There are twelve coins. One of them is fake. All real coins weigh the same. The fake coin is either lighter or heavier than the real coins. Find the fake coin and figure out whether it is heavier or lighter in three weighings on a balance scale.

 

Using only a two-pan weighing balance, we must devise a weighing scheme to identify the counterfeit coin and determine whether it is heavier or lighter.

 

Voir Anglais – Le bagage minimum

 

 

Devinette – Solution

 

Énigme

19 balles de 10, 20, …190 grammes, de trois types. Les 9 en ivoire pèsent 900 grammes de plus que les 9 en plastique. Il en reste une en bois dont on demande quel est son poids.

 

Réponse: x = le poids des plus lourdes, y = celui des plus légères et z = celui de la balle unique.

Poids total: x + y + z = 10 (1 + 2 + … + 19) = 10 x 19 x 20 / 2 = 1900 g

Poids min de 9 balles: 10 (1 + 2 + … + 9) = 10 x 9 x 10 / 2 = 450 g

Poids max de 9 balles: 10 (11 + 12 + … + 19) = 10 x 90 + 10 (1 + 2 + … + 9) = 900 x 450 = 1 350 g.

Différence entre poids max et poids min: 1 350 – 450 = 900 g

Différence entre les poids des balles en ivoire et en plastique: x = y + 900

Pas d'autre choix que: prendre les neufs balles en ivoire parmi les neuf plus lourdes et les neufs en plastique parmi les neuf plus légères.

Celle en bois et donc la balle intermédiaire: elle pèse 100 g.

 

Vérification

Ivoire : 1 350 g; Bois : 100 g; Plastic: 450 g => total = 1 900 g

Retour / Énigme des dix sacs

 Énigme de ce type publiée par le journal Libération du 13 avril 2018

en partenariat avec Images des Mathématiques, Insmi CNRS, Ana Rechtman  

 

 

 

 

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*    Pesées avec des poids (Bachet et Leibniz)

Voir

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*    Nombre 12

 

Sites français

*      La fausse pièce, et la balance de RobervalBibm@aths.net

*      Les sacs de pièces d'or – Bernard Werber

*      Énigmes de poidsKysicurl

*      Solution du problème des douze pièces – Jean-Christophe Michel – Méthode avec numération ternaire

Sites anglais

*      Balance puzzleWikipedia

*      The Great Weights PuzzleNRICH – Simulateur de pesée: 12 cubes dont un plus lourd

*      Weighing 12 coins, Dyson and Lyness' solution – Cut The Knot – Alexander BogomolnyNombreuses autres pages accessibles

Sites avancés

*      Parallel Weighings – Tanya Khovanova2013

*      The general counterfeit coin problem – Lorenz Halbeisen and Norbert Hungerbühler

 

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Pesee/BallIntr.htm